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1、19.2.3一次函数与方程、不等式,人教版八年级数学下册,第一课时,学习目标,1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系。,.会用数形结合的方法分析和解决问题。,看下面两个问题之间的关系：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？,分析：可以从下面三个方面进行思考对于2x+20=0 和y=2x+20，从形式上看，有什 么不同？,若作出y=2x+20，（1）和（2）有什么关系？,2 从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？,问题：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？,对于2x+20=0
2、和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？,形式上,2x+20=0,y=2x+20,一元一次方程,一次函数,问题：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？,从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？,2x+20=0,y=2x+20,本质上（从“数”的角度看）,解方程2x+20=0得x=-10,当函数值为0时，所对应的自变量x的值,也就是,当y=0时，得2x+20=0，解得x=-10,从“数”上看,当x为何值时,y=8x+3的值为0,解方程-7x+2=-1,当x为何值时,y=ax+b的值为0,解方程ax+b=0,解方程 8x+3=0,解方程 3x2=0,当
3、x为何值时,y=3x2的值为0,当x为何值时,y=-7x+2的值为-1,可化为：-7x+3=0,问题：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？,若作出y=2x+20，（1）和（2）有什么关系？,y=2x+20,从“形”的角度看：,直线y=2x+20的图像与x轴的交点坐标为,这说明方程2x+20=0的解是,（-10，0）,X=-10,从“形”上看,序号,一次函数问题,图像,当x为何值时，y=2x-2的值为0,当x为何值时，y=ax+b的值为0,直线y=ax+b的图像与x轴的交点的横坐标,问题：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x
4、+20的值为0？,结论：这两个问题实际上是同一个问题（只是表达形式不同）,求ax+b=0(a,b是常数，a0)的解,当X为何值时y=ax+b的值为0,求直线y=ax+b与X轴交点的横坐标,从“数”的角度看,从“形”的角度看,求ax+b=0(a,b是常数，a0)的解,下列方程与函数y=2x+1有什么关系？（1）2x+1=3（2）2x+1=0（3）2x+1=-1,y=2x+1 2x+1=3,求2x+1=3的解,当y=3时，求函数y=2x+1的自变量x的值,在y=2x+1的图像上确定当y=3时对应的横坐标x,y=2x+1,答案：x=1,2x+1=0 的解,2x+1=-1 的解,1、0.5、-1,由
5、形 到 数,由 数 到 形,一次函数与一元一次方程,上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1的情况，而这三个方程的解则分别对应着此时自变量的值，即图象上A，B，C三点的横坐标,从函数的观点看：解一元一次方程ax+b=k，就是求当函数值为k时对应的自变量x的值,一元一次方程ax+b=k（a0）与函数y=ax+b,一次函数与一元一次方程的关系,求ax+b=k（a0）的解,（从“数”的角度）,X为何值时，y=ax+b的值为k,求ax+b=k（a0）的解,当函数y=ax+b的纵坐标为k时，所对应的横坐标x的值,（从“形”的角度）,1、已知一次函数y=-2x+2,根据图像回答（1
6、）当y=0时，求x的值；（2）当y=2时，求x的值,解：,(1)由图像可知：一次函数y=-2x+2与x轴的交点为（1，0）当y=0时，x=1,(2)由图像可知：一次函数y=-2x+2与y轴的交点为（0，2）当y=2时，x=0,2.根据下列图象，将一次函数转化为一元一次方程，并直接说出相应方程的解,方程5x=0的解是x=_,方程x+2=0的解是x=_,方程x-3=0的解是x=_,方程-2.5x+5=0的解是x=_,3.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象肯定不是直线 y=ax+b的是（）,B,从“数”上看,（1）解不等式：2x-40,（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0,解：（1）
7、解得x2,（2）就是要使2x-40，解得x2时，函数y=2x-4的值大于0,议一议：在上面的问题解决过程中，你能发现它们之间有什么关系吗？,从“数”的角度看它们是同一个问题,试一试(根据一次函数与不等式的关系填空):,求一次函数y=3x-6的函数值小于0的自变量的取值范围。,求不等式3x+80的解集。,从“形”上看,问题3：如何用函数图像来解释：自变量x取何值时，函数y=2x-4的值大于0,解：画出直线y=2x-4,可以看出，当x2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时,y=2x-40,例 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集,3x+60,(3)x+3 0,(2)3x+6 0,X-
8、2,(4)x+30,x3,X-2,x3,(即y0),(即y0),(即y0),(即y0),1、直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是，不等式-3x-30的解集是，不等式-3x-30的解集是,（-1,0）,x-1,x-1,求ax+b0(或0)的解,X为何值时，y=ax+b的值大于0（或小于0）,求直线y=ax+b在X轴上方（或下方）部分所有点的横坐标,从数的角度看,从形的角度看,一次函数与一元一次不等式的关系,求ax+b0(或0)的解,归纳,例2下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？（1）3x+22；（2）3x+20；（3）3x+2-1,用一用,y=3x+2,y=
9、2,y=-1,不等式ax+bc的解集就是使函数y=ax+b的函数值大于c时所对于的自变量x的取值范围 不等式ax+b0(a0)的解集是函数y=ax+b的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围,巩固与应用,1、直线y=mx+n与x轴的交点坐标是(2，0)不等式mx+n0的解集是。,x2,2、当x 时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方。,2,2题图,1题图,尝试题：用画函数图象的方法解不等式：,不等式化为 3x-6 0,画出函数y=3x-6的图像,这时 y=3x-6 0,此不等式的解集为x 2,y=3x-6,5x+42x+10,解：,由图像可以看出：,当 x2 时这条直线上的点在x轴的下方，,
10、解法二：,把 5x+42x+10 看做两个一次函数y=5x+4和y=2x+10,画出y=5x+4和y=2x+10的图像.,10,-5,y=2x+10,y=5x+4,2,它们的交点的横坐标为2.,当x 2时直线y=5x+4 上的点都在直线y=2x+10的下方.,x 2,14,4,由图像可知,即5x+42x+10,此不等式的解集为,（4，0）,x4,x4,x6,4x6,y=2,y=-1,巩固题：,继续尝试：二元一次 方程与一次函数的关系,以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图象就是 的图象.,你会将二元一次方程 x+y=3 用x的式子表示y吗？,一次函数 y=3-x 的图象上所有点的坐标都
11、是二元一次方程x+y=3解吗？,y=-x+3,一次函数 y=-x+3,归纳,每个二元一次方程都可转化为一次函数,思考：二元一次 方程组与一次函数的关系,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合,对于，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x取什么数值时，两个次函数的y值相等?它反映在图象上，就是求直线y=0.6x+1.6和直线y=2x-1的交点坐标.,直角坐标系中两直线的交点的坐标可以看作是一个二元一次方程组的解。,方程组的解.就是这两个函数表达式组成的两一次函数的图象的交点坐标,归纳,你一定能行的！,巩固练习,1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),则方程组 的解为
12、.,2、若二元一次方程组 的解为,则函数 与 的图象的交点坐标为.,（2，2）,3根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解是什么?,综合运用,一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B初收月租费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?,解法1:设上网时间为x分,若按方式A则收费y=0.1x元;若按方式B则收费y=0.05x+20元,在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象,解方程组,所以两图象交于(400,40),当0 x400时，直线y=0.1x在直线y=0.05x+20的下方，0.1x 0.05x
13、+20，选A种方式合算,当x=400时两者均可。,当x400时，直线y=0.1x在直线y=0.05x+20的上方，0.1x0.05x+20，选B种方式合算,解法2：,设上网时间为x分，方式A与方式B两种计费差额为y元，则y与x的函数关系式为:y=(0.05x+20)0.1x=0.05x+200,一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B初收月租费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?,画出这个函数的图象,400,解方程0.05x+200=0,得x=400,所以图象与x轴交点为(400,0),由图象可知:当
14、0 x400时,y0,选A方式合算,当x=400时,y=0,两者均可;,当x400时,y0,选B方式合算,（1）对应关系,将方程组中各方程化为y=kx+b的形式；画出各个一次函数的图象；由交点坐标得出方程组的解,(2)图象法解方程组的步骤：,你掌握了吗？,一、今天学习了什么？,二、有什么疑问的地方？,三、有什么和老师、同学探讨的吗？,当堂检测,1.直线y=-3x+5与x轴的交点坐标为_则方程5-3x=0的解是x=_,2.直线y=kx-3与x轴的交点是(-1,0),则kx=3的解是x=_,3.直线y=-3x+2与x轴的交点是_，,0,则不等式-3x+20的解集是,.,x _,4.方程组,的解为,5.函数y=2x-3与y=-x+6的图象的交点是 _,;所以点(-1,1)是直线_,与直线_的交点.,6、直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是，不等式-3x-30的解集是。,x,o,y,-1,y=-3x-3,7、直线y=mx+n与x轴的交点坐标是(2，0)不等式mx+n0的解集是。,x,o,y,2,y=mx+n,6题图,7题图,8、当x 时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方。,x,o,y,2,2,8题图,9、直线y=-x+m和y=2x+n的交点如图，则不等式-x+m2x+n的解集是。,x,o,y,2,1,9题图,x1,y1=-x+m,y2=2x+n,再见,
