《第二章 单自由度系统振动的理论及应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 单自由度系统振动的理论及应用.ppt（121页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第二章 单自由度系统振动的理论及应用,2-1 单自由度系统振动微分方程式的建立,2-1.1 纵向振动微分方程式的建立,系统振动时,振动质量m的位移x,速度x.和加速度x.会产生弹性力kx,阻尼力cx.和惯性力mx.,它们分别与振动质量的位移,速度和加速度成正比,但方向相反.,按牛顿第二定律:作用于质点上所有力的合力等于该质点的质量与沿合力方向的加速度的乘积.,把质量块挂上后,弹簧的静变形量为j:,所以有:,称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.,可分为如下几种情况进行研究:,(1)当c=0,F(t)=0时,该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.,(2
2、)当F(t)=0时,该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.,(3)当c=0时,该方程为单自由度无阻尼受迫振动方程.,2-1.2 扭转振动微分方程式的建立,圆盘的转动惯量为J,在某一时刻t圆盘的角位移为,角速度为.和角加速度为.,在圆盘上施加力矩M(t),系统则作扭转振动,此刻作用于圆盘上的力矩有弹性恢复力矩-k,阻尼力矩c.,外加激振力矩M(t).,根据牛顿第二定律:,故,称为单自由度线性扭转振动系统的运动微分方程式.,2-1.3 微幅摆动微分方程的建立,摆动质量m在任意时刻t的角位移为,角速度为.和角加速度为.系统作微幅摆动时,作用于m上的力矩有弹性恢复力矩-2ka2,阻尼力矩-cl2.
3、,重力力矩-mglsin=mgl和外加力矩M(t).,根据牛顿第二定律:,由,为微幅摆动系统的运动微分方程式.,2-2 无阻尼单自由度系统的自由振动,设弹簧原长为,在重力 的作用下,刚度系数为k,这一位置为平衡位置,当系统受到外界的某种初始干扰作用后,其静平衡状态被破坏,弹性力不再与重力相平衡,产生弹性恢复力使系统产生持续的自由振动.,2-2.1 自由振动微分方程,取静平衡位置为坐标原点,以x表示质量块的位移,并以x轴为系统坐标轴,取向下为正.当质量块离开平衡位置时,在质量块上作用有重力W和弹性恢复力-k(j+x).,上式表明：,只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动,无阻尼自由振动微分
4、方程的标准形式,令,代入,特征方程的两个特征根为:,令：,2-2.2 无阻尼自由振动的特点,1.固有频率,由式,其中 振动的频率，表示每秒钟的振动次数。,只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关,而与运动的初始条件无关,它是振动系统固有的特性.,2.振幅与初相角,而0表示质点运动的起始位置初相角,3.其他类型的单自由度振动系统,图为一扭振系统,建立扭转振动微分方程式:,则得,由材料力学可知,它的扭转刚度为:,系统振动的固有圆频率为:,系统振动的固有频率为:,通解为:,例:,解：,若物块平衡时，弹簧应有变形量,通解为,固有频率,当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点,运动方程为,求：系统
5、的振动规律。,例:,解：,此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长,则梁的刚度系数为,取其平衡位置为坐标原点,x轴方向铅直向下,运动微分方程为,设,固有频率,在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上,其坐标,重物初速度,则振幅为,初相角,最后得系统的自由振动规律为,已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴O 的转动惯量为J，弹簧刚度系数为k。杆于水平位置 平衡。,求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。,例:,解：,由平衡方程,4.计算固有频率的能量法,如图所示无阻尼振动系统,当系统作自由振动时，运动规律为:,速度为:,在瞬时t 物块的动能为:,无阻尼自由振动系统没有能
6、量的损失,振动将永远持续下去.在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率.,若选平衡位置为零势能点，有:,对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的单独弹性力的势能。,当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能,当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能,由机械守恒定律,可得系统的固有频率,已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径 皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳。轮I连一铅 直弹簧，轮II挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆 为J，弹簧刚度系
7、数为k，重物质量为m。,求：此系统振动的固有频率。,例:,解：,以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。,系统的势能为,不计摩擦，由系统的机械能守恒,常数,系统动能为,上式两端对时间取一阶导数，得:,自由振动微分方程,系统的固有频率为,解：,系统振动时摆杆的最大角速度,系统的最大动能为,选择平衡位置为零势能点,最大势能为,即,解得固有频率,由机械能守恒定律有,求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。,已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。,例:,解：,系统的动能为,系统的势能为,当圆柱体作微振动时，,可认为,设系统作自由振动时的变化规律为,则
8、系统的最大动能,系统的最大势能,由机械守恒定律,有,解得系统的固有频率为,5.等效质量与等效刚度,实际振动系统通常由多个构件组成,因而其质量是分散的,这就给振动分析带来了困难.因此,对于相关的那些质量,可以采用等效质量代替实际的分散质量简化力学模型.,但在进行质量折算求解等效质量时,应遵循能量守恒原则,保持系统转换前后的振动动能不变.,一个杠杆-弹簧系统,均质杆长度为l,质量为m,弹簧刚度为k.,为了便于振动分析,可把该系统简化为集中质量-弹簧系统,因弹簧刚度保持不变,只需用一个等效质量me代替杠杆的分散质量m.,1)等效质量,系统变换后的动能为:,系统变换前的动能为:,保持系统的动能不变:,
9、由,可得,为了提高计算精度,有时需要考虑弹性元件的质量,如图中除考虑质体m的质量外,还要考虑弹簧自身质量的影响.,系统的动能为:,它应等于等效质量me的动能:,所以得:,2)等效刚度,弹簧并联,在平衡时有:,令,等效弹簧刚度系数,固有频率:,当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。,这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。,弹簧串联,两个弹簧总的静伸长,比较上面两式得,固有频率为:,当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。,这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形.,求：等效刚度。,如图所示并联弹簧-杠杆系统中,AB为刚性杆,在C点又连接一弹
10、簧-质量系统。,例:,首先分析系统在刚性杆C点的等效刚度。,假定在杆C处有一作用力F,那么在杆上A处与B处的受力为:,作用力FA与FB引起弹簧k1与k2的伸长量分别为:,在F作用下,杆上C处的位移量为:,在C处的等效刚度为:,以K,作为C点的等效刚度,原系统简化成如图所示的力学模型.,则弹簧K,与K3串联,系统的等效刚度为:,把K,代入:,2-3 具有粘性阻尼的自由振动,1.阻尼,粘性阻尼当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻 力近似地与速度的一次方成正比。,以阻尼元件c表示。,一般的机械振动系统,弹性元件（k）,惯性元件（m）,阻尼元件（c）,无阻尼自由振动只是一种理想情况实际上系统振动不可
11、避免地有阻尼存在，因而自由振动都是会衰减的，振幅将随时间逐渐减小，直到最后停止振动，振动中的这些阻力称为阻尼,其中：c粘性阻力系数（简称为阻力系数）,2-.具有粘性阻尼的自由振动,2.振动微分方程,如以平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力的作用。,在振动过程中作用在物块上的力有,（1）恢复力,（2）粘性阻尼力,物块的运动微分方程为,令,固有角（圆）频率,阻尼系数,有阻尼自由振动微分方程的标准形式,该振动微分方程式是一个齐次二阶常系数线性微分方程式，设其特解为,方程式的两个根为,把它的一阶，二阶导数代入,因，所以必有,令,2-.粘性阻尼对自由振动的影响,现引进一个量纲
12、为的量表示系统的阻尼状态,由上式可见，系统运动状态决定于根式的值是实数（正实数，负实数，零）还是虚数，即决定于阻尼的大小,相对阻尼系数或阻尼比,以下对三种情况分别进行讨论,1.小阻尼状态,此时，根式是虚数，称为弱阻尼（小阻尼）状态,此时特征方程有一对共轭复根为,其中A和r为两个积分常数，由运动的初始条件确定。,称为有阻尼系统的固有圆频率或减幅振动圆频率,应用欧拉公式,通过三角函数变换，可得,设t=0，,可以看出，系统振动的振幅将随时间延续逐渐减小，即该系统为振幅逐渐减小的周期性往复运动，这种振动称为减幅阻尼振动。,是否为周期振动呢？,联立求解得：,减幅振动的圆频率为,减幅振动的频率为,由此可见
13、，由于阻尼的影响，使系统的固有频率减小，振动周期增大，振动不再是简谐振动,令,称为阻尼比,设在某瞬时t，振动达到的最大偏离值为A，,相当振幅,经过一个周期 后,在有阻尼的自由振动中，振幅的衰减程度可由相邻两振幅比（减幅系数）表示：,对数减缩，反映阻尼的参数。,越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快为运算方便，常用对数衰减系数代替减幅系数a,从上式看出，通过实测法测出系统振动的周期r及相邻振幅衰减程度，即可求出衰件系数n为了得到较高的测试精度，用相距j个周期的两振幅之比计算对数衰减系数,因此，只要实测出系统的振动周期r及相距j个周期的两振幅，便可求出系统的阻尼系数c,.大阻尼状态,此时，根式是实数，称
14、为强阻尼（大阻尼）状态,设t=0，,代入，得,上式可用图表示：,从该图可见，系统受到初始扰动（初始位移为x0，初始速度为v0）离开平衡位置后，不产生振动，而是蠕动地返回到平衡位置，是一种非周期性运动,.临界阻尼状态,此时，微分方程式的特征方程有重根，即,故微分方程式的通解应为,设t=0，,代入，得,可知，系统受到初始扰动后，尽管初始速度不同，但随着时间延续，质体都蠕动地返回到平衡位置，和大阻尼状态一样，系统的运动是非周期性运动，不产生振动,这时的阻尼称为临界阻尼：,已知一弹簧质量系统，质体的质量为kg，在粘性阻尼中振动频率为HZ，相隔个周期振幅衰减，试计算系统的阻尼系数及阻尼比,例:,解：,对
15、数衰减系数为,由的衰减系数为,阻尼系数为,阻尼比为,已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系数为kt，圆盘对杆轴的转动惯量J，如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为。,求：圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系,例:,解：,圆盘绕杆轴转动微分方程为,求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。,已知：如图弹簧质量阻尼系统，其物体质量为0.05kg，弹簧刚度系数k=2000N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅比。,例:,解：,系统的临界阻力系数为,阻力系数,对数减缩为,阻尼比为,2-无阻尼系统的受迫振动,如前所述，具有粘性阻尼的系统，其自由振动会逐渐衰减但是
16、，当系统受到外界动作用力持续周期地作用时，系统将产生等幅的振动，该振动称为受迫振动这种振动是系统对外力的响应,作用在系统上持续的激振，按它们随时间变化的规律，可以归为三类：简谐激振，非简谐周期性激振和随时间变化的非周期性任意激振,）简谐激振力是按正弦或余弦函数规律变化的力，如偏心质量引起的离心力，载荷不均或传动不均衡产生的冲击力等,）非简谐周期激振力，如凸轮旋转产生的激振，单缸活塞连杆机构的激振力等,）随时间变化的任意激振力，如爆破载荷的作用力，提升机紧急制动的冲击力等,系统持续激振的作用形式可以是力直接作用到系统上，也可以是位移（如持续的支承运动，地基运动等），速度或加速度,外界激振所引起系
17、统的振动形态称为对激振的响应系统的响应也可以是位移，速度或加速度，而一般以位移的形式表达,简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力,其中：F0称为激振力的力幅，即激振力的最大值；,是激振力的角频率；,是激振力的初相角；,本节只讨论简谐激振力产生的受迫振动,如图（a）所示，在简支粱的中点装有双轴惯性激振器忽略阻尼简化为如图（b）所示力学模型,激振器的质量为m，刚度为k激振器为两个以角速度反方向转动的偏心圆盘偏心质量产生的离心惯性力的水平分量相互平衡，而垂直分量叠加为激振力作用在质量上，产生受迫振动,质量的受力情况如图（c）所示忽略阻尼的影响时，振动方程式表示为：,令,将特解代入方程,表现了受迫振动
18、初始阶段运动的特征这一阶段受迫振动和自由振动同时存在于系统中,无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。,第一部分是频率为固有频率的自由振动,第二部分是频率为激振力频率的振动,受迫振动,2-.1 受迫振动的稳态振动,在振动的初始阶段，自由振动和受迫振动同时存在由于系统中不可避免地存在着阻尼，因而自由振动逐渐衰减，经过若干个周期后，系统的受迫振动达到稳态,首先研究第三项：,令,可以看出，稳态的受迫振动具有和激振力相同的频率振幅中Bs=F0/k相当于激振力幅值静作用在弹簧上产生的静变形这说明受迫振动的振幅和激振力幅值成正比；而B/Bs是受迫振动的振幅和静变形之比，称为振幅比或振幅的放大因子振幅比仅仅取决
19、于频率比z,B/Bs与z的关系如图，称为幅频响应曲线,从图中可以看出：,这时振幅几乎与激振力幅值静作用在弹簧上引起的静变形差不多，系统的静态特性是主要的,微分方程式的特解应具有下面的形式,代入,其运动图线如图所示,它的幅值为,共振时受迫振动的运动规律为,（）当 时,综上所述，无阻尼受迫振动的频率与激振力的频率相同，而振幅决定于激振力的幅值，频率及振动系统的固有特性n（即系统的质量m和弹簧的刚度k,求：系统的受迫振动规律。,例:,解：,设任一瞬时刚杆的摆角为,系统的运动微分方程为,令,可得上述方程的特解，即受迫振动为,将 代入上式,求：当电机以匀速角速度旋转时，系统的受迫振动规律。,例:,解：,
20、质点系动量定理的微分方程,质点系包括电机和偏心块。以平衡位置为坐标原点，电机轴心的坐标为x。,上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示,令,求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。,已知：如图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数k，测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为,例:,解：,测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是,取t=0时物块的平衡位置为坐标原点O,取x 轴如图,物块绝对运动的微分方程为,物块的受迫振动形式为,此时激振力的力幅为H=ke,为物块绝对运动的振幅,由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e。,记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪
21、的振幅,记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。,2-.2 受迫振动的过渡过程,受迫振动的初始阶段，自由振动和受迫振动同时存在于系统之中，这一阶段称为受迫振动的瞬态振动,式中c1,c2是由初始条件确定的常数,当t=0，,上式表明，受迫振动初始阶段的响应由三部分组成第一项是由初始条件产生的自由振动；第二项是由简谐激振力产生的受迫振动；第三项是不论初始条件如何都伴随受迫振动而产生的自由振动，称为伴生自由振动因此，受迫振动初始阶段的响应是很复杂的,在有阻尼的情况下，其伴生自由振动在一段时间内也逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动存在自由振动的这一阶段称为受迫振动的过渡过程,当 n时的过渡过程：,
22、当n时的过渡过程：,虚线代表等幅受迫振动，实线代表伴生自由振动和稳态受迫振动的叠加,虚线代表伴生自由振动，实线代表伴生自由振动和稳态受迫振动的叠加,2-.拍振现象,当激振频率与固有频率 n很接近时，振动的振幅周期性增长又周期性减小，这种现象称为拍振现象,令n 并代入：,当很小时，可以略去括号中最后一项,当n 时，（n）n，则：,最大振幅是，最小振幅是当 趋近 n时，趋近于零，拍的振幅和周期都将逐渐变成无限大，这就是共振现象,除了一种自由振动和一种受迫振动叠加形成拍振以外，两种自由振动或两种受迫振动，只要振动频率很接近，都可能产生拍振现象,选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下,线性恢复力,粘性
23、阻尼力,简谐激振力,质点运动微分方程,令,有阻尼受迫振动微分方程的标准形式,2-具有粘性阻尼系统的受迫振动,2-5.1 简谐激振响应,其解由两部分组成,在欠阻尼 的状态下有,其中表示受迫振动的位移落后于激振力的相位角,这是一个衰减振动，只在开始振动后某一较短时间内有意义，随着时间的增加，它将衰减下去当仅研究受迫振动中持续的等幅振动时，可以略去,表示阻尼系统的受迫振动，称为系统的稳态解,对任意瞬时t，上式都必须是恒等式,将上述两方程联立可解出,于是得方程的通解为,其中A和r为积分常数，由运动的初始条件确定。,受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。,衰减振动过渡过程,受迫振动稳态过程,振动频率激
24、振力的频率,2-5.2 影响振幅的主要因素,横轴表示频率比,纵轴表示振幅比,阻尼比,幅频响应曲线,（1）当 时,当作无阻尼受迫振动处理。,（2）当,阻尼增大，振幅下降。,振幅具有最大值,这时的频率称为共振频率。,共振的振幅为,（3）当 时,阻尼对受迫振动的振幅影响也较小,2-5.3 引起的受迫振动实例,.偏心质量引起的受迫振动,由弹簧（刚度为k）和阻尼器（阻尼系数为c）支承的旋转机械力学模型。旋转机械的总质量为m，转子的偏心质量为m0，偏心矩为e，转动角速度为,若只研究机器在垂直方向的振动，其位移表示为x，则偏心质量为m0的位移为x+esint，系统的振动方程式为：,整理后得：,稳态解为：,以
25、x,，x,代入，求得振幅和相位角为：,可以看出，由偏心质量m0引起的受迫振动振幅与偏心质量m0，偏心矩e成正比要减小旋转机械的振动，就要设法减小转子的偏心质量m0和偏心矩e因此，离心式通风机，离心式水泵和离心式压缩机的转动部件，在出厂前都要做平衡实验，减小转子的偏心质量m0和偏心矩e，使其质量尽量分布均匀，获得较好的平衡，以减小旋转机械运转时的振动,当z1（n)时，激振力幅值很小，振幅，即在低频范围内，振幅几乎等于零。,当z1（n)时，振幅，就是说在高频范围内，振幅接近常数，幅频响应曲线以振幅为渐进线。,当z=1（=n)时，振幅，系统的振幅受到阻尼的限制。当阻尼很小时，振幅很大，振动强烈，就是
26、共振,.支承运动引起的受迫振动,支承运动引起的受迫振动如图所示支承运动规律为，其中为支承运动的幅值，为频率,假定质量m的运动和支承运动的方向相同弹簧的变形为，阻尼器的速度即为相对速度，作用在质量上的力有弹性力和阻尼力根据牛顿第二定律建立系统的振动微分方程式为：,可以看出，作用在系统质量m上的激振力由两部分构成：一是弹簧传给质量m的力；二是阻尼器传给质量m的力可用矢量合成的方法求出合成激振力,而,可以看出，支承运动引起的受迫振动振幅取决于支承运动的幅值，频率比z，和阻尼比支承运动,受迫振动与支承运动之间的相位角可由图算出：,可以看出，曲线都交于这一点，这说明当激振频率与系统固有频率之比等于时，无
27、论多大的阻尼，振幅都等于支承运动的幅值，而当z时，由支承运动引起的受迫振动很小，这就是被动隔振的理论基础,2-非简谐周期激振的响应,处理非简谐周期激振的基本思想：将非简谐周期激振力用傅立叶级数分解为与基本频率成倍数关系的若干个简谐激振函数，然后逐项求解响应，再利用线性叠加原理把逐项响应叠加起来，即为非简谐周期激振的响应,设周期函数为,已知：如图(a)所示，凸轮以等角速度转动，顶杆的运动规律y(t)，如图(b)所示由于弹簧的耦合，系统的等效刚度为k=k1+k2，激振力F(t)=k2y，其力学模型如图(c)所示求非简谐周期性激振的响应,例:,解：,凸轮每转一圈，激振力F(t)可表示为：,其中为凸轮
28、的行程，为凸轮的角速度,将锯齿形变化规律的激振力F(t)展成三角级数：,系统在F(t)的作用下，受迫振动微分方程式可写成：,以上方程式中是一个常量，只起着改变质量静平衡位置的作用，系统对它的响应为：,系统对的响应可表示为：,已知：如图为一无重刚杆，其一端铰支，距铰支端l处有 一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻力系 数为c，距3l处有一刚度系数为k的弹簧。并作用一 简谐激振力。刚杆在水平位置平衡。,例:,解：,设刚杆摆角为，振动微分方程为,令,质点的振幅,2-单自由度振动理论的工程应用,2-.1 单圆盘转子的临界转速,使转子发生激烈振动的特定转速临界转速。,单圆盘转子：质量m，质心为C，
29、圆盘与轴的交点为A，偏心距为eAC。圆盘角速度为，转轴弯曲偏离原来的固定轴线，点O为z轴与圆盘的交点，。,设转轴安装于圆盘的中点。,圆盘惯性力：,弹性恢复力：,27 隔振,隔振分为主动隔振和被动隔振两类。,1.主动隔振,主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。,如图所示为主动隔振的简化模型。,由振源产生的激振力,隔振：将振源和需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼 元件进行隔离。,减振：使振动物体的振动减弱的措施。,按有阻尼受迫振动的理论,物块的振幅为,弹簧变形而作用于基础上的力,通过阻尼元件作用于基础的力,这两部分力相位差为90,而频率相同,它们可以合成为一个同频率的合力，合力的最大值为,它与
30、激振力的力幅H之比为,其中称为力的传递率,在不同阻尼情况下传递率与频率比s 之间的关系曲线,2.被动隔振,将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。,图为被动隔振的简化模型,设地基振动为简谐振动,将引起搁置在其上物体的振动，这种激振称为位移激振。,质点运动微分方程为,将 的表达式代入,其中,方程的特解（稳态振动）为,写成纲量为1的形式,其中 是振动物体的位移与地基激振动位移之比,称为位移的传递率,例,求：汽车以速度v=45km/h匀速前进时，车体的垂 直振幅为多少？汽车的临界速度为多少？,解：,令 则,其中相当于位移激振频率,以汽车起始位置为坐标原点，路面波形方程可以写为,系统的固有频率为,激振频率与固有频率的频率比为,求得位移传递率为,因此振幅,当 时系统发生共振 有,解得临界速度,
