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1、马尔科夫预测与决策法 小组成员：于文豪 张薇 刘思伯 梅成波 杜照玺,马尔科夫预测与决策,1.基本原理概述2.马尔科夫预测与决策3.案例分析,第一节 基本原理,一、基本概念 1.随机变量、随机函数与随机过程 一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称x为随机变量。假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi 即P(x=xi)=Pi 对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布列：Pi=1 对于连续型随机变量，有 P(x)dx=1,在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定是时间）的变化而变化.如测量大气中空气温度变化x=x(h),
2、随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间t作参变量的随机函数称为随机过程。也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先未知的时间函数。,2、马尔科夫过程 随机过程中，有一类具有“无后效性性质”，即当随机过程在某一时刻to所处的状态已知的条件下，过程在时刻tto时所处的状态只和to时刻有关，而与to以前的状态无关，则这种随机过程称为马尔科夫过程。即是：ito为确知,it(tto)只与ito有关，这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。,简例：设x(t)为大米在粮仓中t月末的库存量，则 x(t)=x(t1)y(t)+G(t)t月的转出
3、量 第t1月末库存量,G(t)为当月转入量 x(t)可看作一个马尔科夫过程。,3、马尔科夫链 时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。例：蛙跳问题 假定池中有N张荷叶，编号为1，2，3,N，即蛙跳可能有N个状态（状态确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）,1,2,3,4,P33,P22,P44,P41,P42,P31,P32,写成数学表达式为：P(xt+1=j|xt=it,xt-1=it1,x1=i1)=P(xt+1=j|xt=it)定义：Pij=P(xt+1=j|xt=i)即在xt=i的条件下，使 x
4、t+1=j的条件概率，是从 i状态一步转移到j状态的概率，因此它又称一步状态转移概率。由状态转移图，由于共有N个状态，所以有,二状态转移矩阵 1.一步状态转移矩阵 系统有N个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵 P11 P12 P1N 定义为 P21 P22 P2N:PN1 PN2 PNN 这是一个N阶方阵，满足概率矩阵性质 1）Pij 0,i,j=1,2,N 非负性性质 2）Pij=1 行元素和为1,i=1,2,N,NN,P=,如：W1=1/4,1/4,1/2,0 W2=1/3,0,2/3 W3=1/4,1/4,1/4,1/2 W4=1/3,1/3,-1/3,0,2/3 3）若A和B
5、分别为概率矩阵时，则AB为概率矩阵。,概率向量,非概率向量,2.稳定性假设 若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是稳定的。这个假设称为稳定性假设。蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。,3.k步状态转移矩阵 经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为 P(xt+k=j|xt=i)=Pij(k)i,j=1,2,N 定义：k步状态转移矩阵为：P11(k)P12(k)P1N(k)P=:PN1(k)PN2(k)PNN(k)当系统满足稳定性假设时 P=P=P P P 其中P为一步状态转移矩阵。即当系统满足稳定性假设时，k步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的
6、k次方.,k,k,k,例：设系统状态为N=3，求从状态1转移到状态2的 二步状态转移概率.解：作状态转移图 解法一：由状态转移图：1 1 2:P11 P12 1 2 2:P12 P22 1 3 2:P13 P32 P12=P11 P12+P12 P22+P13 P32=P1i Pi2,1,3,2,P13,P32,P11,P12,P12,P22,解法二：k=2,N=3 P11(2)P12(2)P13(2)P=P21(2)P22(2)P23(2)P31(2)P32(2)P33(2)P11 P12 P13 P11 P12 P13=PP=P21 P22 P23 P21 P22 P23 P31 P32
7、P33 P31 P32 P33 得：P12(2)=P11 P12+P12 P22+P13 P32=P1i Pi2,三.稳态概率：用于解决长期趋势预测问题。即：当转移步数的不断增加时，转移概率矩阵 P 的变化趋势。1.正规概率矩阵。定义：若一个概率矩阵P，存在着某一个正整数m,使P 的所有元素均为正数（Pij o），则该矩阵称为正规概率矩阵,k,例：1/2 1/4 1/4 P=1/3 1/3 1/3 为正规概率矩阵 2/5 1/5 2/5 0 1 P11=0 1/2 1/2 但当 m=2，有 有Pij 0它也是正规概率矩阵。（P 每个元素均为正数）但 1 0 0 1 就找不到一个正数m,使P 的
8、每一个元素均大于0，所以它不是正规概率矩阵。,P=,2,2,P=,m,P=,2,2.固定概率向量（特征概率向量）设 P为NN概率矩阵,若U=U1,U2,UN为概率向量,且满足UP=U,称U为P的固定概率向量 例 0 1 1/2 1/2 为概率矩阵 P的固定概率向量 U=1/3,2/3 检验 UP=1/3 2/3 0 1 1/2 1/2=1/3 2/3,P=,3.正规概率矩阵的性质 定理一 设P为NXN正规概率矩阵，则 A.P有且只有一个固定概率向量 U=U1,U2,UN 且U的所有元素均为正数 Ui 0 B.NXN方阵P的各次方组成序列 P,P,P,P 趋于方阵T，且T的每一个行向量都是固定概
9、率向量U。即 U1 U2 UN U lim Pk=T=:=:U1 U2 UN U 这个方阵T称稳态概率矩阵。,2,3,k,这个定理说明：无论系统现在处于何种状态，在经过足够多的状态转移之后，均达到一个稳态。因此，欲求长期转移概率矩阵，即进行长期状态预测，只要求出稳态概率矩阵T；而T的每个行向量都是固定概率向量，所以只须求出固定概率向量U就行了!,定理二：设X为任意概率向量，则XT=U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为固定概率向量。事实上：U1 U2 UN XT=X:=U1Xi U1Xi U1Xi U1 U2 UN=U1 U2 UN=U,例：若 0.4 0.3 0.3 P=0.6 0.3 0
10、.1 求T 0.6 0.1 0.3 解：设 U=U1 U2 U3=U1 U2 1U1U2 由 UP=U 有 0.4 0.3 0.3U1 U2 1U1U2 0.6 0.3 0.1=U1 U2 U3 0.6 0.1 0.3,即-0.2U1+0.6=U1 U1=0.5 0.2U1+0.2U2+0.1=U2 U2=0.25-0.2U2+0.3=U3 U3=0.25 U=0.5 0.25 0.25 则 0.5 0.25 0.25 T=0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 说明：不管系统的初始状态如何，当系统运行时间较长时，转移到各个状态的概率都相等。（列向量各元素相等）即 各状态转移到
11、1状态都为0.5;2状态都为0.25;3状态都为0.25,第二节 马尔科夫预测和决策,马尔科夫决策方法就是根据某些变量的现在状态及其变化趋向，来预测它在未来某一特定期间可能出现的状态，从而提供某种决策的依据。马尔科夫决策基本方法是用转移概率矩阵进行预测和决策。,一、转移概率矩阵及其决策特点,转移概率矩阵模型为：,其中Pij 表示概率，,表示转移概率矩阵。,用马尔科夫决策方法进行决策的特点：,（1）转移概率矩阵中的元素是根据近期市场 或顾客的保留与得失流向资料确定的。（2）下一期的概率只与上一期的预测结果有 关，不取决于更早期的概率。（3）利用转移概率矩阵进行决策，其最后结 果取决于转移矩阵的组
12、成，不取决于原 始条件，即最初占有率。,二、转移概率矩阵决策的应用步骤,转移概率矩阵决策的步骤如下：1、建立转移概率矩阵。2、利用转移概率矩阵进行模拟预测。3、求出转移概率矩阵的平衡状态，即稳定状态。4、应用转移概率矩阵进行决策,案例1 市场占有率预测,商品在市场上参与竞争，都拥有顾客，并由此而产生销售，事实上，同一商品在某一地区所有的N个商家（或不同品牌的N个同类产品）都拥有各自的顾客，产生各自销售额，于是产生了市场占有率定义：设某一确定市场某商品有N个不同品牌（或N个商家）投入销售，第i个商家在第j期的市场占有率 Si(j)=xi(j)/x i=1,2,N 其中 xi(j)为第i个商家在第
13、j期的销售额（或拥有顾客数）x为同类产品在市场上总销售额（或顾客数）市场占有率所需数据可通过顾客抽样调查得到。,一般地,首先考虑初始条件,设当前状态（即j=0）为 S(0)=S1(0)S2(0)SN(0)第i个商家Si(0)=xi(0)/x xi(0)=Si(0)x即当前第i个商家市场占有率与初始市场占有率及市场总量有关.同时假定满足无后效性及稳定性假设.由于销售商品的流通性质,有第i个商家第j期销售状况为,xi(k)=x1(0)P1i(k)+x2(0)P2i(k)+xN(0)PNi(k)=xS1(0)P1i(k)+xS2(0)P2i(k)+xSN(0)PNi(k)P1i(k)=xS1(0)S
14、2(0)SN(0)P2i(k):PNi(k)有：Si(k)=xi(k)/x P1i(k)=S1(0)S2(0)SN(0)P2i(k):PNi(k),故可用矩阵式表达所有状态:S1(k),S2(k),SN(k)=S1(0),S2(0),SN(0)P即 S(k)=S(0)P 当满足稳定性假设时,有 S(k)=S(0)P 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有率k步预测模型.,k,k,k,例:东南亚各国味精市场占有率预测,初期工作:a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3.b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状态转移概率.1)初始向量:设 上海
15、味精状况为1;日本味精状况为2;香港味精状况为3;有 S(0)=S1(0)S2(0)S3(0)=0.4 0.3 0.3,2)确定一步状态转移矩阵 P11 P12 P13 0.4 0.3 0.3 P=P21 P22 P23=0.6 0.3 0.1 P31 P32 P33 0.6 0.1 0.33),3 步状态转移矩阵(假定要预测3个月后)P11(3)P12(3)P13(3)0.496 0.252 0.252 P 3=P21(3)P22(3)P23(3)=P=0.504 0.252 0.244 P31(3)P32(3)P33(3)0.504 0.244 0.252,3,4)预测三个月后市场 0.4
16、96 0.252 0.252 S(3)=S(0)P3=0.4 0.3 0.3 0.504 0.252 0.244 0.504 0.244 0.252S1(3)=0.40.496+0.30.504+0.30.504=0.5008S2(3)=0.2496S3(3)=0.2496,二.长期市场占有率预测 这是求当 k 时 S(k)?我们知道:S(k)=S(0)P lim S(k)=S(0)lim P=S(0)T=U 因此,在已知初始条件下求长期市场占有率就是求稳态概率矩阵,也是求固定概率向量.求固定概率向量的方法,我们在前一节已有例子,只不过说明了长期市场占有率也是只与稳态矩阵有关,与初始条件无关.
17、,k,k,上面味精例子,0.4 0.3 0.3 已知 P=0.6 0.3 0.1 0.6 0.1 0.4 0.5 0.25 0.25 求出 T=0.5 0.25 0.25=lim Pk 0.5 0.25 0.25 lim S(k)=0.5 0.25 0.25 即中国味精可拥有50%的长期市场.,案例2 期望利润预测,是考虑:一个与经济有关随机系统在进行状态转移时,利润要发生相应变化,例如商品连续畅销到滞销,显然在这些过程变化时,利润变化的差距是很大的.所以有如下的定义:若马尔科夫链在发生状态转移时,伴随利润变化,称这个马尔科夫链为带利润的马尔科夫链.,设系统有N个状态 状态i经过一步转移到状态
18、j时(即当事件发生时,Pij=1)所获得的利润为rij i,j=1,2,N 于是有利润矩阵 r11 r12 r1N R=r21 r22 r2n:rN1 rN2 rNN 显然,rij 0 盈利;rij 0 亏损;rij=0 平衡 由于系统状态转移为随机的,得到的利润也应当是随机的,这个利润只能是期望利润.,11、即时期望利润(一步状态转移期望利润)考虑状态 i 状态转移 i 1 i 2 i i i N 一步转移概率 Pi1 Pi2 Pii PiN 利润变化 ri1 ri2 rii riN 所以:从i转到1的期望利润值 P11r11 从i转到2的期望利润值 P12r12:从i转到i的期望利润值 P
19、iirii:从i转到N的期望利润值 P1Nr1N,而从状态i开始经过一步转移后所得到的期望利润值为 Pijrij=Pi1ri1+Pi2ri2 PiNriN 这个值称为即时期望利润,又是一步状态转移期望利润,是概率定义下的利润均值.记为 Vi=Vi=Pijrij 特别地Vi=0,即当 k=0,未转移,没有利润变化.,1,0,2.k步转移期望利润递推公式 k步转移期望利润可以分解为两步,即一步和k1步,一步转移期望利润为Vi=Pijrij 现考虑k1步 首先,从0时刻到1时刻发生了一步状态转移,假定 状态已转移1状态(令Pij=1)后,从1状态开始 k1 步转移后达到期望利润为V1k-1.而i状态
20、转移到1状态的发生概率为Pi1,因此i状态先转移到1状态后的k1步实际期望利润为 Pi1 V1k-1,k1,同理 i状态先转到2状态后的k1步实际期望利润为 Pi2 V2 即:各实际期望利润之和,构成了初始状态为i的 k1步转移后的转移期望利润:PijVj k步转移期望利润 Vi=Vi+PijVj=Pijrij+PijVj=Pij(rij+Vj)以上公式为k步转移期望利润递推公式此公式可改写为矩阵递推式:由 Vi=Vi+PijVj,k1,k1,k,1,k1,k1,k1,k,k1,V1定义 V=V2 为j步转移期望利润列向量:VN V1 V=V2 为即时期望利润列向量:.VN P11 P12 P
21、1N:为一步状态转移概率矩阵 PN1 PN2 PNN 有V=V+PV,j,j,j,j,P=,K,k1,例:设某商品销售状态分别为畅销(状态1)及滞销(状态2),销售状态转移概率矩阵为 P11 P12 0.5 0.5 P21 P22 0.4 0.6利润矩阵 r11 r12 5 1 r21 r22 1-1试预测三个月后的期望利润.,=,P=,=,R=,解:利用递推公式顺序推出,即时期望利润 Vi=Pijrij V1=P1jr1j=P11r11+P12r12=0.55+0.51=3(百万元)V2=P2jr2j=P21r21+P22r22=0.41+0.6(-1)=-0.2(百万元)V1:本月畅销,一
22、月后可期望获利300万V2:本月滞销,一个月后预测亏损20万由 V1=P1j(r1j+Vj),k,k-1,V1=P1j(r1j+Vj)=P11(r11+V1)+P12(r12+V2)=0.5(5+3)+0.5(10.2)=4.4(百万)即本月畅销,预计两个月后可期望获利440万元 V2=P2j(r2j+Vj)=P21(r21+V1)+P22(r22+V2)=0.4(1+3)+0.6(-10.2)=0.88(百万)即本月滞销,两月后可期望获利88万元.,2,2,由此,可推出本题结果:V1=P1j(r1j+Vj)=P11(r11+V1)+P12(r12+V2)=0.5(5+4.4)+0.5(1+0.8)=5.64(百万)V2=P2j(r2j+Vj)=P21(r21+V1)+P22(r22+V2)=0.4(1+4.4)+0.6(-1+0.88)=2.088(百万)答案:若本月畅销,三月后将期望盈利564万元 若本月滞销,三月后将期望盈利208.8万元.,3,2,2,2,3,2,2,2,
