《第六讲马氏链模型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六讲马氏链模型.ppt（54页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、数学建模,第三章 线性代数模型,线性代数模型,Durer 魔方 植物基因的分布 常染色体的隐性疾病 马尔科夫链模型,四 马尔科夫链模型,Markov Chain Model,课堂讨论,讨论材料1,某商店每月考察一次经营情况，其结果用销路好或销路坏这两种状况之一表示。已知如果本月销路好，下月仍保持这种状况的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变为销路好的概率为0.4。试分析假若开始时商店处于销路好的状况，那么经过若干月后能保持销路好的概率有多大？若开始时商店处于销路坏的状况呢？,商店的经营问题,推测会有什么结果,怎么证明你的结果,由此问题想到什么,1 分析,情形1 开始经营好,情形2 开始经营坏
2、,不管开始经营情况如何，经过足够长时间后，商店销路不好的概率大于好的概率，好坏的可能是4/9和5/9,推测：,表示销路好；,表示销路坏；,2 问题分析及符号说明,商店的经营状况是随机的，每月转变一次。,建模目标是经过一段时间（若干月）后，经营状况如何，即经营好或经营坏的概率分别为多少？,用随机变量,表示第 n 个月的经营状况,称为这个经营系统的状态。,用,表示第,月处于状态,的概率，,即,称为状态概率。,表示已知这月处于状态,下月处于状态,的概率，,即,称为状态转移概率。,状态及转移情况图,3 建模,令,P 概率转移矩阵,4 求解,P 特征值为1，1/10,当,当,5 结论,不论初始状态如何，
3、经过相当长的时间后经营状态趋于稳定的概率。,注意到,经营系统在每个时期所处的状态是随机的，但从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各个时期的状态无关。,这种性质称为无后效性，或马尔可夫（Markov）性，即已知现在，将来与历史无关。,具有无后效性的，时间、状态均为离散的随机转移过程，通常用马氏链（Markov Chain）模型描述。,马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域有广泛应用，不仅可以解决随即转移过程，还可以处理一些确定性系统的状态转移问题。,健康与疾病问题,人寿保险公司对受保人的健康状况非常关注，需通过大量的数
4、据对状态转变的概率作出估计，才能制定出不同年龄、不同健康状况的人的保险金和理赔金数额。假定对某一年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8，即明年转为疾病状态的概率为0.2；而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，即明年保持疾病状态的概率为0.3。如果一个人投保时处于健康状态，研究若干年后他分别处于两种状态的概率。,讨论材料2,比较材料1与材料2的结果，你能得出什么结论？,人寿保险公司考虑到人的死亡情况，把死亡作为第三种状态情况如何？,0.2,0.7,0.8,0.3,1,2,经计算,0.02,问题的进一步考虑,人寿保险公司考虑到人的死亡情况，把死亡作为第三种状态，用,表示。,0.
5、18,0.65,0.8,0.25,1,2,3,0.1,设,表示状态概率，,表示状态转移概率，,其值见上图。,第,年的状态概率可由全概率公式得到：,建模,第,年的状态概率可由全概率公式得到：,经计算,如果设初始状态概率为,则当,时，,的趋向与上表相同。,结论：不管初始状态如何，最终都要转到状态3，这代表了另一种重要的马氏链类型。,，当它的所有分量是非负，,一般地，一个行向量,且行和为1，称此向量为概率向量。,每行都为概率向量的矩阵，称为概率转移矩阵。,正则链,吸收链,特点,从任意状态出发经过有限次转移都能到达另外的任意状态。,定义2 转移概率,的状态,称为吸收状态。如果,马氏链至少包含一个吸收状
6、态，并且从每一个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次转移到达某个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。,吸收链的转移矩阵的标准形式：,个吸收状态，,其中，,阶子方阵,的特征值,满足,个非吸收态,定理1 若马氏链的转移矩阵为,，则它是正则链的,充要条件是，存在正整数,使,（指,的每一,元素大于零）。,（用这个定理检验一个马氏链是否为正则链。）,西北大学数学系,定理2,由,存在，记作,的每一行都是稳态概率,由,又称为稳态概率。,西北大学数学系,上例中,西北大学数学系,马氏链模型的应用,1 信息传播问题,一条消息在,等人中传播，传播,的方式是,传给,传给,如此继续下去，每次传播都是由,传给,每次传播消
7、息的失真率为,即,将消息传给,时，传错的概率为,这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息的真实程度如何？,西北大学数学系,第n个人知道消息可能是真，也可能是假，有两种状态，记为,表示消息假；,表示消息真；,用,表示第,个人处于状态,的概率，,即状态概率为,由题意，状态转移概率矩阵为,西北大学数学系,由,为正则矩阵。,求 w=?,令,设,西北大学数学系,得,西北大学数学系,结论,长时间传播消息的真实性趋于稳定，且消息的真假概率各半。,例1 中,西北大学数学系,2 迷宫问题（1）,下面给出一个迷宫图。迷宫有两个分隔间，分别记为1，2。每个分隔间粉刷成不同的颜色，试验者把一只老鼠放在迷宫的某个分隔
8、间内，不同的颜色对老鼠的吸引作用不同，从第 i 个分隔间转移到第 j 个分隔的概率为,迷宫1,1,2,西北大学数学系,问题：老鼠运动会趋于稳定吗？,三个分隔间的情形如何？,迷宫2,1,2,3,西北大学数学系,迷宫3,2,3,1,在第一个分隔间放进实物，其他两个分隔间粉成不同的颜色，老鼠可由一个分隔间,到达其他分隔间，但当到达第一分隔间时，被实物吸引，不再运动到其他分隔间，已知转移矩阵P，长时间后，老鼠运动状态如何？,迷宫问题（2）,西北大学数学系,迷宫问题（2）,问题,（1）经过n次观察后，老鼠处于各个分隔间的概率？（2）长时间运动后，老鼠的运动状态如何？（3）若再增加一个放食物的分隔间，情况
9、又如何？,西北大学数学系,1）分析,时间的离散性,每个时段状态的随机性,处于第 i个状态的概率,若转移概率矩阵为P,西北大学数学系,2）马氏链模型,可以看出，老鼠从第2，3个分隔间可以以大于零的概率达到每个分隔间，但从第1个分隔间，不能以大于零的概率达到其他分隔间。猜测：最后老鼠停留在第1个分隔间。,3）求解计算,求,西北大学数学系,记,西北大学数学系,西北大学数学系,由于从第2，3个分隔间总是以大于零的概率达到第1个分隔间，,又由,记,西北大学数学系,本例中,西北大学数学系,4）结论,不论初始老鼠处在那个分隔间，长时间运动后，老鼠处在第1个分隔间的概率为1，其他的概率为零。,状态1为吸收态，
10、2，3为非吸收态。,西北大学数学系,5）问题的进一步考虑,增加一个放食物的分隔间。,注：1，2分隔间放食物，3，4 分隔间涂色。,西北大学数学系,记,西北大学数学系,西北大学数学系,初始,极限,初始,极限,西北大学数学系,结论,若初始老鼠处在1，2分隔间，长时间运动后，老鼠仍处在1，2分隔间；若初始老鼠处在第3，4分隔间，则经长时间运动后，在分隔间3，4的概率为零，而以正概率分别进入1，2分隔间。即无论初始状态如何，经过长时间后，都将被吸收态吸收。,西北大学数学系,3 空气污染问题,有 k 个城市，每一时刻 t=0,1,2,的空气中污染物浓度，从t 到t+1，空气,中污染物扩散到 去的比例是，有,扩散到k个城市之外的那部分污染物永远不再回来。,西北大学数学系,在每个时刻各城市的污染源都排出一定的污染物，,记 排出的为。,按照环境管理条例要求，,对充分大的 t 必须。,试建立马氏链模型，在已知 和 的条件下,确定 的限制范围，满足管理条例的要求。,设 k=3,由以下矩阵给出,求 的限制范围。,上机实习三,姜启源：P.353 资金流通问题,
