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1、病痛减轻时间的计量模型摘要本文基于对病痛减轻的时间与用药剂量、性别、血压关系的数据统计分析，首先，从简单多元线性回归的建立与分析开始，然后建立三元非线性回归模型。其次，根据实际情况，建立区分性别的两个二元非线性回归模型，最终将这两个模型合并为男女多元非线性回归组合模型，以获得更高的拟合优度。本文在建立以上模型过程中，综合运用E-view和MATLAB数学软件进行问题的分析和求解，得到方程式解后做以下处理：一、运用软件画出曲线拟合图，分析残差图，剔除第23组异常数据；二、对模型进行检验包括，1、解释变量显著性检验，2、模型显著性检验，3、模型的拟合优度检验，4、对回归模型进行异方差性检验，5、对
2、回归模型进行自相关性检验；三、对模型进行修正以及优化。结论是：1、这个模型解释变量对因变量y的影响是显著的；2、这个模型显著性检验成立；3、男性模型的拟合优度达98.01%，女性模型的拟合优度达95.84%；4、回归模型不存在异方差性；5、回归模型不存在自相关性。第一，问题含有性别这一定性变量，并且已经处理成0-1变量。本文通过建立含定量变量的多元线性回归模型，含定量变量的非线性回归模型和按性别男女分开的多元非线性回归三个模型来解决问题。第二，利用问题一建立的三元非线性回归模型以及区分性别的两个二元非线性回归模型，进行问题二中数据的病痛减轻时间预测，即对于不同的用药剂量、性别、血压数据，对病痛
3、减轻时间进行点估计和区间估计。关键字：多元非线性统计回归 MATLAB E-view 男女模型1.问题重述新药临床试验的数据分析问题某公司研制了一种止痛的新药，通过临床试验来确定它的疗效。在临床试验过程中，用4种剂量来试验，剂量分别是2g，5g，7g，10g，分别记录每个病人用药后病痛明显减轻所需的时间（以分钟计）。为了了解新药的疗效与病人性别和血压之间的关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的高（0.8）、中（0.55）、低（0.3）三档来进行测试。试验结束后，公司的记录结果见附件1（性别1表示女，0表示男）。现需进行以下的分析：1、 根据附件1的数据分析病痛减轻的时间与用药剂量、性别和
4、血压的关系。2、 对于下面不同人服药的数据，预测出病痛明显减轻的时间。用药剂量（g）性别血压1010.8700.4400.25310.6附件1. 另见 附录附件一2.问题分析新药临床试验的数据分析问题的要求：建立病痛减轻的时间与用药剂量、性别和血压的关系，常用的模型有：多元线性回归模型、领回归、非线性回归、含定性变量的回归模型。第一，问题含有性别这一定性变量，并且已经处理成0-1变量。本文通过建立含定性变量的多元线性回归以及含定性变量的非线性回归两个模型来解决问题。第二，利用问题一建立的两个模型来解决问题二，即对于下面不同人服药的数据，预测出病痛明显减轻的时间。3.假设条件与符号说明 ：病痛减
5、轻的时间：用药剂量：性别：血压：简单多元线性回归模型中的回归系数：多元非线性回归模型中的回归系数：多元非线性回归模型修正模型中的回归系数：区分性别的多元非线性回归模型中的回归系数，表示男性，时表示女性。4.多元非线性回归建立与求解4.1 多元非线性回归模型引论4.1.1简单多元线性回归模型建立、求解以及分析根据假设条件，简单多元线性回归模型为：成为回归系数，影响y的其它因素作用都包含在随机误差中，若果模型选择得合适，应大致服从均值为零的正态分布1。4.1.2简单多元线性回归模型求解模型求解可以直接利用计量经济学软件E-view，进行最小二乘法简单线性回归模型求解（求解结果详见附录中的程序一）。
6、模型的结果为： （4.1）4.1.3简单多元线性回归模型结果分析模型(4.1)的拟合优度检验：指因变量y（病痛减轻的时间）的75.5%可由模型确定，该判定系数并不理想；模型的显著性检验：, ,因此可以认为模型的线性关系是显著的；解释变量的显著性检验：， ，变量的影响不显著，也就是说因变量与自变量之间的线性关系不强。基于模型拟合图观察（附录图一）和以上的检验分析，本文认为该问题的模型不是简单多元线性回归模型，应该建立多元非线性回归模型。4.2多元非线性回归模型的建立求解4.2.1多元非线性回归模型分析通过E-view列出表格中数据的散点图（详见附录散点图一）。在散点图中，可以清楚地看到病痛减轻时
7、间与用药剂量存在着反比关系，并且病痛减轻时间的减少量随着用药剂量的增加而加速减少，即。同理可以得到病痛减轻时间与血压的关系也是。由于性别对病痛减轻时间有影响，并且性别为0-1定性变量，可得，因此。在散点图中，当用药剂量固定，血压在区间(0.3,0.8)以0.25均匀上升时，病痛减轻时间经历一个先上升后下降的过程；在血压区间都是0.25时，病痛减轻时间在(0.3,0.55)内上升的速度明显小于在(0.55，0.8)内下降的速度。本文的结论是用药剂量与血压的交互作用对病痛减轻的时间有影响。同理可得用药剂量与年龄的交互作用对病痛减轻时间有影响。最后可以得到：4.2.2多元非线性回归模型建立 基于以上
8、的分析，该非线性回归模型2为：常数系数为，用药剂量系数为，性别系数为，血压系数为，系数为，系数为，系数为，系数为。4.2.3多元非线性回归模型求解 该多元非线性回归模型，可以化解为多元线性回归模型，经过计量经济学软件E-view软件求解（详见附录表二），回归方程为： （4.2）正如上文所提到的，该求解过程是由非线性回归方程转化为线性回归，进而求解线性回归方程得到的解。每一个“变量” 仍然有t统计值。在置信度，即t检验值情况下对这些“变量”进行解释变量显著性检验。检验结果如下：、。这表明解释变量对影响不显著，应考虑将从模型中剔除而重新建立模型。4.2.4多元非线性回归修正模型的建立 经过研究分析
9、，以及具体的建模和解释变量显著性检验，重新建立模型：常数系数为，用药剂量系数为，系数为，系数为，系数为，系数为。4.2.5多元非线性回归修正模型的求解 该多元非线性回归模型，可以化解为线性回归模型，经过计量经济学软件E-view软件3求解，对模型进行求解，画出曲线拟合图：图4-1观察发现：第23个点的残差较大为异常点。剔除该点之后重新建立多元非线性回归修正模型。使用软件求解结果（详见附录表三），依据求解结果，该多元非线性回归修正模型为： （4.3）利用E-view软件画出该方程的曲线拟合图（详见附录图三），结果发现没有存在异常点。模型系数表明：，y是关于的一元二次方程，中轴线。当固定的时候，如
10、果上升一单位，那么病痛减轻时间下降的速度将加快7.74个单位。当血压上升时，病痛减轻时间下降的速度将放大地加快。同理当固定的时候，如果上升一单位，那么病痛减轻时间下降的速度将加快7.74个单位。由函数中可以看出y与成正比关系，即当固定，性别为女性时，病痛减轻时间将增加个单位。这种药对女性起效的时间要长于对男性起效的时间。4.2.6多元非线性回归修正模型结果分析 第一进行解释变量显著性检验2：在置信度，即t检验值的情况下对进行解释变量显著性检验。检验结果为这些变量对y都有显著性影响。第二进行模型显著性检验2：在置信度，即F检验值的情况下对模型进行显著性检验。显然，模型的显著性检验成立。第三进行模
11、型的拟合优度检验2：在本模型中，这就意味着在病痛减轻时间的变化中，有96.45%可以通过说估计的模型来解释。第四对回归模型进行异方差性检验：对本模型进行White Heteroskedasticity 检验得到如下结果：White Heteroskedasticity Test:F-statistic1.550726 Probability0.228644Obs*R-squared11.90807 Probability0.218542取显著性水平，由于，所以该函数模型不存在异方差性。第五对回归模型进行自相关性检验：对本模型进行Durbin-Watson检验，由附录表三可以的到该模型的Durb
12、in-Watson stat值为：1.950384。取显著性水平，由于，因此，。因为，所以模型不存在自相关性。经过偏相关系数Correlogram-Q-statistics检验2，发现模型不存在偏相关性。综上所述，经过检验，证明该模型是一个比较好的模型。5.改进的多元非线性回归模型的建立与求解5.1 模型说明 改进的多元线性回归模型基于变量中含有性别这一个定性变量，因此采用分而治之的策略进行建模：分别讨论当性别是男的时候的数学模型以及当性别是女的时候的数学模型，最后把这两个数学模型藉由性别是0-1变量进行组合。5.2 性别为男性的多元非线性回归模型的建立及求解5.2.1性别为男性的多元非线性回
13、归模型的建立 为了建模将附件中性别为0（0为男性）的数据截取出来，总共12组数据。附件1观测序号病痛减轻的时间（分钟）用药剂量（g）性别血压组别135200.3243200.55355200.8726500.3827500.55928500.81319700.31411700.551514700.819131000.32081000.552131000.8表5-1见附录散点图二。假设：病痛减轻的时间为，用药剂量为，性别为，血压为。只是现在的模型暂时不引入变量，模型中只有两个变量。根据多元非线性修正模型的分析，首先建立完整的二次非线性回归模型：5.2.2性别为男性的多元非线性回归模型的求解 使用
14、E-view软件进行求解（求解结果详见附录表四），该模型的方程为： （5.1）首先应当对该模型进行解释变量的显著性检验，取置信度，。因为：在原有模型中剔除，继续对其它解释变量进行回归，软件求解结果详见附录表六。该模型方程为： （5.2）模型(5.2)的拟合图：图5-1依次对该模型进行：1、解释变量显著性检验；2、进行模型显著性检验；3、进行模型的拟合优度检验；4、对回归模型进行异方差性检验；5、对回归模型进行自相关性检验。结论是：1、这个模型解释变量对因变量y的影响是显著的。2、这个模型显著性检验成立。3、模型的拟合优度达98.01%。4、回归模型不存在异方差性。5、回归模型不存在自相关性。5
15、.3 性别为女性的多元非线性回归模型的建立及求解5.3.1性别为女性的多元非线性回归模型的建立假设：病痛减轻的时间为，用药剂量为，性别为，血压为。只是现在的模型暂时不引入变量，模型中只有两个变量。根据多元非线性修正模型的分析，首先建立完整的二次非线性回归模型：5.3.2性别为女性的多元非线性回归模型的求解使用E-view软件进行求解，该模型的方程为： (5.3)经过检验发现解释变量对因变量y的显著性最弱，因此模型考虑剔除。得到一个新的回归模型： （5.4）5.3.3 性别为女性的多元非线性回归模型修正检查该模型(5.4)的残差图：图5-2观察发现：第十一个点是一个异常点，剔除该异常点重新进行回
16、归计算（计算结果见附录表六）。模型的方程为： （5.5）模型(5.5)的拟合图：图5-2依次对该模型进行：1、解释变量显著性检验；2、进行模型显著性检验；3、进行模型的拟合优度检验；4、对回归模型进行异方差性检验；5、对回归模型进行自相关性检验。结论是：1、这个模型解释变量对因变量y的影响是显著的。2、这个模型显著性检验成立。3、模型的拟合优度达95.84%。4、回归模型不存在异方差性。5、回归模型不存在自相关性。5.4 性别为男性和性别为女性的多元非线性回归模型的组合由于性别是定性变量并且是0-1变量，因此可以将性别为男性的多元非线性回归模型与性别为女性的多元非线性回归模型组合在一起，更加具
17、有一般意义。组合数学模型=（1-性别）男生模型+性别女生模型对该组合模型来说，方程是关于用药剂量与血压的二次方程，并且当用药剂量上升时，病痛减轻的时间相应缩短。当性别是男性时：如果，病痛减轻时间会随着的增加而增加；如果时，病痛减轻时间会随着的增加而减少。当性别是女性时：如果病痛减轻时间会随着的增加而增加，如果时，病痛减轻时间会随着的增加而减少。6 基于两模型的预测问题求解该问题要求根据题目所提供数据，即根据不同用药剂量、性别、血压数据来预测不同的病痛减轻的时间。根据所建立的三元非线性回归模型：区分性别的二元非线性回归模型：将题目中的数据带入这两个模型，计算这些数据所对应的不同的病痛减轻时间的点
18、估计以及区间估计7。置信度用药剂量（g)性别血压病痛减轻的时间（分钟）三元非线性修正模型区分性别的二元非线性模型点估计区间估计点估计区间估计10118(2.36,13.4)7(0.33,13.7)70016.15(10.77,21.5)16(11.3,20.7)40028.9(23.5,34.2)27.9(23.2,32.6)31139.8(34.4,45.1)40.2(33.5,46.8)表6-17模型的评价本文对病痛减轻的时间与用药剂量、性别、血压关系的数据统计分析，首先，从简单多元线性回归的建立与分析开始，然后建立三元非线性统计回归模型。其次，根据实际情况，建立区分性别的两个二元非线性回
19、归模型，最终将这两个模型合并为男女多元非线性回归组合模型，以获得更高的拟合优度。依次对该模型进行：1、解释变量显著性检验；2、进行模型显著性检验；3、进行模型的拟合优度检验；4、对回归模型进行异方差性检验；5、对回归模型进行自相关性检验。结论是：1、这个模型解释变量对因变量y的影响是显著的；2、这个模型显著性检验成立；3、男性模型的拟合优度达98.01%，女性模型的拟合优度达95.84%；4、回归模型不存在异方差性；5、回归模型不存在自相关性。最后，利用问题一建立的后两个非线性模型来解决问题二，即对于下面不同人服药的数据，预测出病痛明显减轻的时间，包括点估计和区间估计。得到了较为满意的预测结果
20、。八参考文献1 姜启源等，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。2 赵卫亚，计量经济学教程，上海：上海财经大学出版社，20033 任英华, EViews应用实验教程,长沙：湖南大学出版社，20084 何晓群等，应用回归分析（第二版），北京：中国人民大学出版社，20075 韩明等，数学实验（MATLAB版），上海：同济大学出版社，20096 衷克定，数据统计分析与实践SPSS for Windows，北京：高等教育出版社20057 龚小庆等，概率论与数理统计，杭州：浙江大学出版社，20078 Frank R. Giorano美等著，叶其孝等译，数学建模(第三版)，北京，机械工业出版
21、社，20059 佚名，MATLAB插值与拟合，10 扬启帆等，数学建模，杭州：浙江大学出版社，1999附录：附录1：附件1观测序号病痛减轻的时间（分钟）用药剂量（g）性别血压组别135200.3243200.55355200.8447210.3543210.55657210.8726500.3827500.55928500.81029510.31122510.551229510.81319700.31411700.551514700.81623710.31720710.551822710.819131000.32081000.552131000.822271010.323261010.5524
22、51010.8表一：模型(4.1)的求解结果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresIncluded observations: 24VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C49.148535.7953148.4807360X1()-4.137260.541099-7.6460290X2()5.6666673.155121.7960230.0876X3()-1.57.728433-0.1940890.8481R-squared0.755277 Mean dependent var26.33333A
23、djusted R-squared0.718569 S.D. dependent var14.56818S.E. of regression7.728433 Akaike info criterion7.078701Sum squared resid1194.574 Schwarz criterion7.275043Log likelihood-80.9444 F-statistic20.57504Durbin-Watson stat1.60328 Prob(F-statistic)0.000003图一：模型(4.1)的曲线拟合图散点图一表二: 模型(4.2)的求解结果Dependent Va
24、riable: YMethod: Least SquaresIncluded observations: 24VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C49.7036910.252374.8480210.0002X1()-6.6294121.653519-4.0092760.001X2()-0.3333333.960939-0.0841550.934X3()8.47647133.740970.2512220.8048X4()10.593771.6841540.1116X5()-7.5294121.454433-5.176870.0001X6(
25、)0.5111110.1154084.4287270.0004X7()3229.378111.0892460.2922R-squared0.941063 Mean dependent var26.33333Adjusted R-squared0.915278 S.D. dependent var14.56818S.E. of regression4.240365 Akaike info criterion5.988378Sum squared resid287.6912 Schwarz criterion6.381062Log likelihood-63.86053 F-statistic36
26、.49661Durbin-Watson stat2.185838 Prob(F-statistic)0表三：模型(4.3)的求解结果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresIncluded observations: 23VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C50.09243.60241513.905230X1（）-5.7837321.246345-4.6405560.0002X4（）0.720630.2074563.4736570.0029X5（）-7.7419491.061934-7.290
27、4250X7（）0.4415650.089334.9430670.0001X9（）41.13896.3913066.4366970R-squared0.964487 Mean dependent var26.34783Adjusted R-squared0.954042 S.D. dependent var14.89542S.E. of regression3.193257 Akaike info criterion5.379418Sum squared resid173.3472 Schwarz criterion5.675634Log likelihood-55.86331 F-stati
28、stic92.33931Durbin-Watson stat1.950384 Prob(F-statistic)0图三：模型(4.3)的曲线拟合图散点图二表四：模型(5.1)求解结果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresIncluded observations: 12VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C42.348379.6414254.3923350.0046X1()-4.79511.559081-3.0755930.0218X2()15.3235332.339460.4738340.6
29、524X3()-7.470591.39402-5.3590260.0017X4()0.3555560.1106143.2143710.0183X5()3028.157821.0654230.3277R-squared0.9808 Mean dependent var23.5Adjusted R-squared0.964801 S.D. dependent var15.31784S.E. of regression2.873845 Akaike info criterion5.256032Sum squared resid49.55392 Schwarz criterion5.498485Log
30、 likelihood-25.5362 F-statistic61.30161Durbin-Watson stat1.360848 Prob(F-statistic)0.000045表五：模型(5.2)求解结果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresIncluded observations: 12VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C46.378334.282210.830490X1()-4.8890591.458247-3.3526970.0122X2()-7.2997511.26981-5
31、.7486960.0007X3()0.3555560.1043073.4087260.0113X4()42.778627.6351775.6028340.0008R-squared0.980082 Mean dependent var23.5Adjusted R-squared0.9687 S.D. dependent var15.31784S.E. of regression2.709987 Akaike info criterion5.126102Sum squared resid51.40822 Schwarz criterion5.328146Log likelihood-25.756
32、61 F-statistic86.11047Durbin-Watson stat1.389715 Prob(F-statistic)0.000005表六：模型(5.5)求解结果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresIncluded observations: 11VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C53.98416.154778.7710990.0001X1（）-6.0382062.129018-2.8361460.0297X4（）-8.1515671.801595-4.5246380.00
33、4X5（）0.5349540.1557373.4349720.0139X6（）39.279510.855383.6184360.0111R-squared0.958384 Mean dependent var29.45455Adjusted R-squared0.930641 S.D. dependent var14.48008S.E. of regression3.813501 Akaike info criterion5.817928Sum squared resid87.25674 Schwarz criterion5.998789Log likelihood-26.9986 F-sta
34、tistic34.5441Durbin-Watson stat1.994318 Prob(F-statistic)0.000279非线性回归模型求解问题二，matlab程序一function yuce1clc;clear;y= 35,43,55,47,43,57,26,27,28,29,22,29,19,11,14,23,20,22,13, 8, 3,27, 5;x1=2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,7 ,7 ,7 ,7 ,7 ,7 ,10,10,10,10,10;x2=0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,
35、0 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ;x3=0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.8;x4=x1.*x2;x5=x1.*x3;x6=x1.2;x7=x3.2;n=23;m=5;sum=0;X=ones(n,1),x1,x1.*x2,x1.*x3,x1.2,x3.2;b,bint,r,rint,s = regress(y,X,0.05);for i=1:23 a(i)=b(1)+b(2)*x1(i)+b(3)*x4(i)+b(
36、4)*x5(i)+b(5)*x6(i)+b(6)*x7(i); c(i)=(a(i)-y(i)2; sum=sum+c(i);end;q=(sum/(n-m)0.5;disp(请分别输入用药量、性别（0表示男，1表示女）、血压值：);x11=input(用药量:);x22=input(性别（0表示男，1表示女）:);x33=input(血压值:); model=b(1)+b(2)*x11+b(3)*x11*x22+b(4)*x11*x33+b(5)*x11*x11+b(6)*x33*x33; fprintf(病痛减缓预计时间为:%f（min）,model);cha=1.734*q;min=mo
37、del-cha;max=model+cha; fprintf(病痛减缓时间为:%f到%f之间（min）n,min,max);当性别为男性时，二元非线性模型求解问题二，matlab程序二function yuce2clc;clear;y= 35,43,55,26,27,28,19,11,14,13, 8, 3;x1=2 ,2 ,2 ,5 ,5 ,5 ,7 ,7 ,7 ,10,10,10;x3=0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8;x5=x1.*x3;x6=x1.2;x7=x3.2;n=12;m=4;sum=0;X=ones(n,1
38、),x1,x5,x6,x7;b,bint,r,rint,s = regress(y,X,0.05);for i=1:n a(i)=b(1)+b(2)*x1(i)+b(3)*x5(i)+b(4)*x6(i)+b(5)*x7(i); c(i)=(a(i)-y(i)2; sum=sum+c(i);end;q=(sum/(n-m)0.5;disp(请分别输入用药量、血压值：);x11=input(用药量:);x33=input(血压值:); model=b(1)+b(2)*x11+b(3)*x11*x33+b(4)*x112+b(5)*x332; fprintf(病痛减缓预计时间为:%f（min）,m
39、odel);cha=1.860*q;min=model-cha;max=model+cha; fprintf(病痛减缓时间为:%f到%f之间（min）n,min,max);当性别为女性时，二元非线性模型求解问题二，matlab程序三function yuce3clc;clear;y= 47 ,43 ,57,29,22,29,23,20,22,27,5;x1=2 ,2 ,2 ,5 ,5 ,5 ,7 ,7 ,7 ,10,10;x3=0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.55,0.8,0.3,0.8;x5=x1.*x3;x6=x1.2;x7=x3.2;n=11;m=4;su
40、m=0;X=ones(n,1),x1,x5,x6,x7;b,bint,r,rint,s = regress(y,X,0.05);for i=1:n a(i)=b(1)+b(2)*x1(i)+b(3)*x5(i)+b(4)*x6(i)+b(5)*x7(i); c(i)=(a(i)-y(i)2; sum=sum+c(i);end;q=(sum/(n-m)0.5;disp(请分别输入用药量、血压值：);x11=input(用药量:);x33=input(血压值:);model=b(1)+b(2)*x11+b(3)*x11*x33+b(4)*x112+b(5)*x332; fprintf(病痛减缓预计时间为:%f（min）,model);cha=1.895*q;min=model-cha;max=model+cha; fprintf(病痛减缓时间为:%f到%f之间（min）n,min,max);
