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1、,1.1 等腰三角形,第一章 三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学下（BS）教学课件,第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质,学习目标,1.回顾全等三角形的判定和性质;2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用 其解决基本的几何问题.(重点),导入新课,情境引入,问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?,斜拉桥梁,埃及金字塔,体育观看台架,问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?,七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.,思
2、考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？,问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？,1.两点确定一条直线；,2.两点之间线段最短；,3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直；,4.同位角相等，两直线平行；,5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；,6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；,7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；,8.三边分别相等的两个三角形全等.,定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.,问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？,弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键,证明一个命
3、题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.,讲授新课,已知：如图,A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.,证明：A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180），C=180(A+B)，F=180(D+E).A=D,B=E（已知），C=F（等量代换）.BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）.,总结归纳,定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.,根据全等三角形的定义，我们可以得到：,全等三角形的对应边相等，对应角相等.,问题1：你还记得我们探索过的
4、等腰三角形的性质吗?,推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).,问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?,定理:等腰三角形的两个底角相等.,问题引入,等腰三角形的两个底角相等.,A,B,C,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.,思考：如何构造两个全等的三角形？,定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.,如何证明两个角相等呢？,可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证,议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的
5、启发？,已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.,D,证明：,作底边的中线AD，则BD=CD.,AB=AC(已知)，,BD=CD(已作)，,AD=AD(公共边)，,BAD CAD(SSS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底边上的中线,还有其他的证法吗？,已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.,D,证明：,作顶角的平分线AD，则BAD=CAD.,AB=AC(已知),BAD=CAD(已作),AD=AD(公共边),BAD CAD(SAS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,方法二：作顶角的平分线,在BAD和CAD中,想一想：由BAD C
6、AD，除了可以得到B=C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？,解：BAD CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又 ADB+ADC=180，ADB=ADC=90，即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线.,D,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).,证明后的结论,以后可以直接运用.,总结归纳,推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.,AB=AC,1=2(已知)，BD=C
7、D,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC,BD=CD(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）.,综上可得：如图,在ABC中,例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.,典例精析,分析：（1）找出图中所有相等的角；,（2）指出图中有几个等腰三角形？,A=ABD,C=BDC=ABC；,ABC,ABD,BCD.,（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？,BDC=A+ABD=2 A=2 ABD,ABC=BDC=2 A,C=BDC=2 A.,（4）设A=x,
8、请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来.,A+ABC+C=180，x+2x+2x=180,解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36，在ABC中，A=36，ABC=C=72.,例2 如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)若ADAE，求证：BDCE；(2)若BDCE，F为DE的中点，如图，求证：AFBC.,解析：(1)过A作AGBC于G，根据等腰三角形的性质得出BGCG，DGEG即可证明；(2)先证BFCF，再根据等腰三角
9、形的性质证明,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,当堂练习,1.如图，已知ABAE，BADCAE，要使ABC AED，还需添加一个条件，这个条件可以是_,CD（答案不唯一）,2.(1)等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_；(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为 _；(3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.,
10、75,30,72,72或36,108,30,30,结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.,顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）2,0顶角1800底角90,课堂小结,等腰三角形的性质,等边对等角,三线合一,注意是指同一个三角形中,注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.,定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.,全等三角形的对应边相等，对应角相等.,1.1 等腰三角形,第一章 三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学下（BS）教学课件,第2课时 等边三角形的性
11、质,学习目标,1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角 形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问 题.(重点、难点),在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.,思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？,导入新课,情境引入,讲授新课,上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？,猜想：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高
12、线相等.,你能证明你的猜想吗？,例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等,A,C,B,E,已知:,求证:,BD=CE.,如图,在ABC中,AB=AC,BD和CE是ABC的角平分线,1,2,猜想证明,2=ACB(已知),AB=AC(已知),ABC=ACB(等边对等角).,证明：,又1=ABC，,1=2(等式性质),在BDC与CEB中，,DCB=EBC（已知），,BC=CB（公共边），,1=2（已证），,BDCCEB（ASA）,BD=CE(全等三角形的对应边相等),A,C,B,E,1,2,又CM=，BN=，,例2 证明:等腰三角形两腰上的中线相等,BM=CN,求证:,已知：如图,在ABC中,AB=
13、AC,BM,CN 是ABC两腰上的中线,证明：,AB=AC(已知)，ABC=ACB.,CM=BN在BMC与CNB中，,BC=CB,MCB=NBC,CM=BN，,BMCCNB（SAS）,BM=CN.,例3 证明:等腰三角形两腰上的高相等,BP=CQ,求证:,已知：如图,在ABC中,AB=AC,BP,CQ是ABC两腰上的高,证明：,AB=AC(已知)，ABC=ACB.,在BMC与CNB中，,BC=CB,QBC=PCB,BQC=CPB，,BQCCPB（SAS）,BP=CQ.,还有其他的结论吗?,1.已知:如图,在ABC中,AB=AC.（1）如果ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE吗?为什么
14、？,（2）如果ABD=ABC，ACE=ACB 呢?,由此你能得到一个什么结论?,议一议：,过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.,BD=CE,BD=CE,BD=CE,2.已知:如图,在ABC中,AB=AC.(1)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？,BD=CE,(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？,BD=CE,由此你能得到一个什么结论?,(3)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？,BD=CE,两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.,这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.,想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形
15、，那么等边三角形的内角有什么特征呢？,定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.,可以利用等腰三角形的性质进行证明.,怎样证明这一定理了？,定理证明,已知：如图,在ABC中，AB=AC=BC求证：A=B=C=60,证明：在ABC中，AB=AC(已知)，B=C(等边对等角).同理A=B又A+B+C=180(三角形的内角和等于180)，A=B=C=60,定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.,例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求EDA的度数.,解：,ABC是等边三角形，,CBA=60.,BD是AC边上的中线，,BDA=90,DBA=3
16、0.,BD=BE，,BDE=(180 DBA)2=(18030)2=75.,EDA=90 BDE=9075=15.,当堂练习,1.如图,ABC和ADE都是等边三角形，已ABC的周长为18cm,EC=2cm,则ADE的周长是 cm.,12,2.如图所示，ACM和BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.,证明：ACM和BCN都为等边三角形，1360，123 2，即ACNMCB.CACM，CBCN，CANCMB(SAS)，ANBM.,3.如图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小.,解：,OAB和OCD是两个全等的等边三角形.,AO=BO,CO=D
17、O,AOB=COD=60.,A、O、D三点共线，,DOB=COA=120，,COA DOB(SAS).,DBO=CAO.,设OB与EA相交于点F,EFB=AFO，,AEB=AOB=60.,F,变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出AEB的大小吗？,方法与前面相同，AEB=60.,课堂小结,等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.,定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.,1.1 等腰三角形,第一章 三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂
18、练习,课堂小结,八年级数学下（BS）教学课件,第3课时 等腰三角形的判定与反证法,1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点、难点）2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；（重点）,学习目标,复习引入,导入新课,问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？,等腰三角形的两底角相等(简写成 等边对等角”),等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 三线合一”),问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？,题设：一个三角形是等腰三角形,结论：相等的两边所对应的角相等,思考：如图，在ABC中，如果B=C，那么AB与AC之间有什么关系吗？,我测量后发
19、现AB与AC相等.,3cm,3cm,讲授新课,A,B,C,如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得B=C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？,互动探究,已知：如图，在ABC中,B=C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?,建立数学模型：,做一做：画一个ABC，其中B=C=30，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？,AB=AC,你能验证你的结论吗？,在ABD与ACD中，,1=2，,ABD ACD（AAS）.,B=C，,AD=AD，,AB=AC.,过A作AD平分BAC交BC于点D.,证
20、明：,结论验证：,有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).,等腰三角形的判定定理：,应用格式：,AB=AC(等角对等边).,A,C,B,总结归纳,（等角对等边）.,（等角对等边）.,错，因为都不是在同一个三角形中.,辨一辨：如图,下列推理正确吗?,例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：AED是等腰三角形.,证明：AB=DC,BD=CA,AD=DA,ABDDCA(SSS),ADB=DAC(全等三角形的对应角相等）,AE=DE(等角对等边）,AED是等腰三角形.,典例精析,例2 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，
21、且DEBC.求证：ADE为等腰三角形.,证明 AB=AC，,B=C.,又 DEBC，,ADE=B，AED=C.,ADE=AED.,ADE为等腰三角形.,想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?,在ABC中,如果BC,那么ABAC.,如图,在ABC中,已知BC,此时,AB与AC要么相等,要么不相等.,假设AB=AC,那么根据“等角对等边”定理可得B=C,但已知条件是 BC.“B=C”与“BC”相矛盾，因此ABAC.,小明是这样想的:,你能理解他的推理过程吗?,在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已
22、知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法,总结归纳,用反证法证题的一般步骤,1.假设:先假设命题的结论不成立;2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与 定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题 的结论正确.,例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：ABC求证：A,B,C中不能有两个角是直角,【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“A,B,C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“A,B,C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾,典例精析,证
23、明：假设A,B,C中有两个角是直角，不妨设A=B=90，则A+B+C=90+90+C180这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角,当堂练习,72,36,如果AD=4cm，则,1.已知:如图,A=36，,DBC=36，C=72,1=,2=；,图中有 个等腰三角形；,BC=cm；,72,36,3,4,5,2.已知：等腰三角形ABC的底角ABC和 ACB的平分线相交于点O.求证：OBC为等腰三角形.,ABD=DBC=，ACE=ECB=.,DBC=ECB，,OBC是等腰三角形.,又 ABC是等腰三角形，,ABC=ACB，,3.求证：在同一平面内,如果一条直线和两
24、条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.,已知:,直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.,求证:,l3与l2相交.,l1,l2,l3,P,经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,假设不成立,l3与l2 不相交,l3l2,l1l2,课堂小结,等腰三角形的判定,等角对等边,有两个角相等的三角形是等腰三角形,反证法,先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.,1.1 等腰三角形,第一章 三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学下（BS）教学课件,第4课时 等边三角形的判定及含30角的直角三角形的性质,1.能
25、用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)2.掌握含30角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点),导入新课,观察与思考,观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？,思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？,一个三角形满足什么条件就是等边三角形?,由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：,1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.,讲授新课,已知：如图，A=B=C.求证：AB=AC=BC.,A=B,AC=BC.B=C,AB=AC.AB=AC=BC.,证明：,定理2：有一个角是60的等腰三角形是等
26、边三角形.,A,已知：若AB=AC,A=60.求证：AB=AC=BC.,证明：AB=AC,A=60.BC(180。A)=60.A=B=C.AB=AC=BC.,证明:AB=AC,B=60(已知),C=B=60(等边对等角)，A=60(三角形内角和定理)A=B=C=60 ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).,已知:如图,在ABC中，AB=AC,B=60求证:ABC是等边三角形,第二种情况：有一个底角是60.,【验证】,等边对等角,等角对等边,“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合,有一角是60的等腰三角形是等边三角形,等边三角形三个内角都相等，且每个角
27、都是60,三个角都相等的三角形是等边三角形,归纳总结,例1 如图,在等边三角形ABC中，DEBC,求证：ADE是等边三角形.,证明：,ABC是等边三角形，,A=B=C.,DE/BC,ADE=B,AED=C.,A=ADE=AED.,ADE是等边三角形.,想一想：本题还有其他证法吗？,典例精析,变式：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE,ADE还是等边三角形吗?试说明理由.,如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,求证：ADE是等边三角形.,证明：,ABC是等边三角形，,A=B=C=60.,AD=AE,ADE是等腰三角形,ADE是等边三角形.,又 A=60.,操作:用两个含有30角的三角板，你能
28、拼成一个怎样的三角形？,你能说出所拼成的三角形的形状吗？,猜想：在直角三角形中,30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？,合作探究,已知:如图,在ABC中,ACB=90，A=30.求证:BC=AB.,分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题,“线段相等”问题,猜想验证,ACB=90,(已知)ACD=90，(平角意义)在ABC与ADC中，BC=DC，（作图）ACB=ACD，（已证）AC=AC，（公共边）ABCADC（SAS），AD=AB；ACB=90,BAC=30，(已知)B=60，ABD是等边三角形，(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)BC=BD=AB(等式性质),证明:延长BC至D,使
29、CD=BC,连接AD，,定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半,几何语言：在ABC中,ACB=90,A=30BC=AB(在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半),推论：,归纳总结,例2 如图，在ABC中，已知AB=AC=2a,B=ACB=15,CD是腰AB上的高，求CD的长.,解：B=ACB=15，(已知)DAC=B+ACB=15+15=30，ADC=90，CD=AC=a（在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半）,例3 已知:如图,在ABC中，ACB=90，A=30，CDAB于D求证:BD=,证明：A=30，C
30、DAB，ACB=90BC=B=60BCD=30，BD=BD=,1.已知ABC中，A=B=60，AB=3cm，则ABC的周长为_cm.,9,当堂练习,2.在ABC中，B90，C30，AB3则AC=_;BC=_,A,B,C,3,30,6,3.已知：如图，AB=BC，CDE=120，DFBA，且DF平分CDE.求证：ABC是等边三角形.,ABC是等边三角形.,又CDE=120，DF平分CDE.,FDC=ABC=60，,ABC是等腰三角形，,EDF=FDC=60，,又DFBA，,证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.ACB=90，ACD=90又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC
31、，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等边三角形B=60在RtABC中，BAC=30,4已知：在RtABC中，C=90,BC=AB求证：BAC=30,课堂小结,1.等边三角形的判定:有一个角是60的等腰三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形,2.特殊的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30,3.数学方法：分类的思想,1.2 直角三角形,第一章 三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学下（BS）教学课件,第
32、1课时 直角三角形的性质与判定,1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三 角形的性质和判定.2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解 决问题.（重点、难点）,学习目标,直角三角形的两个锐角互余.,问题1 直角三角形的定义是什么？,问题2 三角形内角和的性质是什么？,有一个是直角的三角形叫直角三角形.,三角形内角和等于180.,这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.,导入新课,复习引入,问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于
33、30.,讲授新课,问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？,问题引入,根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.,如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？,如图，在ABC中，A+B=90，那么ABC是直角三角形吗？,在ABC中，因为 A+B+C=180，又A+B=90，所以C=90.于是ABC是直角三角形.,知识回顾,勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.,证明欣赏,b,a,c,b,a,c,1美国第二十任总统的证法：,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,(a+b)2=
34、c2+，,a2+2ab+b2=c2+2ab，,a2+b2=c2.,大正方形的面积可以表示为；也可以表示为；,(a+b)2,c2+,2利用正方形面积拼图证明：,c,c2=+(b-a)2，,c2=2ab+b2-2ab+a2，,c2=a2+b2，,a2+b2=c2.,大正方形的面积可以表示为；也可以表示为,c2,+(b-a)2,3赵爽弦图,c,a,c,a,c,b,a,a,b,b,b,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,勾股定理反过来，怎么叙述呢？,这个命题是真命题吗？为什么？,已知：如图,在ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:ABC是直角三角形分析：构造一个直
35、角三角形与ABC全等，你能自己写出证明过程吗？,例1 证明此命题：,证明：作RtDEF,使E=90,DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)AC2+BC2=AB2(已知),DE=AC,FE=BC(作图),AB2=DF2，AB=DF，ABCDFE（SSS）C=E=90,ABC是直角三角形,归纳总结,定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,议一议,定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,下面两个定
36、理的条件和结论有什么样的关系？,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,观察上面三组命题,你发现了什么?,1.两直线平行,内错角相等；,3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；,2.内错角相等,两直线平行；,5.一个三角形中相等的边所对的角相等；6.一个三角形中相等的角所对的边相等；,说出下列命题的条件和结论：,在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.,如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.,上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置,命题“两直
37、线平行，内错角相等”的条件和结论为：条件为：两直线平行；结论为：内错角相等因此它的逆命题为：,内错角相等，两直线平行.,归纳总结,例2 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.,(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.,条件：一个三角形是直角三角形.,结论：它的两个锐角互余.,逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.,(2)等边三角形的每个角都等于60.,条件：一个三角形是等边三角形;,结论：它的每个角都等于60.,逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60，那么这个三角形是等边三角形.,（3）全等三角形的对应角相等.,条件：两个三角形是全等三角形
38、.,结论：它们的对应角相等.,逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.,每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确 例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题,知识归纳,例3 举例说明下列命题的逆命题是假命题.,（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.,逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.,例如10能被5整除，但它的个位数是0.,（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数 能被5整除.,逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.,例
39、如60=60，但这两个角不是直角.,如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.,注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.,注意2：不是所有的定理都有逆定理.,知识归纳,当堂练习,1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）,A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm,【解析】RtABC中，AB2=AC2+BC2=100，AB=10cm.BE=AB=5cm.,B,2.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题
40、？试举出几个例子说明.,(1)同旁内角互补，两直线平行.,逆命题：两直线平行，同旁内角互补.,真,(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.,逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.,真,直角三角形,角的性质,课堂小结,边的性质,勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形,定理1：直角三角形的两个锐角互余；定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.,互逆命题与互逆定理,互逆命题,互逆定理,一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理,第一个命题的条件是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二
41、个命题的条件.,概念,概念,1.2 直角三角形,第一章 三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学下（BS）教学课件,第2课时 直角三角形全等的判定,情境引入,1探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”（难点）2会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等（重点）,SSS,SAS,ASA,AAS,旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法,导入新课,如图，RtABC中，C=90，直角边是_、_，斜边是_.,AC,BC,AB,思考：,前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？,A,B,C,A,B,C,1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等
42、，这两个直角三角形全等吗？为什么？,2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,口答：,动脑想一想,如图，已知AC=DF，BC=EF，B=E，ABCDEF吗？我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.,问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即B=E=90，且AC=DF，BC=EF，现在能判定ABCDEF吗？,讲授新课,任意画出一个RtABC,使C=90.再画一个RtA B C，使C=90,BC=BC,A B=AB,把画好的RtAB C 剪下来，放到RtABC上，它们能重合吗？,作
43、图探究,画图方法视频（点击文字播放）,画图思路,（1）先画M C N=90,画图思路,（2）在射线CM上截取BC=BC,N,B,画图思路,（3）以点B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于A,N,B,A,画图思路,（4）连接AB,N,B,A,思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？,“斜边、直角边”判定方法,文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.,几何语言：,在RtABC和Rt ABC 中，,RtABC Rt ABC(HL).,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）
44、（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等（）,HL,SAS,AAS,AAS,判一判,例1 如图，ACBC，BDAD，ACBD，求证：BCAD.,证明：ACBC，BDAD，C与D都是直角.,在 RtABC 和RtBAD 中，,RtABCRtBAD(HL).BCAD.,变式1：如图，ACB=ADB=90，要证明ABC BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）,AD=BC,DAB=CBA,BD=AC,DBA=CAB,HL
45、,HL,AAS,AAS,如图，AC、BD相交于点P,ACBC，BDAD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.,变式2,HL,AC=BD,RtABDRtBAC,如图：ABAD，CDBC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.,变式3,HL,ADB=CBD,RtABDRtCDB,ADBC,例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，如果ADAF，ACAE.求证：BCBE.,证明：AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，且ADAF，ACAE，RtADCRtAFE(HL)CDEF.ADAF，ABAB，RtABDRtABF(HL)BDBF.BDCDBFEF.即BCBE.,
46、方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件,例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角B和F的大小有什么关系？,解：在RtABC和RtDEF中,RtABCRtDEF(HL).,B=DEF(全等三角形对应角相等).,DEF+F=90,B+F=90.,1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等,D,A,当堂练习,2.如
47、图，在ABC中，ADBC于点D，CEAB于点 E，AD、CE交于点H，已知EHEB3，AE4，则 CH的长为（）A1 B2 C3 D4,4.如图，在ABC中，已知BDAC，CE AB，BD=CE.求证：EBCDCB.,证明：BDAC，CEAB，BEC=BDC=90.,在 RtEBC 和RtDCB 中，,RtEBCRtDCB(HL).,3.如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）.,全等,HL,5.如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BF=DE.,证明:BFAC,DEAC,BFA=DEC=90.AE=CF，AE+EF=
48、CF+EF.即AF=CE.在RtABF和RtCDE中，,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE.,如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BD平分EF.,变式训练1,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE,RtGBFRtGDE(AAS).,BFG=DEG,BGF=DGE,FG=EG,BD平分EF,如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?,变式训练2,C,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE,RtGBFRtGDE(AAS).,BFG=DEG,BGF=DGE,FG=EG,BD平分EF,6.如图，有一直角三角形ABC，C90，AC10cm
49、，BC5cm，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时ABC才能和APQ全等？,【分析】本题要分情况讨论：(1)RtAPQRtCBA，此时APBC5cm，可据此求出P点的位置(2)RtQAPRtBCA，此时APAC，P、C重合,解：(1)当P运动到APBC时，CQAP90.在RtABC与RtQPA中，PQAB，APBC，RtABCRtQPA(HL)，APBC5cm；,能力拓展,(2)当P运动到与C点重合时，APAC.在RtABC与RtQPA中，PQAB，APAC，RtQAPRtBCA(HL)，APAC10cm，当AP5cm或10
50、cm时，ABC才能和APQ全等,【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解,课堂小结,“斜边、直角边”,内容,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.,前提条件,在直角三角形中,使用方法,只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）,1.3 线段的垂直平分线,第一章 三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学下（BS）教学课件,第1课时 线段的垂直平分线,1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）3.能运用线段的垂直平分线的
