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1、眼科病床的合理安排摘 要本文分析了影响病床利用率的因素，给出了时间综合指标用于判断病床利用率问题。针对问题二给出了病床安排的动态规划描述，并给出了算法、在Excel中编程实现。通过问题一中的时间综合指标进行判别，结果本文给出的动态规划算法比先来先服务算法要优的多。在动态规划的数学模型的实现过程中，给出病床安排决策，从而使问题三得以容易解决。问题四中针对手术的时间做了变更，动态规划模型中仅需要相应变化对应的决策指标就能给出结果。从运行的情况看本文的方法在手术时间变更后仍可以给出较优安排方案。在问题五中本文在排队论的基础上，提出了平均逗留时间最短的非线性优化模型，该模型以平均逗留时间为指标。该模型
2、能方便地在Lingo软件中实现。计算的结果表明该非线性模型有较快的收敛速度，同时给出了最优化的结果。关键词：病床安排；动态规划；优化；排队论；非线性一 问题的提出医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有
3、急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安
4、排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即
5、告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二 问题假设1眼科病床的数量有79张，并且认为每天每张病床都工作。2外伤类型都看作是急诊，其他类型的病人没有急诊。3医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，并假设每位医生有足够的能力做任何眼科手术。4患者总共分为5类，每位患者仅属于其中一类
6、。5患者住院后没有接受完整的治疗不离开。6本文中的时间单位为天。7病人的住院数和出院数都符合泊松流。 三 符号约定I: 评价指标体系: 病人等待时间: 平均住院日: 第k 阶段状态k： 阶段变量 : 最优指标函数Ws: 平均服务时间Wq: 平均等待时间Lq: 平均队长FCFS:先来先服务规则四 模型建立与求解1. 评价指标体系在该问题中所要讨论的是如何合理安排病床，以提高对医院有限资源的有效利用。实际应用中对固定数量病床(79张)的运行效率一般采用几个指标进行衡量：(1) 病床周转次数（次）=出院人数/平均开放病床数；(2) 出院人数；(3) 平均住院日；(4) 病床平均工作日；(5) 病床使
7、用率；(6) 病人等待时间。然而从中分析不难看出，出院人数与病床周转次数是成倍数关系的，在本问题中病床假定是79张，每天都处于工作状态，因此病床平均工作日和病床使用率都是固定的值，可以不做考虑。文献1中使用动态回归的方法给出了平均住院日和病床平均工作日对病床周转次数的影响，平均住院日与病床周转次数的关系呈负相关性。由此我们可以认为平均住院日越短，单位周期的出院人数就越多，实际上也正是如此。此外，病人等待的时间也是不容忽视的，因为当病人等待的时间达到一定长度时，就会转到其他医院治疗，从而间接影响病床的使用效率和医院的效益。根据模型的假设和上面的讨论，可以使用平均住院日和病人等待的时间两个因素或者
8、综合因素作为衡量病床使用效率的指标。在此建立病床模型的评价指标I，称为时间综合评价指标: (1)其中为病人等待时间，为平均住院日。2病床模型问题二的目的是寻找一种病床的安排策略使得在现有病床的条件下，能使得病床的使用效率提高，从而减少病人排队的时间。由数据的统计分析看来，目前住院的状况不容乐观：病人的平均等待时间为10.7天，而病人的平均住院时间为9.0天。病人等待的时间比住院的时间还长，因此如何提高病床的使用效率成了最急需解决的问题。该问题既能划分阶段，又符合最优化原理，同时也具有无后效性原则。从而可以用动态规划模型进行求解。(1) 动态规划模型的描述2,3,4,5,6阶段的划分：安排病人住
9、院的天数看作是n个阶段，即阶段变量 k=1,2,3,，n；状态的定义：是描述过程状态的变量。用表示第k 阶段状态，即表示待住院的人数；决策与决策变量：决策表示当过程处于某个阶段的某个状态时，可以做出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。常用来表示第k阶段当状态处于时的决策变量。决策变量表示第k 阶段已安排的病人数决策，允许决策集合；策略：策略是按顺序排列的决策组成的集合。指标函数和最优值函数：阶段指标表示第k 阶段从个病人中安排某个 病人住院时，这 病人的平均住院时长；最优指标函数表示第k阶段从 开始到最后阶段采用最优安排策略取得的最小时长；状态转移方程：状态转移方程
10、为：=-；本文中采用顺序解法模型，因此可设指标递推方程及边界条件为： (2)(2)算法分析及结果 本文中把就诊病人分成5类，使用从2008年7月13日到2008年9月4日的数据估计每类病人的平均住院日，由概率论的知识不难得出：平均住院日= (3)估计的结果如表1所示。表1 白内障白内障(双)青光眼视网膜疾病外伤平均住院日(天)5.24 8.56 10.49 12.54 7.04 从而可以近似的估计住院病人且未出院病人的出院时间。估计方法为：出院时间=入院时间+平均住院日。这里考虑为了提高病床的效率，可以把住院时间分解为等待手术时间和休养时间(白内障(双)假定从第一次手术算起)，经过统计得到每类
11、病人的等待手术时间和休养时间的期望和方差如表2。表2类别平均等待手术时间等待手术时间方差平均等待住院时间等待住院时间方差白内障2.3331.60612.6671.127白内障(双眼)3.5973.75312.5120.689青光眼2.4100.24212.2561.4219视网膜疾病2.3760.23512.5441.099外伤1010从平均等待手术时间和方差两项可以看出两类白内障在医院等待的时间较长，这两类手术只要准备12天即可，因而这两类病人大大占用了病床的资源，使得加大了平均住院日。等待手术的时间相对过长，休养时间较为固定。通过指标在对病床的分配上进行控制是寻求模型最优解的关键。这里设定
12、=等待手术时间。在阶段优化中使得该指标最小。由于问题的假定手术的时间有一定的规则，因此这里使用表3给出该指标的计算方法。表3类型手术规则星期 外伤具有绝对优先权准备手术时间00白内障星期一或星期三手术准备手术时间12天一 六2二 日1三 5四4五3 (续上表)白内障(双)星期一做手术准备手术时间12天一7二6三5四4五3六2日1青光眼星期一、三不做手术准备手术时间23天3视网膜疾病星期一、三不做手术准备手术时间23天3说明：因为外伤属于急诊，因此具有绝对优先权，对该类病人其阶段指标值强制为0来控制优先。(3)模型的计算流程：1) 开始；2) 初始化k=初始时间，查询的状态，估计未出院病人的出院
13、时间；3) 计算k阶段可用病床数，给出每个病人k阶段住院的指标值；4) 选择最优的安排模式使得阶段指标最小；5) 计算从分配状态转换到状态的决策，同时计算最优指标函数；6) 根据策略给个病床安排病人住院，并预测出院时间；7) 状态转换至=-,保存决策；8) 转向(3)，否则继续往下；9) 结束。本文采用Excel中的VBA编程计算实现（数据结果见电子附件）。计算的指标比较结果如表4所示。病人采用问题一中的评价体系，这里取同等权重1。 (4)模型分析采用本文的动态规划算法有效的减少了平均住院时长和病人等待住院的时间。大大提高了住院部的病床利用效率。从表2看出使用本方法安排的时间越长对于平均住院时
14、长和病人等待住院的时间均越短,指标I也越小。表4方法平均住院时长平均等待住院时长评价指标I本文方法(从2008年8月9日开始计算的结果)6.5161.8058.321本文方法(从2008年9月6日开始计算的结果)7.04511.41718.462本文方法(从2008年9月12日开始计算的结果)6.80412.00018.804FCFS9.00310.71019.7133住院时间的预测 (1) 问题分析问题三中主要能提供给病人一个大致的住院时间范围，实际上就是通过问题二的模型进行模拟安排住院的过程。本文采用动态规划的方法实现，只要添加一条模拟数据，并使其重新运行一次就可以实现。 (2) 模拟结果
15、 在数据中添加一条记录 序号类型门诊时间103白内障2008-9-12 根据程序的运行可以得到，其住院的大致时间为2008-9-16，由于前面的病床安排是由动态规划模型计算的结果，所以要比先进先出方法的结果在时间上要早些。4周末无手术的分析问题四中改变了手术的规则，星期六、日不安排手术。那么需要做如下假设：a 假设在星期六、日不安排手术的情况下医院的眼科医疗条件仍能满足目前手术次数；b 假设外伤情况在星期六、日还是安排手术；c 其他的假设与问题二相同。(1)数据分析当限定星期六、日不安排手术时，必然会对安排青光眼和视网膜疾病病人住院造成影响，而对白内障两类不够成影响。那么对于指标就需要做相应的
16、变化，见表5所示。表5类型手术规则星期外伤具有绝对优先权 ，准备手术时间00 (续上表)白内障星期六、日不做手术星期一或星期三手术准备手术时间12天一 六2二 日1三5四4五3白内障(双)星期一做手术准备手术时间12天一7二6三5四4五3六2日1青光眼星期一、三不做手术准备手术时间23天一 六3二 三 四 日2五4视网膜疾病星期一、三不做手术准备手术时间23天一 六3二 三四 日2五4(2)计算结果及分析 表6方法平均住院时长平均等待住院时长评价指标I本文方法(从2008年8月9日开始计算的结果)3.1976.80910.006本文方法(从2008年9月6日开始计算的结果)7.0449.194
17、16.238本文方法(从2008年9月12日开始计算的结果)6.36311.66318.026FCFS方法9.00410.71119.715说明：本文方法在规则变动的情况下仍然能安排病人使得住院时间和平均等待住院时间长度较小，因而可以不用变动手术的时间安排。5病床比例分配模型(1)模型假设与相关结论从问题五的假定和排队论的知识可知，原来的系统被分解成了5个多病床模型（M /M /s/）2。先讨论一个（M /M /s/）模型，假设病人单个到达，相继到达时间间隔服从参数为的负指数分布，系统中共有s张病床，每个病床的服务时间相互独立，且服从参数为 的负指数分布。当病人到达时，若有空闲的病床则马上接受
18、服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。 下面来介绍了这个排队系统的平稳分布。记 (n=0,1,2,)为系统达到平稳状态后队长N 的概率分布，注意到对个数为s的多病床系统，有 （4）和 （5）记则当时，由排队论的知识可知该过程为一生灭过程7，有： （6）故 (7)其中 (8) 对于多个病床等待制排队系统，由已得到得平稳分布可得平均排队长Lq为： (9) 对多病床系统，平均服务时间(系统内的)为： (10) 和平均等待时间为： (11)(2) 平均逗留时间最短的非线性优化模型 问题五要求建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型，则说明五系统中每个
19、系统都必须能处于稳定状态运行，否则就达不到平均逗留时间最短，因此该问题为求一个最优解的问题，模型如下： , (12) 约束条件为 ，i=1,2,3,4,5。其中，分别为第i个模型的平均逗留时间和平均等待时间。又因为(11)式，所以模型可转化为 (13)约束条件为 ，i=1,2,3,4,5。此问题变成了求(13)式最优解问题。由前面对（M /M /s/）模型的讨论可知实质上f是关于病床数Si的函数。(3)模型的求解取为每日平均人流量，使用Lingo语言编程求解（程序见电子附件），通过19次迭代就可得如下全局最优的稳定结果：表6白内障白内障(双)青光眼视网膜疾病外伤平均人流量1.6392.1801
20、.0332.7871.049平均住院时长5.2368.56010.48712.5457.036结果16.25932.3125.95429.5944.880结果1取整6326305手术准备时间+休养时间4.9026.96311.07713.1687.036结果26.01729.0115.92432.3375.711结果2取整6296326说明：这里结果1为=s/平均住院时长的结果，当该结果并不理想，因为视网膜疾病病人的平均人流量最大，平均住院时间最长，反而安排的床位比白内障(双)的少。实质上服务的效率应该设定为=s/(手术准备时间+休养时间)，得到的结果2就比结果1要符合实际的情况，如视网膜疾病
21、的人流量最大，住院时间最长，所以安排的病床数应该最多。下面给出在=s/(手术准备时间+休养时间)情况下的优化达到收敛点的平均逗留时间，见表7。表7平均住院时间Ws平均等待住院时间Wq白内障0.8150.000白内障(双)0.2400.000青光眼1.8780.009视网膜疾病0.4070.000外伤1.2330.001通过表7不难算出稳定状态下系统的平均逗留时间为0.915，平均待住院时间几乎为0。由此给出的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模式为结果2取整。五模型合理性分析本文中应用了动态规划的数学模型描述了问题二中的病床安排模型，该模型能够很好的描述和进行编程实现病床的
22、安排问题，且得到了比先来先到规则更好的效果。但是该模型的路径搜索过程算法的计算量较大，因此运行速度较慢，如果有时间可以进一步优化。针对问题五本文在排队论的基础上，提出了平均逗留时间最短的非线性优化模型，该模型的以平均逗留时间为指标。在使用Lingo软件对其进行计算时简单易行。同时也给出了较优良的结果。 参考文献1 景立伟 回归在医院病床周转次数影响因素分析中的应用 山西医科大学学报 2008年2月 150151 2 傅家良主编，运筹学方法与模型，上海：复旦大学出版社，2006年。3 周华任等主编，运筹学，陕西：师范大学出版社，2005年。4 孙晚华，关于动态规划顺序求解法的教材探讨，北京交通大学学报，第3卷第1期：62：64，2004年。5 Wayne L .Winstn著，运筹学概率模型应用范例与解法， 北京：清华清华大学出版社，2006年。6 马振华主编，运筹学与最优化理论卷，北京：清华大学出版社，1997年。7 陆传赉主编，排队论，北京：北京邮电学院出版社，1994年
