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1、量子力学总结顾 樵(Qiao Gu)International Institute of Biophysics,Germany 联系：gu-qiaogmx.de,深圳大学电子学院,量子力学：概率,经典的因果关系在物质的深处终结了，代替它的是一幅概率世界的画面。,基本内容,1.德布罗意物质波2.薛定谔方程3.玻恩：波函数的几率解释4.海森堡测不准关系5.狄拉克符号6.泡利矩阵,基本概念,普朗克推出黑体辐射公式所作的基本假设是什么？能量是以hv一份一份的，不是连续,黑体辐射的光谱分布只依赖于黑体的什么？温度,玻尔的原子量子理论的表达式为，说明每个量的含义。（E2：高能态动态能量、E1：低能态、hv
2、：高能态到低能态跃迁发出的光子的能量）,德布罗意物质波理论的表达式是什么？,康普顿散射的理论结果为：其中 各表示什么？，入射粒子的原波长，受撞粒子的静止质量，散射角,统计解释对波函数的要求（即波函数的标 准条件）是什么？单值、有限、连续、,设微观粒子的波函数为 写出波函数的归一化条件，它的物理意义是什么？,设微观粒子的归一化波函数为，则 表示什么？概率密度,微观体系的薛定谔方程的一般形式为 其中的 代表什么？哈密顿算符,写出哈密顿算符 的本征方程，并说明所有量的意义。,如果 和 是微观体系的状态，则 是否为体系的状态？是的,一维无限深势阱模型如图所示，写出波函数的边界条件。,0 a x,写出线
3、性谐振子的量子化能量表达式，基态能量（即零点能）是什么？,氢原子能量量子化的条件为 其中 分别为径量子数，角量子数和 主量子数。试由此确定各个量子数的取值 范围。,nr=0,1,2,3，n-1l=0,1,2,3n-1n=1,2,3无穷,氢原子的电子云分布用角向几率密度 表示，其中 称为什么函数？球谐函数,厄密算符满足，还是第二个,写出动量算符 的厄米共轭它本身,厄密算符的本征值是实数，这确保了力学量的期待值是实数,两个力学量 A 和 B 能被同时测定的条件是什么？A和B对易,如果两个算符 A 和 B 有共同的本征函数，则算符 A 和 B 対易。,球谐函数 是哪两个算符的共同的本征函数？,能量与
4、时间的测不准关系为,写出坐标算符的本征方程，指出相应的本征值。,一个本征值对应一个以上本征函数的情况称为简并,动量的本征函数为 它在全空间的“正交归一化”表达式是什么？,写出一维自由粒子的波函数,一维自由粒子的波函数是哪两个算符的共同的本征函数？,算符 称为什么算符？它是厄密的吗？投影算符 是,狄拉克符号 表示态矢量 向 的 投影,在抽象态空间，分立态的正交完备集 的正交归一化表达式是什么？完备性关系式是什么？,在一维无限深势阱中，量子效应约化为 经典效应的条件是：量子数，还 是？量子数,在势阱模型中，粒子可以穿过高势能的 势垒而逸出的效应称为什么？或什么？势垒贯穿 隧道效应,微观粒子的海森堡
5、测不准关系可以表示为，其中，各表示什么？分别为：坐标变化范围，动量的变化范围，表示普朗克常数,设厄密算符的本征方程是 在状态 中测量力学量F，所得测量值是什么？,设一个量子体系的任意态可以按照该系统的哈密顿算符 的本征态展开：其中展开系数的物理意义是什么？表示粒子波函数的几率幅,设一个量子体系的任意态可以按照该系统的哈密顿算符 的本征态展开：设，在 态中，能量 出现的概率有多大？,|Cn|2,写出坐标算符和动量算符的对易关系，即,ih,设厄密算符A和B的对易关系为,问,C/2,对于氢原子的主量子数n，能级的简并度是多少？N平方,重要问题,牛顿力学的因果关系,牛顿力学的研究思路是非常明确的：只要
6、知道了质点的初始位移 和初始动量，通过求解微分方程，就可以得到任意时刻的位移，并进而得到任意时刻的动量。牛顿力学的图像是质点的轨道，反映在哲学上，则是因果关系。在这里初始条件与微分方程同属“因”，二者是同等重要的。,牛顿力学：质点的轨道,牛顿力学与量子力学的逻辑对应,波函数的物理意义,粒子在单位体积出现的几率,波函数的模方表示微观粒子在空间出现的几率密度(即单位体积的几率)。这就是波函数的“统计解释”。,归一化条件,V,系统占据的整个空间,一维无限深势阱,通解：边界条件要求：,本征值：,归一化条件：,归一化常数：归一化本征函数：,几率密度：基态,考察振子在 处的势能：势能等于基态粒子的总能量，
7、即 是基态粒子的振幅位置。按经典理论振子不可能进入 区域。但是按照量子理论，振子的波函数为在 区域的几率为：,动能为零最大位置,0,特别是，最大几率出现在，与经典情况完全相反。,径向几率密度：基态（n=1，l=0,m=0）电子几率密度（在空间任意处的单位体积内的几率）：电子在(r r+dr)球壳内的几率：,玻尔理论：电子处于 的轨道量子理论：电子在整个空间（）的几率都不为零，但在玻尔半径 处有最大几率。,狄拉克符号的优点,所有运算过程能以非常便捷的方式进行，比如(期待值),插入完备性关系式,(统计平均),泡利矩阵,泡利矩阵的定义：应用非常广泛：角动量理论 电子自旋 二能级原子 量子计算机,求解
8、 的本征态,矩阵 的本征方程：,不能确定,不能确定,归一化条件：本征态：,归一化条件：本征态：,自旋态的应用,电子自旋,二能级原子,算符对易的条件 定理：如果两个算符A和B有共同的本征函数 而且构成完备集，则算符A和B对易。证明：对于任意态：,由于 是任意的，故（A和B对易）,算符对易的物理含义,物理含义：如果两个算符A和B对易,则它们有共同的本征函数集，则在本征态 中，力学量A和B同时有确定的期待值：和，即力学量A和B能被同时测定。,典型的例子1,自由粒子的波函数 是 能量算符：动量算符：的共同的本征函数。事实上：,自由粒子的能量与动量能被同时测定,典型的例子2,球谐函数:,量子系统的角动量
9、平方与角动量 z 分量能被同时测定,是角动量平方算符：角动量 z 分量算符：,共同的本征函数：,典型的例子3,氢原子的波函数：,是算符 共同的本征函数,氢原子的三个力学量 能被同时测定,主量子数角量子数磁量子数,两个算符不对易,现在考察两个算符不对易的情况。由上述讨论得知，如果算符A和B是不对易的，则它们在同一个态 中不能同时测定。那么它们在这个态中有怎样的不确定行为？测不准关系就是要对这种不确定性进行“formulation”.设厄密算符A和B的对易关系为力学量A和B在该态的期待值 定义“偏差”算符：,（C是常数或算符）,一个特殊的积分,考察积分：式中 是实参量，积分区域是变量变化的整个空 间。因为被积函数是绝对值的平方（在变量变化 的整个空间恒不小于零），故积分是非负值。,是实数：,（这是关于 的抛物线）,测不准关系,测不准关系：,注意：,考察：,记,坐标和动量的测不准关系为取等号的态 是相干态,测不准关系,动量为 的自由粒子的波函数为如何理解自由粒子的坐标与动量的测不准关系？,测不准关系：自由粒子,一维自由粒子的波函数：其动量具有确定值，而粒子在任意 x 处的几率密度为这意味粒子在空间各点出现的几率相等（不依赖于x），其坐标 x 是完全不确定的：，这样,（常数）,常数,送给你：Every one,W W W,送给你：Every one,W W W,勿忘我,
