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1、1,冯 西 桥清华大学工程力学系2007.10.17,第四章 应变理论Theory of Strains,2,应变理论,位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移,Chapter 4,3,位移和应变,Chapter 4.1,位移,4,位移和应变,Chapter 4.1,位移的描述 刚体位移：整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动。,变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。,5,位移和应变,Chapter 4.1,位移,6,位移和应变
2、,Chapter 4.1,位移,分量形式：,或,7,位移和应变,Chapter 4.1,单轴应变,F,8,位移和应变,Chapter 4.1,单轴应变,微元的长度变化：,Taylor 级数展开：,9,位移和应变,Chapter 4.1,单轴应变,略去高阶项：,单轴应变（工程应变）定义为：,10,位移和应变,应变分量 平行六面体(称为微元体),Chapter 4.1,11,应变分量,Chapter 4.1,位移和应变,12,Chapter 4.1,位移和应变,13,Chapter 4.1,正应变(相对伸长度),位移和应变,14,Chapter 4.1,切应变(剪应变),位移和应变,15,Chap
3、ter 4.1,工程剪应变,位移和应变,16,位移和应变,u,y,x,17,由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为,Chapter 4.1,位移和应变,A:,B:,A:,B:,18,按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分量为,Chapter 4.1,位移和应变,19,Chapter 4.1,位移和应变,u,适用条件？,20,Chapter 4.1,位移和应变,21,小应变情况下，应变和位移的关系：,Chapter 4.1,几何方程,位移和应变,22,小应变情况下，应变和位移的关系：
4、,Chapter 4.1,几何方程,位移和应变,23,小应变情况下，工程应变和位移的关系：,Chapter 4.1,几何方程,位移和应变,24,应变理论,位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移,Chapter 4,25,Chapter 4.2,拉格朗日坐标系（或随体坐标系、物质坐标系）由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起变形而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始终保持不变。在物体变形中一般变为曲线坐标系。在固体力学中，大多采用拉格朗日坐标系。,位移和应变,26,Chapter 4.2,位移和应变,欧拉坐标系（或空间坐标系）
5、固定在空间点上的坐标系，其基矢量不随物体变形而变化。在流体力学中，一般采用欧拉坐标系。,27,Chapter 4.2,位移和应变,28,u,Chapter 4.2,P及P点的矢径分别为：,位移和应变,29,Chapter 4.2,根据变形后不开裂或重叠的基本假设，xi 和 ai 间应存在一一对应的互逆关系。于是，以上两式的雅可比行列式应不为零，即,位移和应变,30,Chapter 4.2,位移和应变,31,Chapter 4.2,定义P点的位移矢量：,即,注:弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，存在三阶以上的连续偏导数。,位移和应变,位移,32,Chapter 4.2,描述物体位移的方法 拉格
6、朗日描述法 欧拉描述法,位移和应变,33,Chapter 4.2,拉格朗日描述法 以物体变形前的初始构形B为参照构形，质点变形前的坐标 ai=(a1,a2,a3)为基本未知量。将变形后物体的位置 x 表示为 a1,a2,a3 的函数：,位移场 u 用初始坐标 ai 描述：,位移和应变,34,Chapter 4.2,欧拉描述法 以物体变形后的新构形 B 为参照构形，质点变形后的坐标 xi=(x1,x2,x3)为基本未知量。将变形前物体的位置 a 表示为 x1,x2,x3 的函数：,位移和应变,位移场u用当前坐标 xi 描述：,35,变形的描述 考虑变形前的任意线元，其端点P(a1,a2,a3）及
7、Q(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的矢径分别为,Chapter 4.2,位移和应变,36,Chapter 4.2,变形后，P、Q两点分别位移至P和Q，相应的矢径和线元为,位移和应变,37,Chapter 4.2,变形前后，线元 和 的长度平方为,位移和应变,38,Chapter 4.2,采用拉格朗日描述法，xm=xm(ai)，则,注：一般记，称为变形梯度张量,位移和应变,39,Chapter 4.2,位移和应变,40,Chapter 4.2,记,位移和应变,41,Chapter 4.2,根据商判则，E是二阶张量，称为格林应变张量。,位移和应变,42,Chapter 4.2,将上式改
8、写为,求导,格林应变张量的位移分量表达式,位移和应变,43,Chapter 4.2,引进笛卡尔坐标系中位移梯度u和u,写成实体符号：,位移和应变,44,Chapter 4.2,在笛卡尔坐标系中分量形式为,位移和应变,45,Chapter 4.2,用格林应变张量表示线元的长度变化变形前，长度比：,位移和应变,46,Chapter 4.2,长度比表示为：,位移和应变,其中：,47,Chapter 4.2,用格林应变张量表示线元方向的改变变形后，线元方向为,位移和应变,利用任意线元变形后的方向余弦可用位移表示成,48,位移和应变,Chapter 4.2,用格林应变表示线元间夹角余弦的变化,49,用格
9、林应变表示线元间夹角余弦的变化 变形前的两个任意线元 和，其单位矢量分别为 v 和 t，方向余弦分别为 vi 和 ti，夹角余弦为,Chapter 4.2,位移和应变,50,用格林应变表示线元间夹角余弦的变化 变形后，其单位矢量分别为 v 和 t，夹角余弦为,Chapter 4.2,位移和应变,51,Chapter 4.2,于是上式简化为,可知，应变张量给出了物体变形状态的全部信息。,位移和应变,用格林应变表示线元间夹角余弦的变化,52,Chapter 4.2,以上介绍了拉格朗日描述法的推导过程和结果。类似地，若采用欧拉描述法将导出,称为阿尔曼西(Almansi,E.)应变张量,位移和应变,5
10、3,Chapter 4.2,上两式表明，若Eij 0，或eij 0，则dS=dS0。所以物体无变形（仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量Eij（或eij）处处为零。,位移和应变,54,Chapter 4.2,Green应变张量：,长度比：,位移和应变,夹角变化：,55,Chapter 4.2,Green应变张量：,Almansi应变张量：,位移和应变,小应变张量：,56,Chapter 4.2,由小变形假设略去二阶小量,位移和应变,57,Chapter 4.2,在小变形情况下，格林应变张量和阿尔曼西应变张量简化为ij 称为柯西应变张量或小应变张量。实体形式为,位移和应变,58,Chapter
11、 4.2,在笛卡尔坐标系中，应变位移关系或几何方程为,指标形式为:,位移和应变,59,Chapter 4.2,定义 为 方向线元的工程正应变.,位移和应变,60,Chapter 4.2,线元的转动,变形后线元的方向余弦：,位移和应变,61,Chapter 4.2,对变形前与坐标轴 a1 平行的线元有,位移和应变,变形后线元的方向余弦：,62,Chapter 4.2,变形后的单位矢量,位移和应变,63,Chapter 4.2,同理,上述两式说明，变形前与a2和 a3轴垂直的线元，变形后分别向a2和 a3轴旋转了 和 角。同理，沿a2和 a3轴的线元变形后也将发生转动。,位移和应变,64,位移和应
12、变,Chapter 4.2,65,Chapter 4.2,两线元间的夹角变化,变形后，线元的夹角表示为,位移和应变,其中：,66,Chapter 4.2,略去二阶小量，可得若变形前两线元互相垂直令为变形后线元间直角的减小量，则,位移和应变,67,Chapter 4.2,工程剪应变 定义为两正交线元间的直角减小量,若v,t为坐标轴方向的单位矢量，例如,vi=1,tj=1(ij),其余的方向余弦均为零，则由上式得,位移和应变,68,Chapter 4.2,位移和应变,小应变张量 e 的几何意义是：,当指标i=j 时，表示沿坐标轴i方向的线元工程正应变，以伸长为正，缩短为负；,当指标(ij)时，的两
13、倍表示坐标轴 i 与 j 方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）为正，钝化（直角增加）为负。,69,Chapter 4.2,新老坐标中的应变张量分量 与 满足转轴公式由此可根据应变分量 ij 求出任意方向的正应变和剪应变。因而小应变张量完全表征了一点的应变状态。,位移和应变,70,应变张量在每点存在三个相互正交的主方向设 v 为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义有标量 称为应变张量的主值，即沿主方向 v 的主应变。与主应力类似，主应变也具有实数性，正交性和极值性。,Chapter 4.2,位移和应变,71,Chapter 4.2,存在第一、第二和第三应变不变量,系数行列式为零,
14、其中：分别称为第一、第二和第三应变不变量。,位移和应变,72,Chapter 4.2,应变主轴沿每点应变主方向的坐标线由应变主轴组成的正交曲线坐标系称为主应变坐标系。最大工程剪应变发生在主平面内，其值为最大与最小主应变之差。等倾线元正应变（又称八面体正应变）等于平均正应变0。,位移和应变,73,Chapter 4.2,八面体剪应变是等倾面法线与等倾面上任意线元间之剪应变的最大值。,位移和应变,74,Chapter 4.2,应变张量可分解为应变球量和应变偏量之和,即,称为球形应变张量，0 为平均正应变。,位移和应变,75,Chapter 4.2,将0ij代入上述两式可得 因此应变球量表示等向体积
15、膨胀或收缩，它不产生形状畸变。,位移和应变,76,Chapter 4.2,称为应变偏量。,即应变偏量不产生体积变化，仅表示形状畸变。,位移和应变,77,Chapter 4.2,位移和应变,78,Chapter 4.2,于是可得,位移和应变,79,Chapter 4.2,纯变形,位移和应变,80,Chapter 4.2,常正应变状态是纯变形的一例,位移和应变,81,Chapter 4.2,均匀变形状态,位移和应变,82,Chapter 4.2,直线在变形后仍为直线；相同方向的直线以同样比例伸缩；互相平行的直线变形后仍平行；平面在变形后仍为平面；平行平面变形后仍平行；球面变形后成为椭球面。,位移和
16、应变,83,应变理论,位移和应变 刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移 正交曲线坐标系中的几何方程,Chapter 4,84,Chapter 4.3,刚体转动,85,Chapter 4.3,由商判则可知，位移梯度u为一个二阶张量。,刚体转动,86,Chapter 4.3,将u分解成对称张量与反对称张量之和 对称部分即为小应变张量，定义反对称部分为,称为转动张量,刚体转动,87,Chapter 4.3,代入,刚体转动,88,Chapter 4.3,由反对称张量的性质可知：反对称张量只有三个独立分量12,23和31,刚体转动,89,Chapter 4.3,转动矢量,称为张量 的反
17、偶矢量,刚体转动,90,Chapter 4.3,指标形式为：,(b),刚体转动,91,Chapter 4.3,刚体转动,92,Chapter 4.3,刚体转动,图3-8,93,刚体转动,Chapter 4.3,94,Chapter 4.3,对变形体来说，转动矢量 和转动张量 都是随点而异的。若考虑整个物体作刚体转动（0，=常数）的情况，则这就是理论力学中熟知的刚体转动公式：,刚体转动,95,Chapter 4.3,小应变假设：,所以线性弹性理论仅适用于应变和转动都很小的情况。,刚体转动,96,应变理论,Chapter 4,位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位
18、移场的单值条件 由应变求位移,97,小应变情况下的几何方程：,Chapter 4.4,应变协调方程,任意给定应变分量后，不一定能由上述方程积分求出位移，所以需要补充方程才能使原问题有解。,对于连续体，相邻微单元之间的变形必须互相协调。即必须满足某些条件变形的连续条件。,98,应变协调方程,Chapter 4.4,在 xy 平面内各应分量之间的关系,两式相加后，得,99,应变协调方程,Chapter 4.4,同理可以找出另外两平面内应变分量间的关系式,100,应变协调方程,Chapter 4.4,综合起来可得以下方程：,101,应变协调方程,Chapter 4.4,不同平面内的应变分量也存在一定
19、的关系,于是下面推导不同平面内的应变分量之间的关系,102,应变协调方程,Chapter 4.4,同理，可以求出另外两个关系式：,103,应变协调方程,Chapter 4.4,共得到六个应变协调方程：,104,应变协调方程,Chapter 4.4,应变协调方程是单连通域小变形连续的充分必要条件，这样的六个应变分量将不能任意给定，他们必须满足以上六个约束方程。以上六式不是完全独立的，它们只相当于三个独立的方程。,105,应变协调方程,应变协调方程的另外一种推导方法 小应变张量ij的二阶偏导数为,Chapter 4.4,指标符号互换：,106,同样经过指标对换可以得到,Chapter 4.4,应变
20、协调方程,107,当位移场单值连续，并存在三阶以上连续偏导数时，根据偏导数与求导顺序无关，可得,应变协调方程：,Chapter 4.4,应变协调方程,108,由于在推导中只用了连续函数的求导顺序无关性，所以上式的本质是变形连续条件，常称应变协调方程。当应变分量不是任意指定，而是根据几何方程由单值连续的位移场确定时，上式是各应变分量二阶偏导数间的恒等式，故又称为圣维南(Saint-Venant)恒等式。在数学上，上式是能由几何方程积分出单值连续位移场的必要条件，简称可积条件。,Chapter 4.4,应变协调方程,109,变形协调方程的数学意义 要使三个位移分量为未知函数的六个几何方程不相矛盾，
21、则应变分量必须满足的必要条件。而应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形连续作出解释。假如物体分割成无数个微分六面体单元，变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。,Chapter 4.4,应变协调方程,110,Chapter 4.4,应变协调方程的个数上式中含有四个自由指标，共表示81个方程，但其中有不少是恒等式。不难验证下述关系,关于j，k反对称：,81,27,9,6,应变协调方程,关于i，l反对称：,关于ij，kl对称：Lmn为对称二阶张量,111,Chapter 4.4,应变协调方程,应变协调方程的实体表示：
22、,112,Chapter 4.4,应变协调方程,113,Chapter 4.4,在直角坐标系中，表示为：,应变协调方程,114,Chapter 4.4,小结物体的变形可以用三个位移分量来描述，也可用六个应变分量来描述。当用位移描述时，只要位移函数连续且存在三阶以上连续偏导数，协调方程就自动满足。当用应变描述时，六个应变分量必须首先满足协调方程。只有从协调的应变场才能积分几何方程，得到相应的位移场。,应变协调方程,115,应变理论,Chapter 4,位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移,116,Chapter 4.5,位移场的单值
23、条件,概念 若域内的任意闭曲线能通过在域内的连续变形而收缩成一个点，则这种域称为单连通域，否则为多连通域。对二维问题，单连通域就是实心域，多连通域为空心域；但这个概念不能简单地推广到三维问题中去，例如内含空洞的空心球体是一个单连通域，仅当孔洞贯穿三维体成管道时才是多连通域。,117,Chapter 4.5,单连通域:,多连通域:,位移场的单值条件,118,Chapter 4.5,n连通域有n个连接物体相邻部分的通道，如果用横贯通道的截面把n-1个通道切断，就化为单连通域，简称基域。这些假想截面称为切口。所以一个n连通域就相当于一个单连通的基域加n-1个切口。,位移场的单值条件,119,Chap
24、ter 4.5,位移场的单值条件 单连通域 上节从位移的单值连续性出发导出了应变协调方程，从而证明应变协调是保证位移单值连续的必要条件。下面将证明单连通域中应变协调方程是位移场函数单值的充分条件。,位移场的单值条件,120,Chapter 4.5,位移场的单值条件,单连通域上位移场的单值条件,121,Chapter 4.5,位移场的单值条件,122,Chapter 4.5,位移场的单值条件,123,Chapter 4.5,位移场的单值条件,124,Chapter 4.5,其中,位移场的单值条件,单值性条件：,即：,125,Chapter 4.5,由Stokes 公式：,位移场的单值条件,126
25、,Chapter 4.5,位移场的单值条件,因此，位移的单值性条件是应变满足协调方程。,或：,127,Chapter 4.5,协调方程,位移场的单值条件,128,Chapter 4.5,多连通域位移场的单值条件,对于多连通域的情况，可先用n1个切口将连通域化为单连通的基域。根据以上讨论，只要满足协调方程，就能保证基域上位移场的单值连续性。但变形后，在切口处仍可能出现开裂或重叠现象。所以对于多连通域，除了满足协调方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。,位移场的单值条件,129,Chapter 4.5,证明：n连通域中应附加(n-1)个位移场函数的单值性条件,位移场的单值条件,130,
26、Chapter 4.5,i=1,2,3,k=1,2n-1,位移场的单值条件,131,Chapter 4.5,转动单值性条件,位移场的单值条件,132,应变理论,Chapter 4,位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移,133,由应变求位移,Chapter 4.6,本节介绍笛卡尔坐标系中，由应变和几何方程求位移分量u1,u2,u3的方法。,134,由应变求位移,Chapter 4.6,线积分法 直接积分法,135,Chapter 4.6,线积分法 求位移分量,由于,因此只要导出u1三个一阶偏导数 用应变分量的表达式，就可由上式积分出
27、位移u1。,由应变求位移,136,Chapter 4.6,由几何方程得,已用应变分量表示，但 和 中还含有未知的位移偏导数。先处理,由应变求位移,137,Chapter 4.6,。,由应变求位移,138,Chapter 4.6,其中C1为待定积分常数。,由应变求位移,139,Chapter 4.6,用同样的思路可求得偏导数，然后代入下式就能积分出位移分量u1(x1,x2,x3)。,只要应变满足协调方程，以上各式中的线积分均与路径无关，一般取与坐标轴平行的折线为积分路径。可用同样的方法进一步求得位移分量u2和u3。,由应变求位移,140,Chapter 4.6,求位移 u1 的方法：,由应变求位
28、移,141,Chapter 4.6,(2)求位移u2,由应变求位移,142,Chapter 4.6,(3)求位移u3,由应变求位移,六个积分常数 u10,u20,u30 和 C1,C2,C3 分别相应于刚体平移和刚体转动的六个自由度，须由外部约束条件来决定。,143,Chapter 4.6,直接积分法 对某些应变分量表达式较为简单的情况，也可以采用直接积分法。下面以无应变状态ij=0为例，说明处理积分常数时应注意的问题。当应变不为零时，处理过程类似，只是多了一些来自非零应变的积分项。,由应变求位移,144,Chapter 4.6,由正应变表达式分别对积分 x1,x2,x3 一次得代入剪应变表达
29、式,由应变求位移,145,Chapter 4.6,得到,因f2与x2无关，由(a)式对x2求导得,由应变求位移,146,Chapter 4.6,同理由(c)式有 代入f1表达式得,由应变求位移,147,Chapter 4.6,上式对任意值x2均应成立，因此,由应变求位移,148,Chapter 4.6,同理可由,由,由应变求位移,149,Chapter 4.6,代入,由应变求位移,150,Chapter 4.6,于是独立常数降为六个。原式简化为,由应变求位移,151,Chapter 4.6,(2)式是前两节得出的刚体转动公式，比较两式可得积分常数a0,b0,c0就是刚体平移u10,u20,u30；而a2,b2,c2是刚体转动2，3，1。,由应变求位移,152,Chapter 4.6,谢 谢！,由应变求位移,
