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1、2023/10/14,数学建模,线性代数模型,Durer 魔方植物基因的分布常染色体的隐性疾病森林管理问题马氏链简介,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。,线性代数模型,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,Durer 魔方,德国著名的艺术家 Albrecht Durer(1471-1521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和
2、几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,1 Durer 魔方,特点,每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，为确定的数34。,所出现的数是1至16的自然数。,四角之和、中间对边之和均为34。,最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。,问题,是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,定义,如果44数字方，它的每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，则称这个数字方为 Durer 魔方。,R=C=D=S,西北大学数学系,2023/10/14
3、,数学建模,你想构造Durer魔方吗？如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？,2 Durer魔方的生成集,所有的Durer魔方的集合为 D,O=,E=,R=C=D=S=0,R=C=D=S=4,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,A=,B=,类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。,记 M=所有的44数字方，则其维数为16。而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。,根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，则任一个Durer方均可由这组基线性表示。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,由 0,1 数字组合，
4、构造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8 个，记为Qi,i=1,2,8。,Q1=,Q2=,Q3=,Q4=,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,Q5=,Q6=,Q7=,Q8=,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,易知,则,线性相关。,而由,=,线性无关。任一Durer方可由它们线性表示。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,结论：,1 Durer方有无穷多个。,2 Durer方可由,线性组合得到。,Albrecht Durer的数字方的构成：,=,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,3 Durer方的应用推广,（1）要求数字方的所有数字都相等。,
5、基为,1维空间,（2）要求行和、列和、每条主对角线及付对 角线数字和都相等。,基为,5维空间,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,例,R=C=H=N=46,H 主对角线，N付对角线数字和。,（3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。,8维空间Q。,基为,D是Q的7维子空间。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,例,R=C=D=30,（4）要求行和、列和数字相等。,10维空间W。,基为,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,（5）对数字没有任何要求的数字方,16维空间M,空间,维数,0 1 5 7 8 10 16
6、,思考,能否构造出其他维数的数字方？,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,练习,完成下面的Durer方,R=C=D=S=30,R=C=D=S=100,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,作业,构造你自己认为有意义的Durer方。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,植物基因的分布,设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa 和 aa。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,1 建模准备,植物遗传规律？,动植物都会将本
7、身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成了自己的基因对，基因对就确定了后代所表现的特征。,常染色体遗传的规律：,后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，即基因型。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,如果考虑的遗传特征是由两个基因 A、a控制的，那末就有三种基因对，记为AA、Aa 和 aa。,金鱼草花的颜色是由两个遗传因 子决定的，基因型为AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红花，而 aa型的开白花。人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。基因型为AA，或Aa 型的人眼睛颜色为棕色，而 aa型的人眼睛颜色为蓝色。这里AA，Aa表示同一外部特征，我
8、们认为基因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性的。,如,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,2 假设,分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。,第n代植物的基因型分布为,表示植物基因型初始分布。,假设1,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,假设2,植物中第n-1代基因型分布与第n代分布的关系由上表确定。,3 建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,4 求解模型,关键计算,特征值为1，1/2，0，M
9、可对角化，即可求出可逆对角矩阵P，使PMP-1为对角型矩阵。,特征值为1，1/2，0的特征向量分别为,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,则,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,当 时，,经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现AA型。,5 结论,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,练习题1,若不选用AA型植物与每种植物结合的方案，而是采用将相同基因型植物相结合，则情形怎样？,在极限状态下，后代仅具有基因型AA和aa。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给
10、子代的疾病。,常染色体的隐性疾病,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,常染色体遗传的正常基因记为A，不正常基因记为a，并以AA、Aa 和 aa 分别表示正常人，隐性患者和显性患者的基因型。若在开始的一代人口中AA、Aa 和 aa 基因型的人所占百分比为a0，b0，c0，讨论在下列两种情况下第n代的基因型分布。,1 控制结合：显性患者不能生育后代，正常人与隐性患者必须与正常人结合生育后代；2 自由结合：这三种基因的人任意结合生育后代。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,当 时
11、，,即经过足够长的时间后，隐性患者消失。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,练习题2,若采用随机结合的方式，各基因型的分布及变化趋势如何？,在美国，以镰状网性贫血症为例。如果黑人中有10%的人是隐性患者，在随机结合的情况下，计算隐性患者的概率从25%降到10%需要多少代？在控制结合下，经过这么多代，隐性患者的概率相应下降到多少？,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,思考,在中国的婚姻政策中有一项控制近亲（指直系血缘关系在三代以内）结婚的限制。试用常染色体的隐性病模型分析这项政策的深远意义。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,作业,血友病也是一种遗传疾病，
12、得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止。很有意思的是，虽然男人和女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力。若已知某时刻的男人和女人的比例为1:1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,森林管理问题,森林管理问题,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在
13、维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,题目要求做什么？给出什么条件？重要关系的描述，数据及其说明寻找条件与问题的联系。,1.确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。,关于审题,如果已判断该题是某类问题，按此类问题的要求寻找线索建模。,西北大学数学系,如：优化模型,2023/10/14,数学建模,森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的
14、树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,1 建模分析,目标函数：被砍伐树木的经济价值。,决策变量：被砍伐的树木的数量。,约束条件：持续收获，总数不变。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,2 模型假设,按高度将树木分为n类：,第一类，高度为,幼苗，其经济价值,第 k 类，高度为,每棵树木的经济价值,第 n 类，高度为,每棵树木的经济价值,假设1,记,为第 t 年开始时森林中各类树木的数量。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,每年砍伐一次，为了维
15、持每年都有稳定的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。,设,分别是第1，2，n类树木,在采伐时砍伐的棵数。,假设2,西北大学数学系,设森林中树木的总数是 s，即,根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。,假设3,2023/10/14,数学建模,假设4,每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即第k类的树木可能进入k+1类，也可能留在k类。,设,是经一年的生长期后，从第k类的树木中进入k+1类的比例，则,是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,3 建模,先看没有
16、砍伐时树木生长规律,西北大学数学系,变形，矩阵形式,2023/10/14,数学建模,定义高度状态向量和生长矩阵：,则没有砍伐时树木生长方程为,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,再考虑有砍伐和补种时的情形,根据问题的要求，要维持持续收获，即生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补种的幼苗数应等于生长期开始的量,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,各式相加后，得,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,再记,则,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,所收获树木的价值,问题,西北大学数学系,2023/10/14
17、,数学建模,4 模型求解,利用线性规划的理论和方法，得如下结论：,砍伐某一类树木而不砍伐其他类的树木时，可获得最大收益。,利用这一结论，设被砍伐的树木为第 k 类，则,根据所建模型，,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,根据所建模型，,得,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,结果表明：,森林从幼苗开始长到第 k 年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。从第 k 年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度的树木。因此，森林中没有高于或等于 k 类高度的树木。,问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,由,西北大学数学系,202
18、3/10/14,数学建模,当森林中各参数给定时，分别计算 f k 的值，再 比较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,5 算例,已知森林具有6 年的生长期，其参数如下。求出最优采伐策略。,解得,故全部收获第3类树木，可获得最大收益为14.7s。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,6 进一步思考,1 持续养鱼问题,2 企业持续发展问题,3 经济（社会）持续发展问题,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,马氏链简介,（Markov Chain）,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,马氏链（Markov Cha
19、in）是随机过程的一个特例，专门研究无后效条件下时间和状态均为离散的随机转移问题，但在建模过程中采用线性代数的方法，因此，也在线性代数模型中来学习。,马氏链简介,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,（一）商品的经营问题,某商店每月考察一次经营情况，其结果用销路好或销路坏这两种状况之一表示。已知如果本月销路好，下月仍保持这种状况的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变为销路好的概率为0.4。试分析假若开始时商店处于销路好的状况，那么经过若干月后能保持销路好的概率有多大？若开始时商店处于销路坏的状况呢？,一 正则链（Regular Chain）,西北大学数学系,2023/10/14,数
20、学建模,1 分析,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,表示销路好；,表示销路坏；,2 符号说明,商店的经营状况是随机的，每月转变一次。,建模目标是经过一段时间（若干月）后，经营状况如何，即经营好或经营坏的概率分别为多少？,用随机变量,表示第 n 个月的经营状况,称为这个经营系统的状态。,用,表示第,月处于状态,的概率，,即,称为状态概率。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,表示已知这月处于状态,，下月处于状态,的概率，,即,称为状态转移概率。状态及转移情况见图。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,3 建模,
21、令,P 概率转移矩阵,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,4 求解,P 特征值为1，1/10,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,当,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,5 结论,不论初始状态如何，经过相当长的时间后经营状态趋于稳定的概率。,注意到,经营系统在每个时期所处的状态是随机的，但从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各个时期的状态无关。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,这种性质称为无后效性，或马尔可夫（Markov）性，即已知现在，将来与历史无关。,具有无后效性的
22、，时间、状态均为离散的随机转移过程，通常用马氏链（Markov Chain）模型描述。,马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域有广泛应用，不仅可以解决随机转移过程，还可以处理一些确定性系统的状态转移问题。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,，当它的所有分量是非负，,一般地，一个行向量,且行和为1，称此向量为概率向量。,每行都为概率向量的矩阵，称为概率转移矩阵。,可证明,若A,B为概率转移矩阵，则AB也为概率转移矩阵。,若 P 为概率转移矩阵，则 Pn 也为概率转移矩阵。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,证明,若A,B为概率转移矩阵，,而AB=C的第 i 行，
23、第 j 列元素为,显然，,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,定理1 若马氏链的转移矩阵为,，则它是正则链的,充要条件是，存在正整数,使,（指,的每一,元素大于零）。,特点：,从任意状态出发经过有限次转移都能到达另外的任意状态。,（用这个定理检验一个马氏链是否为正则链。）,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,定理2,由,存在，记作,的每一行都是稳态概率,如果记,那么，有,由,又称为稳态概率。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,上例中,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,从状态,出发经,次转移，第一
24、次到达状态,的概,率称为,到,的首达概率，记作,，于是,为由状态,第一次到达状态,的平均转移次数。,特别地，,是状态,首次返回的平均转移次数。,与稳态概率,有密切关系，即,定理3 对于正则链,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,（二）信息传播问题,一条消息在,等人中传播，传播,的方式是,传给,传给,如此继续下去，每次传播都是由,传给,每次传播消息的失真率为,即,将消息传给,时，传错的概率为,这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息的真实程度如何？,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,第n个人知道消息可能是真，也可能是假，有两种状态，记为,表示消息假；,表示消息真；,用
25、,表示第,个人处于状态,的概率，,即状态概率为,由题意，状态转移概率矩阵为,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,由,为正则矩阵。,求 w=?,令,设,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,得,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,结论,长时间传播消息的真实性趋于稳定，且消息的真假概率各半。,例1 中,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,练习,迷宫问题（1）,下面给出一个迷宫图。迷宫有两个分隔间，分别记为1，2。每个分隔间粉刷成不同的颜色，试验者把一只老鼠放在迷宫的某个分隔间内，不同的颜色对老鼠的吸引作用不同，从第 i 个分隔间转移到第 j 个分隔的概
26、率为,（见后）,迷宫1,1,2,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,随后，试验者周期地观察老鼠的位置。因为观察的时间是间断的，试验者不可能确定任何时刻老鼠的位置，但希望知道，不论运动过程如何，在经过较长的一段时间后，运动是否趋于稳定？,三个分隔间的情形如何？,迷宫2,1,2,3,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,思考,右图给出一个迷宫图。,迷宫3,2,3,1,在第一个分隔间放进实物，其他两个分隔间粉成不同的颜色，老鼠可,由一个分隔间到达其他分隔间，但当到达第一分隔间时，被实物吸引，不再运动到其他分隔间，已知转移矩阵P，长时间后，老鼠运动状态如何？,迷宫问题（2）,西北
27、大学数学系,2023/10/14,数学建模,二 吸收链(Absorbing Chain),迷宫问题（2）,问题,（1）经过n次观察后，老鼠处于各个分隔间的概率？（2）长时间运动后，老鼠的运动状态如何？（3）若再增加一个放食物的分隔间，情况又如何？,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,1）分析,时间的离散性,每个时段状态的随机性,处于第 i个状态的概率,若转移概率矩阵为P,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,2）马氏链模型,可以看出，老鼠从第2，3个分隔间可以以大于零的概率达到每个分隔间，但从第1个分隔间，不能以大于零的概率达到其他分隔间。猜测：最后老鼠停留在第1个分隔间
28、。,3）求解计算,求,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,记,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,由于从第2，3个分隔间总是以大于零的概率达到第1个分隔间，,又由,记,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,本例中,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,4）结论,不论初始老鼠处在那个分隔间，长时间运动后，老鼠处在第1个分隔间的概率为1，其他的概率为零。,状态1为吸收态，2，3为非吸收态。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,5）问题的进一步考虑,增加一个放食物的分隔间。,注：1，2分隔间放食物
29、，3，4 分隔间涂色。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,记,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,初始,极限,初始,极限,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,结论,若初始老鼠处在1，2分隔间，长时间运动后，老鼠仍处在1，2分隔间；若初始老鼠处在第3，4分隔间，则经长时间运动后，在分隔间3，4的概率为零，而以正概率分别进入1，2分隔间。即无论初始状态如何，经过长时间后，都将被吸收态吸收。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,定义2 转移概率,的状态,称为吸收状态。如果,马氏链至少包含一个吸收状态，并
30、且从每一个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次转移到达某个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。,吸收链的转移矩阵的标准形式：,个吸收状态，,其中，,阶子方阵,的特征值,满足,一般地,个非吸收态,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,表示以任何非吸收态出发，经过n步转移后，到达 t 个非吸收状态的转移概率。,定义,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,定理4 对于吸收链,的标准形式（上面矩阵），,可逆，且,记列向量,，则,的第,分量是从第,被某个吸收状态吸收的平均转移次数。,（基矩阵）,F 中的每个元素，表示从任何非吸收状态出发，过程到达每个非吸收状态的平均转移次数；,个非吸
31、收状态出发，,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,设状态,是非吸收状态，,是吸收状态，那么首达概,率,实际是,经,次转移被,吸收的概率，而,则是从非吸收状态,出发最终将被吸收状态,吸收的,概率。记,，下面的定理给出了计算,的方法。,定理5 设吸收链的转移矩阵,表为标准形式，则,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,练习 智力竞赛问题,甲、乙两队进行智力竞赛。竞赛规则为：竞赛开始时，甲、乙两队各记2分，在抢答问题时，如果甲队赢得 1 分，那么甲队的总分将累加1分，同时乙队总分将减少1分。当甲（或乙）队总分达到4 分时，竞赛结束，甲（或乙）获胜。,（1）甲队获胜的概率是多少？
32、（2）竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数是多少？（）甲队获得，分的平均次数是多少？,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,1）分析,表示轮数,每轮得分情况,处于第 i个状态的概率,转移概率矩阵,甲,设甲得1分的概率为 p,0 1 2 3 4,01234,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,标准型,0 4 1 2 3,04123,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,（1）甲队获胜的概率,（2）竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数,（）甲队获得，分的平均次数分别为,西
33、北大学数学系,2023/10/14,数学建模,作业,1 一个服务网络由k个工作站,依次串联,而成，当某种服务请求到达工作站 时，能处理的概率为，转往下一站 处理的概率,为,，拒绝处理的,概率为，满足。,构造马氏链模型，确定到达 的请求平均经过多少工作站才能获得接受处理或拒绝处理的结果，被接受和拒绝的概率个多大？,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,2 空气污染问题,有 k 个城市，每一时刻 t=0,1,2,的空气中污染物浓度，从t 到t+1，空气,中污染物扩散到 去的比例是，有,扩散到k各城市之外的那部分污染物永远不再回来。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,健康与疾
34、病问题,人寿保险公司对受保人的健康状况非常关注，需通过大量的数据对状态转变的概率作出估计，才能制定出不同年龄、不同健康状况的人的保险金和理赔金数额。假定对某一年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8，即明年转为疾病状态的概率为0.2；而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，即明年保持疾病状态的概率为0.3。如果一个人投保时处于健康状态，研究若干年后他分别处于两种状态的概率。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,0.2,0.7,0.8,0.3,1,2,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,经计算,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,0.02,问题
35、的进一步考虑,人寿保险公司考虑到人的死亡情况，把死亡作为第三种状态，用,表示。,0.18,0.65,0.8,0.25,1,2,3,0.1,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,设,表示状态概率，,表示状态转移概率，,其值见上图。,第,年的状态概率可由全概率公式得到：,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,经计算,如果设初始状态概率为,则当,时，,的趋向与上表相同。,结论：不管初始状态如何，最终都要转到状态3，这代表了另一种重要的马氏链类型。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,钢琴销售的存贮策略,问题：钢琴是奢侈品，销售量很小，商店里一般不会有多大的库存量让它积
36、压资金。一家商店根据以往经验，平均每周只能售出一架钢琴，现在经理制订的存贮策略是，每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。试估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,问题分析：,对于钢琴的销售，顾客的到来是相互独立的，在服务系统中通常认为需求量近似服从泊松分布，其参数可由均值为每周销售1架得到，由此可以算出不同需求量的概率。周末的库存可能是0，1，2，3架，而周初的库存量只有1，2，3这3种状态，每周不同的需求将导致周初库存状态的变化，于是可用马氏链来描述这个过程。当需求超所库存时就
37、会失去销售机会，可以计算这种情况发生的概率。在动态过程中这个概率每周是不同的，每周的销售量也不同，通常采用的办法是在时间充分长以后，按稳态情况进行分析和计算。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,模型假设：,1.钢琴每周需求量服从泊松分布，均值为每周1架；,2.存贮策略是：当周末库存量为零时，订购3架，周 初到货；否则，不订购；,3.以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有 无后效性；,4.在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概 率，和每周的平均销售量。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,模型建立：,记第,周的需求量为,，由假设1，,服从均值为1,的波松分布，即
38、,记第,周初的库存量为,是这个系统的,状态变量，由假设2，状态转移规律为,由第1个式子可以推出，,由此计算状态转移矩阵：,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,那么，得到,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,记状态概率,根据状态转移无后效性的假设，有,根据定理1（,的每个元素大于零），可知这是一个,正则链，具有稳态概率分布,，,可由定理2计算得,该存贮策略（第,周）失去销售机会的概率为,按照全概率公式，有,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,其中的条件概率,当,充分大时，可以认为,所以，,即从长期看，失去销售机会的可能性大约10%,在计算该存贮策略（第,周）的
39、平均销售量,时，应,注意到，当需求超过存量时，只能销售掉存量，于是,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,即从长期看，每周的平均销售量为0.857架。,同样地，当,充分大时，用稳态概率,代替,得到,敏感性分析：,这个模型用到的唯一原始数据是，平均每周售出1架钢琴，这个数值会有波动。为了计算当平均需求在1附近波动时，最终结果有多大变化，设,服从均值,为,的波松分布，即有,！,由此得状态转移矩阵为,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,对于不同的平均需求,（在1附近），类似于上面,的计算过程，记,，可得到以下结果：,即当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（
40、或减少）约15%，这是可以接受的。类似地可以做每周平均销售量的敏感性分析。,评注：,这是对已经制订的存贮策略，用两个指标加以评价，还可以给出其他的策略和指标。,动态随机存贮策略是马氏链的典型应用，关键之一是在无后效性的前提下恰当的定义系统的状态。这个问题中以每周初的库存量作为状态变量即可，但,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,如果指定的存贮策略不仅与本周的销售有关，还要考虑上周销售的情况，那么状态变量就要扩充，包含,，相应的状态转移概率也要改变。,思考,试解释为什么模型中求解得到的,为每周平,均销售量会略小于模型假设中给出的1。,西北大学数学系,2023/10/14,数学建模,2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为 0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立 马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和 每周的平均销售量。,练习,将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为 0或1时订购，使下周初的库存达到3架；否则，不 订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机 会的概率和每周的平均销售量。,西北大学数学系,
