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1、农业机械有限元软件方法,吉林大学生物与农业工程学院韩志武,第一章 有限元法基本原理,1.1有限元法方法及其历史,1.1 有限元法简介及其历史,精确解：少数方程性质简单，形状规则；复杂问题解：简化假设+数值解法 有限差分法：网格，用差分方程近似微分方程流体应用；其他方法：配点法、最小二乘法、Galerkin法、力矩法、里兹法；共同点：在整个求解域上假设近似函数。,有限元法的基本解题思路：,将连续求解区域离散一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由插值函数表达，未知场函数及其导数在各个结点上的数值
2、就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，插值求整个解。,参考书目：,有限元法及其在锻压工程中的应用吕丽萍主编，西北工业大学出版社 弹性和塑性力学中的有限单元法丁皓江等主编，机械工业出版社有限元分析的基本方法及工程应用周昌玉、贺小华 编著，化学工业出版社,1.2 位移函数与形状函数,1、坐标系以杆单元为例：,和 是 两点沿方向的位移分量。和 是 两点沿方向的节点力分量。统一规定：和坐标轴正向一致的为正。,内位移：杆单元在节点力的作用下所产生的位移称为内位移。位移函数：描绘内位移的函数。,材料力学：仅受轴向力作用的杆，其中各点的位移是沿杆的轴线按线性规律变化，即：
3、为杆单元位移函数。其中：，待定常数，由，节点的位移确定。用矩阵表示为：,式中：1和 为基底函数，为基底函数矩阵。，为单元的广义位移，为广义位移列阵。由单元的边界条件，确定广义位移：，;,。代入 式：,矩阵形式为：式中：为单元的节点位移。,则：为变换矩阵。式中：,则：代入 式：,设：，代入上式，得：矩阵形式：,即：为形状函数矩阵。由式 可知：当，时，；当，时，。形状函数的力学含义：当单元的一个节点位移为单位值，其他节点的位移为零时，单元内位移的分布规律。,数学意义：如果说结构被有限个自然节点离散化为有限个单元的集合，实现了结构模型的离散化，那么形状函数则完成了数学模型。将式（1.4）代入式（1.
4、2）得：由式（1.6）,则：位移函数或形状函数的选择是有限元分析的关键，位移函数选择的优劣，会直接影响到解的收敛性及解的精确度。,1.3 单元应力和应变,位移函数几何方程（应变）物理方程（应力）杆单元的几何方程为：,简化为：为几何矩阵。杆单元的物理方程为：或：为弹性矩阵。,将式（1.8）代入上式，得：为应力矩阵。对于杆单元：,为弹性矩阵，对于杆单元，是1X1 阶矩阵。（1.8）、（1.10）是两个常数公式。,1.4 虚功原理,设有一受外力作用的物体，如下图所示：,节点外力：，和；节点外力：，和。外力用 表示；内力用 表示。,设物体在外力 和内力 以及边界固定点A、B、C处支反力作用下处于平衡状
5、态。假设物体发生了虚位移：，；由虚位移产生的虚应变：，。,发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功是：应力在虚应变上的虚功是：整个物体的虚应变能是：,虚功原理：如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外力所做的虚功等于物体的虚应变能。即：称为弹性体的虚功方程。,1.5 单元刚度矩阵,假设杆单元L：其中：,为参数。,杆单元应力-应变关系为：则：由力的平衡条件：则：,（1.13）和（1.14）用矩阵表示：即：为单元 的节点力向量；为单元 的节点位移向量。,为单元 的刚度矩阵。刚度系数：单位节点位移分量所引起的节点力分量。单元：节点力为，内力为，节点虚位移，单元虚位移，单元虚应变。
6、,单元的外力虚功：单元的虚应变能：虚功原理：,将 代入上式，得：,由虚位移的任意性：与（1.16）式对比，得：称为单元的刚度矩阵，简称单刚。,1.6 整体刚度矩阵的集成,整体结构离散有限个单元单元分析单元特性集合,台阶轴：台阶轴 离散化模型 单元模型,则单元（1）的刚度方程，考虑（1.15）式：单元（2）的刚度方程：,台阶轴在外力 和 的作用下发生变形时，在节点处的变形必须是连续的，即：。三个节点的位移：，,台阶轴处于平衡状态，各个节点的力是平衡的。节点1：外力，节点力；节点2：外力为0，节点力；节点3：外力，节点力。,列出各节点的力的平衡方程式：在节点1处：在节点2处：在节点3处：,用矩阵表
7、示：简写为：其中：为外载荷列阵；为节点力列阵。,为整体刚度矩阵。为整体位移列阵。整体刚度方程是结构的力的平衡方程式，其中每一行都表示了在一个节点上的力的平衡方程式。工程应用中，采用叠加原理集成整体刚度矩阵。,以台阶轴为例讲述叠加原理：首先列出单元的刚度方程：e1:e2:,将2X2阶的单元刚度矩阵扩充为3X3阶的贡献矩阵：,将贡献矩阵叠加：在实际工程计算中，单元数目往往有上百个，无需将每个单元刚度矩阵都扩充为贡献矩阵，而是按刚度系数的下标直接加到整体刚度矩阵中去。,整体刚度矩阵的性质：对称性：。在计算中，只存贮矩阵的上三角部分或下三角部分。稀疏性：绝大多数元素都是零，这是因为和某一个节点相关的节
8、点数一般不会超过9个。整体网格分的越细，则 的稀疏性越突出，利用这个特点可设法只存贮 中的非零元素，从而节省存贮容量。带形分布规律：非零元素分别在以主对角线为中心的带形区域内。在包括对角元素在内的半个带形区域中，每行具有的元素数叫半带宽（d）。d=(相邻节点号的最大差值1)*2,若结构有N个节点，则迭加后的整体刚度矩阵为2N*2N阶。例如，某结构节点数N=55，节点最大号码差D=6，则半带宽:d=(6+1)*2=14。总自由度数:2N=2*55=110。半带宽存贮量：2N*d=1540 整体刚度矩阵上三角部分存贮量：1/2*2N*(2N+1)=6105,奇异性：整体结构在无约束的条件下作刚体运
9、动，必须处理边界条件。,1.7 处理边界条件,节点3固定，则。,引入边界条件：节点1处有外载荷，节点2处外载荷为零，节点3处位移为零，代入刚度方程：未知量是，从方程（1.22）中取出前两行。,即：对比式（1.22）和（1.23），将式（1.22）中的 的第三行和第三列划去（即可与零位移对应的行和列划去），载荷项中也划去第三行，就可直接得出式（1.23）。,1.8 有限元法的解题步骤,结构理想化：将真实结构简化为力学模型。假设曲面平面；变厚度等厚度。结构离散化：将力学模型离散化为有限个单元的集合体，并将离散化的结构进行单元和节点的编号。求节点载荷：若载荷不作用在节点上或为分布载荷，则将载荷向节点移置。求单元刚度矩阵,集成整体刚度矩阵：将全部单元的刚度系数按下标的号码加到整体刚度矩阵中去。处理边界条件：将与零位移对应的行和列划去，以消除刚度矩阵的奇异性。解方程组：，求出节点位移。计算各单元的应变、应力、节点力等。,
