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1、1,第九章 机械波,2,全章的重点是波动的物理图象,平面简谐波的运动学方程,相位传播,建立,物理图象:,波动的能量特征、波的叠加和驻波的特点,研究机械波的目的,波动的基本规律,认识,研究其它形式的波,直观性,3,波动是振动的传播过程，,振动是激发波动的波源。,机械波,电磁波,波动：,机械振动在弹性介质中的传播.,交变电磁场在空间的传播.,两类波的不同之处,机械波的传播需有传播振动的介质;,电磁波的传播可不需介质.,能量传播反射折射干涉衍射,两类波的共同特征,如声波、水波等。,如光波、无线电波等。,4,9.1 机械波的产生和传播,1、机械波产生条件：1）波源；2）弹性介质。,波是运动状态的传播，
2、是能量的传播，介质的质点并不随波传播.,一、机械波的形成,5,特征：波形具有交替出现的波峰和波谷。,6,特征：波形具有交替出现的密部和疏部。,一般的波，如水波、地表波等，都能分解为横波与纵波来进行研究。,7,横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直,纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行,软绳,软弹簧,8,2）波动是振动状态的传播或是相位的传播，表现为波形的向前推进。,3）沿波的传播方向，各质元的相位依次落后。,4）各质元振动周期与波源的振动周期相同，与介质无关。,波动过程的特征：,1）各质元只在各自的平衡位置附近振动，本身并不随波前进。波的传播不是介质质元的传播。,在波动过程中：,后开始振动的
3、质元比先开始振动的质元在步调上要落后一段时间，即有相位的落后。,9,波面或同相面 振动相位相同的点连成的面。,波前或波阵面 最前面的波面。,波线（波射线）波的传播方向。,3、波的几何描述,在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。,10,波长：沿波的传播方向，相位差为2 的振动质点之间的距离（或相位相同的两个相邻质点之间的距离），即一个完整波形的长度。,（1）波长,波长描述了波在空间上的周期性。,O,y,A,二、描述波动的几个物理量,11,周期：波传播一个波长的距离所需要的时间。,频率：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.,（与各质点振动周期相同）,（与质点振动频率相同）,（2）周期,
4、周期描述了波在时间上的周期性。,波的周期（或频率）仅由波源决定，就等于波源振动的周期（或频率）。,12,波速：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速度）。,（3）波速 u,波速 与介质的性质有关，为介质的密度.,13,电磁波的传播不需要介质，且只有横波一种形式。,真空中,14,平面简谐波,15,9.2 平面简谐波的波动方程,简谐波是最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。,1.平面简谐波的波动表达式（波动方程或波函数）,在均匀、无吸收的介质中，当波源做简谐运动时，在介质中所形成的波，叫简谐波。,平面简谐波：波面为平面的简谐波.,16,
5、X,O,Y,一列平面简谐波（假定是横波）,要求任一时刻波线上任一质点（坐标为 x）在任一时刻的位移（坐标为 y），,各质点相对平衡位置的位移,波线上各质点平衡位置,描述波线上任一质点在任一时刻的位移的函数称为波的波函数或波动方程。,17,t 时刻点 P 的运动,t-x/u时刻点O 的运动,设O为波线上的一点，取为原点，其振动方程：,点 P 振动方程：,时间推迟方法,O处质点在 时刻的位移,P处质点在 t 时刻 的位移,点O 的振动状态经过 的时间传到点P,因为P点是任意的，所以可以表示为：,18,波动方程的其它形式,称为波矢,波矢：表示在 2长度内所具有的完整波的数目。,沿 X 轴正向传播的平
6、面简谐波动方程。,19,1）若波沿 X 轴负向传播，,已知O点振动表达式，,p点运动传到 O 点需用时间：,P处质点在 t 时刻 的位移应等于,O处质点在 时刻的位移,这就是沿 X 轴负向传播的平面简谐波动方程。,讨论：,20,则波动方程为：,则原点O的振动方程为：,波动方程为：,21,波函数是波程 x 和时间 t 的函数，描写某一时刻任意位置处质点振动位移。,振动方程是时间 t 的函数,振动方程与波动方程的区别,注意波速（即相速度）与质点振动速度不同,振动速度,振动加速度,22,已知,求,波动方程,一平面简谐波以波速 沿 X 轴正向传播。,u,位于 处的 P 点的振动方程为,23,1）当x=
7、x0 时，,波动方程的物理意义,距原点 x0 处质点振动的初相,原点 o 处质点振动的初相为,两者的相位差为:,x0 处质点的振动相位比原点处质点的振动相位始终落后。,沿波的传播方向，各质元的位相依次落后。,24,波线上各点的简谐运动图,25,（波具有空间的周期性）,波程差,2）当 t=t0，即给定 t 时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形。,波线上两点 x 1、x2 在 t0 时刻的相位差为：,26,3 若 均变化，波函数表示波线上各质元在不同时刻的位移，反映了波形沿传播方向的运动情况（行波）.,27,1.根据给定条件，写出某个已知点的振动方程；,2.建立坐标，选
8、定坐标原点。在坐标轴上任取一点，求出该点相对于已知点的振动落后或超前的时间t。,关于波动方程的题型主要有两种：（1）已知波函数求各物理量；（2）已知各物理量求波函数。,波动方程的求解步骤,3.根据波的传播方向，从已知点的振动方程中 t 减去或加上t，即可得到波动方程。,28,解：比较系数法,把题中波动方程改写成,比较得,29,解 写出波动方程的标准式,30,2）求 波形图.,31,3）处质点的振动规律并做图.,处质点的振动方程,32,例 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波线上点 A 的简谐运动方程.,1）以 A 为坐标原点，写出波动方程,33,2）以 B 为坐标原点，写出波动方程,34,3）写
9、出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程,点 C 的相位比点 A 超前,点 D 的相位落后于点 A,35,4）分别求出 BC，CD 两点间的相位差,36,1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和 点的初相位.,2）平面简谐波的波函数为 式中 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.,向x 轴正向传播,向x 轴负向传播,37,3）如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振动初相位.,38,一、波的能量和能量密度,、波的能量,以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播。,设波函数为：,其质量为：d m=dV,设为介质的体密度，在弹性介质中任取一体积元 dV，,该处质元
10、的振动速度为：,39,振动动能：,弹性势能：,40,杨氏模量,41,体积元的总机械能：,体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。,体积元的位移最大时，三者均为零。,1）在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随时间 t 作周期性变化。动能和势能的与时间的关系式是相同的，两者不仅同相位，且大小也相等。,42,若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）,未起振的体积元,43,44,能量密度：单位体积介质中的波动能量。,平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值。,、波的能量密度,能量密度随时间周期性变化。,平均能量密度与振幅平方、频率平方和质量密度均成正比。,该式对所有
11、的弹性波都适用。,45,二、波的能流和能流密度,平均能流：能流在一个周期内的平均值。,能流密度(波的强度):通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流。,能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量，称为波通过该截面的能流，,能流密度是矢量，,波动过程伴随着能量的流动，能量以波速 在介质中传播。,表示在与波传播方向垂直的单位面积上通过的波的功率。,46,例：证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数。,证：介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等。,即,式中 为离开波源的距离，为 处的振幅。,任一波面处(半径为 r 处)的振幅为：,球面简谐波的波函数,47,例：一电磁波以 5 kw 的功率（平均能流）发射电磁波，求离波源 50 km 处电磁波的强度和平均能量密度。,解：,功率（平均能流）：,波的强度：,平均能量密度：,
