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1、1,第二讲 非线性规划模型,一、非线性规划引例,例1 路灯照度问题,在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何使得路面上最暗和最亮的点的位置？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果将如何？,(只是涉及非线性规划的案例以及其解的相关概念，不涉及具体算法),2,图2-1,o,s,x,P1,P2,h1,h2,r1,r2,分析,如图2-1，P1,P2,表示两只灯的功率；,离地面的高度为h1,h2；,两只灯的距
2、离为s；,假设两只灯发出的光都可以看成点光源。,预备知识,光源点P1在点x处的照度I1，I1与功率P1成正例，与距离r1的平方成反比，与照射角度1的正弦成正比。即,其中，k为比例系数，同时也是平衡量纲（单位）的量。,3,解,所有的变量设置如图2-1所示,两只灯在点x处的照度为,其中，,变量之间的关系,这个公式只是适合点光源，如果不是点光源（比如竖着的日光灯，该怎么办？,4,问题一：灯高度不变，求路面照度最弱最强的位置x。,数学模型1,s.t.,也可以化简为,5,代入已知参数，模型简化为,即求一元函数I(x)在0，20上的最大值与最小值。,6,问题2：当3kw的灯的高度在3m到9m之间变化时，路
3、面的最暗和最亮点。,数学模型2,即求二元函数I(x,h2)在所给条件下的上的最大值与最小值。,7,问题3：两只灯的高度都在3m到9m之间变化时，求路面的最暗和最亮点。,数学模型3,即求三元函数I(x,h1,h2)在所给条件下的上的最大值与最小值。,像这种目标函数或者约束条件是决策变量的非一次（非线性）的规划问题，称为非线性规划模型。,8,二、非线性规划模型,在建立规划模型时，若目标函数中决策变量或者约束方程（不等式）中某些变量为非一次（不是线性），则称建立的数学模型为非线性规划模型。其数学模型一般为,若,1、非线性规划模型,1,9,2、非线性规划问题的解的相关概念,一般来说，非线性规划的求解，
4、比线性规划的求解困难得多。线性规划有统一的单纯形求解方法，而非线性规划目前还没有统一的一般算法。,1.1 可行集（可行域）,给定非线性规划问题1,1,如果1中m=0，表示没有约束，称为无约束优化问题，否则就是一般意义上的非线性规划模型。,10,若x满足1的约束条件，则称x为1的一个可行解。所有可行解的集合称为可行域（或可行集），记,1.2 局部极小点（局部最优解）,对于非线性规划1，若存在,，且对一切,满足,（即x为x*附近的点），,都有,则称x*为f(x)在D上的局部极小点（局部最优解）。,11,当,时，若,，则称x*为f(x)在,D上的严格局部最优解。,1.3 全局最优解（全局极小值点）,
5、对于非线性规划1，若存在,，且对一切,都有,则称x*为f(x)在D上的全局极小点（全局局最优解）。,注意：局部最优和全局最优实际就是高数中的极值与最值问题。,12,x,y=f(x),0,a,b,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x1,x3,x5为f(x)的局部极小值点；x2,x4,x6为f(x)的局部极大值点；x4为全局最大值点；x3是全局最小值点。,13,3、非线性规划的图解法,例2 利用图解法，求解如下非线性规划问题,分析：决策变量为x=(x1,x2)T。目标函数表示决策变,=(x1,x2)T到点(2,1)T的距离的平方（体现为圆周半径变化）；第一个约束是一条抛物线（开口朝左,x1为横轴
6、）；第二个约束为直线；同时决策变量非负。,14,解 以x1和x2分别为横轴和纵轴，建立直角坐标系，如图2-2：,（1）绘制约束曲线,（2）标出可行域：,图2-2,15,x1,x2,0,(右上),2.5,(在抛物线上),1,2,A,B,C,D,16,（3）绘制目标函数曲线,该问题的目标曲线是圆，以(2,1)T为圆心，半径,随着(x1,x2)T变化而变化，当半径达到最小，则目标函数也达到最小。让目标曲线随着目标意愿变化，本题的全局最优点是D(4,1)，如图所示。,另外，B(2.9104,4.3275)T是局部最小点（严格局部最优解）;目标函数的最大点是A(0,5),C(2.5,2.5)点是局部最大
7、点。,17,4.1 线性规划问题的最优解一定在可行域的边界的顶点处达到，任何一个最优解，就是全局最优解。,4.2 非线性规划的最优解可以在可行域内任何一点处达到，非线性规划求解出来的只是局部最优解。所以在针对非线性规划求解时，具体问题，有具体的搜索最优解的方法，一般注意：,4、建立规划模型的注意点,（1）尽可能给出靠近全局最优解附近的初始可行解；（2）尽可能给出每个决策分量的比较准确的上下界；（3）能够线性化的表达式，尽量线性化；（4）尽量每个表达式连续可导（起码二阶）；（5）非线性规划每次求解结果不一定相同。,18,4.3 在建立规划模型时，尽量做到：1、尽量用线性代替非线性；2、尽量用连续函数，若遇到分段函数，尽可能连续化或者用特殊手段处理；3、尽量写成乘积而不是除法；4、尽量用实数变量，少用整数变量；5、尽量给出变量的准确上下界，有利于更快搜索到最优解；6、复杂的式子，尽量化简表达式。,19,例3 组合投资问题,假设某公司在下一个计划期内可用于投资的总资本为b万元，可供选择的投资项目为n个，分别记为1,2,n。已知对第j项目的投资额为aj万元，而收益总额为cj万元。问如何投资，才能使得利润率（单位投资获得的收益）最高？,解：设投资决策变量为,20,注意：此问题的目标函数不是一次（线性），且决策变量是0-1决策变量，称为0-1非线性规划。,数学模型为,
