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1、,93 直线和平面的位置关系,直线和平面,在日常生活中，我们可以观察到直线与平面的位置关系共有三种。,即：平行、相交、在平面内。,其中直线在平面内，由基本性质1决定。,对于直线和平面的前两种位置关系，分别给出下面的定义。,定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么称这条直线和这个平面平行。,定义2 如果一条直线和一个平面有且只有一个公共点。那么称这条直线和这个平面相交。,直线和平面,直线与平面的位置关系,一、直线和平面平行,1、直线和平面平行的判定,直线 和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。,例1。已知：空间四边形ABCD，E、F
2、分别是AB、AD的中点,求证：EF平面BCD,证明：连接BD，在 ABD中，,E、F分别是AB、AD的中点，,EF BD,EF 平面BCD,A,B,C,D,E,F,又EF 平面BCD，,3。两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同 一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点求证：MN 面BCE,分析：连接AE,CE 由M、N是中点知：MN CE,所以：MN 面BCE,2、直线和平面平行的性质,直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。,例3：,例3：证,明,证法2,利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质,直线和
3、平面垂直,x,y,o,课件,c,a,b,O,直线与平面有那些位置关系？,a/,b,a,b,c,a与c是异面直线,d,如果平面内的直线d 平行于b，那么d与a,垂直,直线a与平面 相交，a与平面 内的直线有几种位置关系？,若直线d不在平面 内，上述结论还成立吗？,仍成立,过一点能作几条与已知直线垂直的直线？,m,O,a,b,c,d,A,所作的垂线是在同一平面内吗？,是,直线m与此平面给我们什么形象？,直线垂直平面的形象,M,直线和平面垂直的定义,如果一条直线（）和一个平面（）内的任何一条直线都垂直，则说这条直线（）和这个平面（）互相垂直,记为.直线 叫平面 的垂线，平面 叫直线 的垂面，垂线和垂
4、面的交点叫做垂线足或垂足（Q）。,直线与平面垂直的判定定理,如果直线 和平面 内的两条相交直线m,n都垂直，那么直线 垂直平面。,即：,线不在多，重在相交,1、直线和平面垂直的判定,直线 与平面 相交，但不和平面垂直，叫做直线 与平面 斜交，称直线 是平面 的斜线，交点为斜足。,求证：与三角形的两条边同时垂直的直线 必与第三条边垂直。,A,B,C,a,实际上，这为证明“线线垂直”提供了一种方法,分析:问题的焦点是三角形PBC是不是直角三角形?,故共有四个直角三角形,故共有四个直角三角形,如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。求证：P
5、O 平面ABCD,提示,AO=CO，PA=PC，PO AC。同理PO BD，又 AC BD=O，PO 平面ABCD。,在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线AC BD。,提示,A,B,C,D,E,小结,间接法,直接法,唯一性公理一,m,A,过一点有且只有一条直线和已知平面垂直,唯一性公理二,过一点有且只有一个平面和已知直线垂直,m,A,B,2、直线和平面垂直的性质,直线与平面垂直的性质定理,如果两条直线同垂直于一个两面，那么这两条直线互相平行。,已知:求证:,证明：反证法.,A,B,斜线在平面内的射影直线和平面所成的角,1、斜线在平面内的射影,（1）点在平面内的射影,过一
6、点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影.,（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段,一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.,平面的斜线,斜足,点P到平面的斜线段,（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影.,从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.,斜线在平面内的射影,斜线段在平面内的射影,2、直线和平面所成的角,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角
7、，叫做这条斜线和这个平面所成的角.,a,AOB（记为）是a与所成的角,最小角定理,斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角,C,D,进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角,直线和平面垂直：所成的角是直角直线和平面平行或在平面内=00 00 900,00900,小结,（1）点在平面内的射影,（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段,（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影.,2、直线和平面所成的角,（4）射影定理,1、斜线在平面内的射影,（3）最小角定理,（1）斜线和平面成角,（2）直线和平面成角,三垂线定理及逆
8、定理,预习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？,PO是平面的斜线,O为斜足;,PA是平面的垂线,A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,三垂线定理,性质定理,判定定理,性质定理,答：aPO,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,为什么呢？,三垂线定理,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。,对三垂线定理的说明：,三垂线定理,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这
9、条斜线的射影垂直。,三垂线逆定理,例题分析：,1、判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面内的射影，则ab。(),2定理的关键找“平面”这个参照学。,强调：1四线是相对同一个平面而言,(2)若a是平面的斜线，b是平面内的直线，且b垂直于a在内的射影，则ab。(),三垂线定理,关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,从三垂线定理的证明得到证明ab的一个程序：一垂、二射、三证。即,第一、找平面(基准面)及平面垂线,第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线a
10、垂直，从而得出a与b垂直。,例1 已知P 是平面ABC 外一点，PA平面ABC，AC BC，求证：PC BC,证明：P 是平面ABC 外一点 PA平面ABC PC是平面ABC的斜线 AC是PC在平面ABC上的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC,例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD,(3)在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,(1),(2),(3),(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中
11、点，求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点,AOBD,又AO是PO在ABCD上的射影,POBD,(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,BCAM,证明:,PB=PCM是BC的中点,PM BC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,(3)在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证，A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,例3、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否
12、求出电塔顶与道路的距离？,解：在道边取一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20cm,三垂线定理,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20cm BC=20m，,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,三垂线定理,例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=6，求点P到平面ABC的距离。,解:作PH平面ABC，,连AH交BC于E，连PE,PA、PB、PC两两垂直PA平面PBC PABC,三垂线定理,三垂线（逆）定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影（斜线）垂直，那么它也和这条斜线（斜线的射影）垂直。,小 结,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理关键是找“基准面”这个参照系,三垂线定理,2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,ABCD是正方形，ACBD 又DD1平面ABCD BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 AC在平面AC内，BD1AC,而AB1，AC相交于点A且都在平面AB1C内 BD1平面AB1C,证明：连结BD，,请同学思考：如何证明D1BAB1,连结A1B,三垂线定理,
