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1、数学建模讲义第1章 数学建模简介,黄慧青 嘉应学院,本课程的内容和要求,预备知识必备：数学分析（高等数学）、高等代数（线性代数）、概率统计。扩展：图论、偏微分方程、组合数学、随机过程、数值分析、计算机程序设计.课程设制：1/2理论课和1/2上机课。要求同学自由组合，三人一组完成作业、论文和实验报告。大部分作业上机完成，但是交打印版或手写版考试分开考。,教材：数学模型(第三版)姜启源等,高等教育出版社,2003年,第一章 建立数学模型第二章 初等模型第三章 简单的优化模型第四章 数学规划模型 第五章 微分方程模型第六章 稳定性模型第七章 差分方程模型,第八章 离散模型第九章 概率模型第十章 统计
2、回归模型第十一章 马氏链模型第十二章 动态优化模型第十三章 其它模型,数学软件,matlab,matlab程序设计与应用,有电子版教程。lingo,有电子版教程。数学建模只要求知道实际问题与某些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，模型的求解可交给数学软件求解。可在黄可坤老师的主页http:/,主要内容,1 什么是数学模型？2 数学建模有什么意义？3 全国大学生数学建模竞赛。4 建模示例1：椅子能在不平的地面上放稳吗？5 建模示例2：商人们怎样度河？6 建模示例3：人口增长模型。7 数学建模的方法和步骤8 matlab曲线拟合
3、。,数学精微何处寻，纷纭世界有模型。描摹万象得神韵，识破玄机算古今。岂是空文无实效，能生妙策济苍生。经天纬地展身手，七十二行任纵横。,1 什么是数学模型,从小学、中学到大学数学，都有数学应用题，让学生体会数学的应用，体会数学与现实世界的关系。,是不是凡是应用数学知识来解决现实世界的问题都是数学应用题？比如，下面的问题是数学应用题吗？,问题 一艘船从港口O出发，航行了100千米到港口A。又航行了160千米，遇到意外情况需要派直升飞机援救。直升飞机应到何处寻找该船？,一艘船从港口O出发向南偏东75o，方向沿直线航行了100千米到港口A。然后向北偏东60o方向沿在线航行了160千米到达点B，遇到意外
4、情况需要从港口O派直升飞机援救。直升飞机应向北偏东多少度的方向飞行、飞行多少千米才能到达点B？,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型可分为物质模型（形像模型）和理想模型（抽像模型），包括：直观模型、物理模型、思维模型、符号模型等。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各若干？(x+y)*30=750,(x-y)*50=750事实上，所有的数学都是某种模型。数学模型：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化
5、假设，运用适当的数学工具，得到的数学结构。,2 数学建模的重要意义,分析与设计。预报与决策。控制与优化。规划与管理。“高技术本质上是一种数学技术”。马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。”计算机在数学建模中起的重要作用。,3 全国大学生数学建模竞赛,时间：每年9月中下旬。内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有标准答案。对象：全国本专科学生，专业不限，甲乙组形式：3人一组，三天三夜，自由完成目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数学和计算机的能力，团结合作精神和进行协调的组织能力等。评奖：大概1/2能得到省奖，1/10有全国奖。,全国大学生数学建模竞
6、赛题目,2009A 制动器试验台的控制方法分析。2009B 罗立兵_眼科病床安排的数学模型。2010A 储油罐的变位识别。2010B 上海世博会影响力的定量评估。2011A 城市表层土壤的重金属污染分析。2011B 交巡警服务平台的设置与调试。2012A 葡萄酒的评价2012B 太阳能小屋的设计,竞赛准备,成功获奖=一本好的教材+获奖范文+实战演练=数学高手+计算机高手+写作高手,4 数学建模示例,1.椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，
7、使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0,数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且 g(0)=0，f(0)0.需证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.
8、,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()g(),则h(0)0和h(/2)0.由 f,g的连续性知 h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()g()=0,所以f(0)=g(0)=0.,评注和思考,建模的关键,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(),g()的确定,2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),3名商人 3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随
9、从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)决策,D=(u,v)u+v=1,2 允许决策集合
10、,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,允许决策 移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,d1,，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），
11、请估计出美国2010年的人口。,3.人口增长模型,问题分析,通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律（即某种类型的函数），再用函数拟合的方法确定其中的未知参数。,模型1：线性增长模型,参数估计,求参数a和b，使得以下函数达到最小值:,其中xi是ti时刻美国的人口数。,可解得a和b，然后再代回函数计算新的时间t所对应的人口数：,模型2:二次函数模型,求参数a,b,c，使得以下函数达到最小值:,其中xi是ti时刻美国的人口数。,可解得a,b,c,然后再代回函数计算新的时间t所对应的人口数：,x=0:10:200;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 5
12、0.2 62.9 76.0 92.0 106.5.123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;plot(x+1790,y,k.,markersize,20);axis(1790 2000 2 300);grid;hold onpauset=0:10:210;p1=polyfit(x,y,2);f1=polyval(p1,t);plot(t+1790,f1,bo-,linewidth,2);pausep2=polyfit(x,y,6);f2=polyval(p2,t);plot(t+1790,f2,ro-,linewidth,2);,多项式曲线拟合程序（2
13、次、6次）,类型：属于生物种群繁殖这一大类问题 模型：Malthus模型（1798年）,求解：,即相对增长率为常数.其中，B、D分别为个体的平均生育率和死亡率.,结论：生物种群个体数量是按指数方式增长的,模型3:指数增长模型,Malthus模型求解：设人口数量N(t)和时间t的关系为,求 a,b使,最小,法方程组,令,clear;clft=0:10:200;N=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5.123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;plot(t+17
14、90,N,k.,markersize,20);axis(1790 2000 2 300);grid;hold onpausen=15;%以1790-1940年150年统计数据拟合Malthus模型a=sum(t(1:n);b=sum(t(1:n).*t(1:n);c=sum(log(N(1:n);d=sum(log(N(1:n).*t(1:n);A=n a;a b;B=c;d;p=inv(A)*BT=0:10:210;f=exp(p(1)+p(2)*T);plot(T+1790,f,ro-,linewidth,2),Malthus模型求解程序,p=1.5214 0.0252,模型：Logist
15、ic模型（1838年）,求解：,变形：,（常数k为环境最大容纳量）,模型4:阻滞增长模型(Logistic模型),Logistic模型求解：设人口数量N(t)和时间t的关系为,求 a,b使,最小,法方程组,令,clear;clfT=0:10:200;N=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5.123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;plot(T+1790,N,k.,markersize,20);axis(1790 2000 2 300);grid;hold
16、onpausek=434;M=1./N-1/k;n=15;%以1790-1940年150年统计数据拟合Logistic模型 a=sum(T(1:n);b=sum(T(1:n).*T(1:n);c=sum(log(M(1:n);d=sum(log(M(1:n).*T(1:n);A=n a;a b;B=c;d;p=inv(A)*Bt=0:10:210;f=1./(1/k+exp(p(1)+p(2)*t);plot(t+1790,f,ro-,linewidth,2),Logistic模型求解程序,p=-1.4769-0.0275,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出
17、反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,7 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,8 matlab曲线拟合。,线性拟合例：输入 x=1,2,3,4,5;y=2,3,5,2,1;cftool(x,y)弹出拟合工具箱如图：,点击Fitting按钮弹出fitting窗口，点击Newfit按钮,type of fit 栏中选择polynomial(多项式拟合)，再在polynomial
18、栏中选择linear polynomial,点击Apply曲线拟合窗口生成拟合直线如图：,并且在“fitting”窗口的Results栏中显示结果：,直线的系数（斜率和截距）保留在p1和p2中，其中p10.3，p23.5，它们在95%置信度下的置信区间分别为(-1.974,1.374)和(-2.052,9.052),对于非线性曲线拟合，可用lsqcurvefit命令来实现，但有些可转换成线性拟合。,例如指数增长模型，可令y(t)=ln(x(t)，则。,作业：人口增长模型,某地区人口数据如上，建立模型估计出该地区2010年的人口，画出拟合效果的图形。按照数学建模论文的要求写，特别是要有摘要，参数估计。三个人为一组，一组交一篇论文。,
