数学建模论文一流感疫苗接种的数学模型.doc

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1、2009-2010第二学期数学模型 期末考试承 诺 书我完全明白，在期末考试不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与题有关的问题。我知道，抄袭别人的成果是违反考试规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我郑重承诺，严格遵守考试规则，以保证考试的公正、公平性。如有违反考试规则的行为，我将受到严肃处理。专业名称 ： 1. 数学与应用数学 考试题目 ： 2. 流感疫苗接种问题 姓名 (打印并签名) ：3. 班级： 4. 2008级1班 学号： 5. 成绩： 6. 日期： 2

2、010 年 06月 05 日 目录零 封面. . . .1一流感疫苗接种的数学模型. .2 1. 摘要 . .2 2. 问题的重述. .2 3. 问题的分析. .2 4. 详细设计. .4 4.1 初等数学模型. . .44.2 房室模型模型的建立. . . . . .9 5. 模型检验. .17二 总结. .22三 参考文献. . . . . . . . . . . . . . .22 一流感疫苗接种的数学模型1摘要本文通过初等数学模型，病毒指数增长模型，Logistic模型，SIS模型，SIR模型，随机房室模型分析菌种1、2的感染人数，计算相应的疫苗接种人数和患病人数，通过模型间的对比找出

3、用尽可能少的疫苗预防尽可能多的人数。对病毒指数模型只作定性分析，重点讨论:初等数学模型，随机房室模型，SIS模型，SIR模型。关键词：流感病毒菌种指数生长模型 随机房室模型 SIS模型 SIR模型 Logistic模型2问题的重述流感病毒有两种菌种，现已研制成两种疫苗。疫苗1对菌种1有85的预防效果，对菌种2有70的预防效果；疫苗2对菌种1有60的预防效果，对菌种2有90的预防效果。两种疫苗不能在一个人身上同时使用。(1)为使尽可能多的居民具有免疫力，需要进一步了解那些信息？(2)为使尽可能多的居民具有免疫力，应采取何种接种疫苗的策略？(3)在采取你所推荐的策略的情况下，估计有多少居民具有免疫

4、力(平均的估计和最坏情况的估计）。3问题的分析问题1：针对问题1主要从以下3方面进行：（1） 菌种角度：1、菌种的传播方式2、菌种的传播能力3、菌种的首次感染率4、菌种的生长方式5、菌种的致死率6、菌种的交叉感染率7、菌种的再次感染能力（2） 疫苗角度：1、疫苗的预防能力菌种12疫苗10.850.720.60.9 2.、疫苗的数量3、疫苗的接种限制4、疫苗的价格5、疫苗的有效期（3） 地区角度：1、该地区的总人口数2、初始时刻感染人数3、地区的预防效率4、每人感染后的接触人数5、每种菌种的治愈可能问题2:“民具有免疫力，应采取何种接种疫苗的策略”采用模型对比法找出最佳接种策略，免疫人数P=P1

5、接种疫苗人数-P2接种疫苗后患病人数，为使P尽可能的大可以使P1尽可能的大P2尽可能的小，但在实际接种过程中考虑人力和财力因素不可能使接种疫苗的人数无限制的多，反而是在高效的前提下尽可能得节约疫苗对人力财力和居民健康也有好处，这里采取的接种方式是对感染者周围的一定人群接种，对其余人群均不接种疫苗，所以对疫苗的接种数和有效性是问题2的关键。问题3： “在采取你所推荐的策略的情况下，估计有多少居民具有免疫力(平均的估计和最坏情况的估计” 。通过相关参数的不同设置拟合出平均和最坏情况4详细设计符号说明：P表示感染或患病人数 N表示该地区总人口 n表示菌种感染者接触的人数 t表示时间 K表示某些比例系

6、数 c表示菌种致死率 m表示疫苗不能接种的人数比例4.1初等数学模型 模型1 设t时刻的病人数X（t）是连续可微函数，设每人接触的人数是n, 从 t到t+t时刻病人人数的增加，X(t+t)- X（t）=n *X（t）*t 设初始时刻有X。,得微分方程dx/dt=n*x,x(0)= X。解得X（t）=n*exp(n*t),病人数呈指数增长不符合实际情况，根据 SIS模型 SIR模型 Logistic模型 理论感染人数不可能无限制的增长，如下图所示。针对疫苗接种情形通常在病情初发期进行的，所以可以将病人数看做指数型增长对菌种1、2建立不同的指数接触人数增长模型：P1t、P2t表示t时刻人数，在从

7、t到t+t时刻可能感染菌种1的病人人数的增加为P1(t+t)- P1t=n1* P1t*t , P1t(0)=P10得 解得P1t=P01*exp(n1*t) 除去原始感染菌种1人数剩下的就是被接触人数，也就是需要接种疫苗的目标人数将P1t修正为P1t=P01*exp(n1*t)-P01在从 t到t+t时刻可能感染菌种2的病人人数的增加为P2(t+t)- P2t=n2* P2t*t , P2t(0)=P20得 解得P2t=P02*exp(n2*t) 除去原始感染菌种2人数剩下的就是被接触人数，也就是需要接种疫苗的目标人数将P2t修正为P2t=P02*exp(n2*t)-P02由于菌种1、2均有

8、致死率c1、c2，还要在感染的基础上除去死亡人数则菌种1在t时刻的感染人数：P1t=P01*exp(n1*t) （1-c1）。.菌种2在t时刻的感染人数为：P2t=P02*exp(n2*t)(1-c2)。.若采用疫苗1接种具有免疫力的人数P1=P1t*0.85+P2t*0.7。 若采用疫苗2接种具有免疫力的人数P2=P1t*0.6+p2t*0.9。. 比较P1 、P2的大小就可以得到采用哪种疫苗作为接种策略。在实际接种中常常采用不同疫苗针对不同菌种的接种方法，因此模型的接种策略需要修正。模型2对模型进行修正：菌种12疫苗10.850.720.60.9疫苗1、2针对菌种的预防能力由上表可知对菌种

9、1采用疫苗1接种最高效啊，对菌种2采用疫苗2接种最高效。因此对模型一的进行修正得到新的免疫人数：P=P1t*0.85+P2t*0.9。在实际疫苗接种工作每种疫苗都有不能接种的人群，在这里假设疫苗不能接种的人数比例为m1,疫苗2不能接种的人数比例为m2因此对还需啊哟修正：P= P1t(1-m10*0.85+P2t（1-m2）*0.9。带入各项数据得：P= P01*exp(n1*t)（1-c1）(1-m1)*0.85+ P02*exp(n2*t)(1-c2)（1-m2）*0.9。采用C语言编程：#include(math.h)#include(stdio.h)Void mian()double n

10、1,n2,c1,c2,m1,m2;/*定义疫苗感染者的接触人数n，菌种的致死率c，疫苗不能接种的人群比例m*/ Int t； /*定义时间*/Double P1t,P2t;/*t时刻防疫菌种1、2的人数*/Double p;/*最后的防疫总人数*/Int P01，P02;/*定义初始时刻的菌种感染人数*/Double P1t,P2t;；/*定义菌种1。2在t时刻的感染人数*/Printf(“please input t:n”);Scanf(“%f”,&t);/*录入时间*/Printf(“请输入初始时刻感染各菌种的人数n”);Scanf(“%f，%f”,&Tp01,&P02);/*录入初始感染

11、是、人数*/Printf(“请输入菌种1、2的致死率：n”);Scanf(“%f,%f”,&c1,&c2);/*录入菌种死亡率*/Printf(“录入两种疫苗不能接种人群的接种比例:n”)；Scanf(“%f”,&t);/*录入不适接种的人群比例数*/Printf(“please input t:n”);Scanf(“%f”,&t);/*录入时间*/Printf(“please input t:n”);Scanf(“%f”,&t);/*录入时间*/P1t= P01*exp(n1*t)（1-c1）(1-m1)*0.85;P2t=P02*exp(n2*t)(1-c2)（1-m2）*0.9；P=P1

12、t+P2t;Printf(%f,%f,%fn”; P1t, P2t,P);/*输出具有较强防疫菌种1和2的人数及总的防疫人数*/初等数学模型过于简单理想化，而有效数据得获得不易且不精确，所以存在较大的缺陷。所以考虑建立新的模型。4.2 新模型的建立 模型3 房室模型 房室模型(Compannlent Model)是药物动力学研究上述动态过程的基本步骤之一所谓房室是指机体的一部分，药物在一个房室内呈均匀分布，即血药浓度是常数，而在不同房室之间则按照一定规律进行药物的转移一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸收、分布、排除过程的具体情况，以及研究对象所要求的精度而定这里只讨论二室模型，即将感染病毒

13、的人群为中心室，接触感染者的人群为室二室模型的建立和求解方法可以推广到多室模型显然，将人群分为若干房室是为了研究目的所做的简化值得庆幸的是，这种简化在一定条下已由临床试验证明是正确的SIS模型 菌种1的SIS模型的建立 可以写出两个房室人数x11(t),x12(t)满足的微分方程11(t)的变化率由I室向室的转移-k12，I室系统外的排除率，室向I室的转移是k11x1组成；x12(t)的变化率由I室向室的转移k12x及室向I室的转移-k11*x2组在此处接触菌种的人数采用初等数学模型中的指数增长数据 室 室列方程：x11(t)=-k12*x11-k13*x11+k11*x12 X12(t)=x

14、10*exp（n1t）+k12*x11解线性方程得： X11(t)=K11/(1+k12+k13-k11*k12)*x10*exp(n1*t); X12(t)=(1+k12+k13)/(1+k12+k13-k11*k12)*x10*exp(n1*t)其中康复速率k12,k13死亡速率由数据拟合时给出，采用疫苗1接种人数为：K11=（接种人数-接种成功人数）/接种人数=（1-0.85）/1=0.15P11= X12(t)由于疫苗1针对某些人群比例不能接种比例为m1所以p11修正为p11修正为P11= X12(t)（1-m1）而其中疫苗1的成功率为0.85所以p11再次修正为P11= X12(t)

15、（1-m1）*0.85#include#includeVoid main() double k11，k12，k13;/* 定义菌种一的患病率，康复率，死亡率*/Double p11；/*定义具有免疫力人数变量*/Double x12(t),x11(t);/*定义t时刻的接触人数和感染人数*/ Int t； /*定义时间*/Double x11(t),x12(t)；/*定义菌种1在t时刻的感染和接触人数*/Printf(“please input t:n”);/*请输入时间*/Scanf(“%f”,&t);Printf(“请输入菌种感染者的接触人数:n”);/*请输入可接触者*/Scanf(“%

16、f”,&n1);/* */Printf(“请输入初始感染菌种1的人数：n”);Scanf(“%f ”,&x01 );/*录入初始感染人数*/Printf(“请输入菌种1康复率：n”);Scanf(“%f”,&k12);/*录入菌种康复率*/Printf(“录入两种疫苗1不能接种人群的接种比例:n”)；Scanf(“%f”,&m1);/*录入不适接种的人群比例数*/Printf(“please input t:n”);Scanf(“%f”,&t);/*录入时间*/X11(t)=K11/(1+k12+k13-k11*k12)*x10*exp(n1*t);X12(t)=(1+k12+k13)/(1+

17、k12+k13-k11*k12)*x10*exp(n1*t);P11= X12(t)（1-m1）*0.85;Printf(%f,%f,%fn”,x11(t),x12(t),p11);/*输出感染菌种1的人数和接触者和具有免疫力的人数 */菌种2的SIS模型的建立 可以写出两个房室人数x21(t),x22(t)满足的微分方程X21(t)的变化率由I室向室的转移-k21，I室系统外的排除率k23*x1，室向I室的转移是k22x1组成；x12(t)的变化率由I室向室的转移k12x及室向I室的转移组在此处接触菌种的人数采用初等数学模型中的指数增长数据 室 室列方程：x21(t)=-k22*x21-k2

18、3*x21+k21*x22 X22(t)=x10*exp（n1t）+k22*x21解线性方程得; X21(t)=K21/(1+k22+k23-k21*k22)*x10*exp(n2*t); X12(t)=(1+k22+k23)/(1+k22+k23-k21*k22)*x10*exp(n2*t)其中康复速率k22,k23死亡速率由数据拟合时给出而K21=（患病人数-接种成功人数）/接种人数=（1-0.9）/1=0.1菌种2接种的人群数为x22(t)，综合考虑疫苗的不能接种人群和成功率得具有免疫力的人数p12=x22(t)*（1-m2）*0.9#include#includeVoid main()

19、 double k21，k22，k23;/* 定义菌种2的患病率，康复率，死亡率*/Double p12；/*定义具有免疫力人数变量*/Int t； /*定义时间*/Double x21(t),x22(t)；/*定义菌种1在t时刻的感染和接触人数*/Printf(“please input t:n”);/*请输入时间*/Scanf(“%f”,&t);Printf(“请输入菌种感染者的接触人数:n”);/*请输入可接触者*/Scanf(“%f”,&n2);/* */Printf(“请输入初始感染菌种2的人数：n”);Scanf(“%f ”,&x02 );/*录入初始感染人数*/Printf(“请

20、输入菌种2康复率：n”);Scanf(“%f”,&k22);/*录入菌种2康复率*/Printf(“录入两种疫苗2不能接种人群的接种比例:n”)；Scanf(“%f”,&m2);/*录入不适接种的人群比例数*/Printf(“please input t:n”);Scanf(“%f”,&t);/*录入时间*/X21(t)=K21/(1+k22+k23-k21*k22)*x10*exp(n2*t);X12(t)=(1+k22+k23)/(1+k22+k23-k21*k22)*x10*exp(n2*t);P11= X12(t)（1-m1）*0.85;Printf(%f,%f,%fn”,x21(t)

21、,x22(t),p12);/*输出感染菌种2的人数和接触者和具有免疫力的人数 */SIS模型中考虑的是流感治愈后无再次预防能力，即患病人群康复后成为健康人群后和没患过病的人群一样不具有抗病性。在实际生活中有很多病患是人患病后是具有抗病能力的，这就是下面的SIR模型。SIR模型在实际生活中有很多病患是人患病后是具有抗病能力的，也就是感染菌种治愈后该类人群就退出系统了，这就是下面的SIR模型。模型的假设 1人群分为中心室(室)和周边室(室)；2人从一室向另一室的转移速率，及向室外的排除速率；3只有中心室与系统外有人数交换，即死亡人和康复人群退出系统 菌种1的SIR模型的建立 根据假设条件和上图可以

22、写出两个房室人数满足的微分方程的变化率由I室系统外的排除率，室向I室的转移是k11x1组成；x12(t)的变化率由I室向室的转移k12x及室向I室的转移，室向系统外输送康复人群k12*x1在此处接触菌种的人数采用初等数学模型中的指数增长数据 模型。 室 室列方程：x11(t)=-k12*x11-k13*x11+k11*x12 X12(t)=x10*exp（n1*t）解线性方程得： X11(t)=K11/(1+k12+k13)*x10*exp(n1*t); X12(t)= x10*exp（n1*t）其中康复速率k12,k13死亡速率由数据拟合时给出K11=（接种人数-接种成功人数）/接种人数=（

23、1-0.85）/1=0.15综合此模型和疫苗1的不能接种人群和成功率得在此模型中具有免疫力的人数为p21=x12(t)*（1-m1）*0.85#include#includeVoid main() double k11，k12，k13;/* 定义菌种一的患病率，康复率，死亡率*/Double p21；/*定义具有免疫力人数变量*/Double x12(t),x11(t);/*定义t时刻的接触人数和感染人数*/ Int t； /*定义时间*/Double x11(t),x12(t)；/*定义菌种1在t时刻的感染和接触人数*/Printf(“please input t:n”);/*请输入时间*/

24、Scanf(“%f”,&t);Printf(“请输入菌种感染者的接触人数:n”);/*请输入可接触者*/Scanf(“%f”,&n1);/* */Printf(“请输入初始感染菌种1的人数：n”);Scanf(“%f ”,&x01 );/*录入初始感染人数*/Printf(“请输入菌种1康复率：n”);Scanf(“%f”,&k12);/*录入菌种康复率*/Printf(“录入两种疫苗1不能接种人群的接种比例:n”)；Scanf(“%f”,&m1);/*录入不适接种的人群比例数*/Printf(“please input t:n”);Scanf(“%f”,&t);/*录入时间*/X11(t)=

25、K11/(1+k12+k13)*x10*exp(n1*t); X12(t)= x10*exp（n1*t）;p21=x12(t)*（1-m1）*0.85Printf(%f,%f,%fn”,x11(t),x12(t),p21);/*输出感染菌种1的人数和接触者和具有免疫力的人数 */菌种2的SIR模型的建立 2可以写出两个房室人数X21(T),X22(T)满足的微分方程X21(t)的变化率由I室系统外的排除率k23*x21，室向I室的转移是k21x1,向系统外输送康复人数k13*x21组成；x12(t)的变化率由I室向室的转移k12x及室向I室的转移，室向系统外输送康复人群k12*x1在此处接触菌

26、种的人数采用初等数学模型中的指数增长数据 模型。 室 室列方程：x21(t)=-k22*x21-k23*x21+k21*x22 X22(t)=x10*exp（n2*t）解线性方程得; X21(t)=K21/(1+k22+k23)*x20*exp(n2*t); X22(t)= x20*exp（n2*t）其中康复速率k22,k23死亡速率由数据拟合时给出K21=（接种人数-接种成功人数）/接种人数=（1-0.9）/1=0.1综合此模型和疫苗2的不能接种人群和成功率得在此模型中具有免疫力的人数为p22=x22(t)*（1-m2）*0.9采用C语言编程：#include#includeVoid mai

27、n() double k21，k22，k23;/* 定义菌种2的患病率，康复率，死亡率*/Double p22；/*定义具有免疫力人数变量*/Int t； /*定义时间*/Double x21(t),x22(t)；/*定义菌种1在t时刻的感染和接触人数*/Printf(“please input t:n”);/*请输入时间*/Scanf(“%f”,&t);Printf(“请输入菌种感染者的接触人数:n”);/*请输入可接触者*/Scanf(“%f”,&n2);/* */Printf(“请输入初始感染菌种2的人数：n”);Scanf(“%f ”,&x02 );/*录入初始感染人数*/Printf

28、(“请输入菌种2康复率：n”);Scanf(“%f”,&k22);/*录入菌种2康复率*/Printf(“录入两种疫苗2不能接种人群的接种比例:n”)；Scanf(“%f”,&m2);/*录入不适接种的人群比例数*/Printf(“please input t:n”);Scanf(“%f”,&t);/*录入时间*/X21(t)=K21/(1+k22+k23)*x20*exp(n2*t); X22(t)= x20*exp（n2*t）;P11= X12(t)（1-m1）*0.85;p22=x22(t)*（1-m2）*0.9Printf(%f,%f,%fn”,x21(t),x22(t),p22);/

29、*输出感染菌种2的人数和接触者和具有免疫力的人数 */5.模型检验初等模型：P= P01*exp(n1*t)（1-c1）(1-m1)*0.85+ P02*exp(n2*t)(1-c2)（1-m2）*0.9（注：初等数学模型是SIS型，即考虑患者治愈后无免疫力）房室检验： 1)SIS模型: 菌种1的SIS模型: X11(t)=K11/(1+k12+k13-k11*k12)*x10*exp(n1*t); X12(t)=(1+k12+k13)/(1+k12+k13-k11*k12)*x10*exp(n1*t)P11= X12(t)（1-m1）*0.85 =(1+k12+k13)/(1+k12+k13

30、-k11*k12)*x10*exp(n1*t) （1-m1）*0.85=17.4872294*exp（10t） 菌2的SIS模型: X21(t)=K21/(1+k22+k23-k21*k22)*x10*exp(n2*t); X22(t)=(1+k22+k23)/(1+k22+k23-k21*k22)*x10*exp(n2*t)p12=x22(t)*（1-m2）*0.9=(1+k22+k23)/(1+k22+k23-k21*k22)*x10*exp(n2*t) *（1-m2）*0.9SIS模型的总免疫人数P(SIS)=P11+P12=17.4872294*exp（10t）2)SIR模型: 菌种1

31、的SIR模型: X11(t)=K11/(1+k12+k13)*x10*exp(n1*t); X12(t)= x10*exp（n1*t）p21=x12(t)*（1-m1）*0.85= x10*exp（n1*t）*（1-m1）*0.85 菌种1的SIR模型: X21(t)=K21/(1+k22+k23)*x20*exp(n2*t); X22(t)= x20*exp（n2*t）p22=x22(t)*（1-m2）*0.9= x20*exp（n2*t）)*（1-m2）*0.9 SIR模型的总免疫人数P(SIS)=P21+P22检验： 设某地区初始时刻感染菌种1.、2的人数为p01=x01=10, p02

32、=x02=20 感染菌种1、2的接触的人数n1=n2=4 菌种1的致死率c1=k13=0.00105，菌种的致死率c2=k23=0.00100 疫苗1的不能接种的人群比例m1=k12=0.00100 疫苗2的不能接种的人群比例m2=k22=0.00105 K11=（接种人数-接种成功人数）/接种人数=（1-0.85）/1=0.15K21=（患病人数-接种成功人数）/接种人数=（1-0.9）/1=0.1设时间t的单位是0.5天计量取10天初等模型：P= P01*exp(n1*t)（1-c1）(1-m1)*0.85+ P02*exp(n2*t)(1-c2)（1-m2）*0.9 =18.321317

33、9*exp(4*t)房室模型：SIS模型的总免疫人数P(SIS)=P11+P12=(1+k12+k13)/(1+k12+k13-k11*k12)*x10*exp(n1*t)（1-m1）*0.85+(1+k22+k23)/(1+k22+k23-k21*k22)*x10*exp(n2*t) *（1-m2）*0.9=17.4872294*exp(4*t)SIR模型的总免疫人数P(SIS)=P21+P22= x10*exp（n1*t）*（1-m1）*0.85+ x20*exp（n2*t）)*（1-m2）*0.9=17.4821*exp(4*t)在此检验中区疫情100天就就是t=2400h;初等数学模型

34、：程序为：t=0:0.25:10;y=18.3213179*exp(4*t)subplot(122);plot(t,y);title(流感疫苗接种问题初等数学模型（刘学江）);xlabel(t的取值范围为0-10);ylabel(y=18.3213179*exp(4*t)采用matlab画图得：房室SIS模型：程序为：t=0:0.25:10;y=17.4872294*exp(4*t)subplot(122);plot(t,y);title(流感疫苗接种问题房室SIS数学模型（刘学江）);xlabel(t的取值范围为0-10);ylabel(17.4872294*exp(4*t)绘图得：房室SI

35、R模型：t=0:0.25:10;y=17.4821*exp(4*t)subplot(122);plot(t,y);title(流感疫苗接种问题房室SIR数学模型（刘学江）);xlabel(t的取值范围为0-10);ylabel( y=17.4821*exp(4*t)绘图得：综合以上模型图新像可知，总体具有免疫力的人数增长明显快于流感增长速度，所以可以乐观估计疫苗接种策略为有效。平均估计是就是将菌种得传播率，死亡率，以及康复率接近流感的平均水平，而最坏估计就是将这些参数设置到最坏得请况，如设置成SARS得参数。四 总结对流感疫苗接种的数学模型改进与推广：(1)上面提到的模型都没有考虑疫苗的生存周

36、期，都认为在研究期间疫苗有效，而实际情况有可能疫苗的有效期很短(2)模型都采用的是病毒指数增长模式，而在实际中菌种生长方式可能会改变（3）模型都只考虑了菌种是接触式感染，而很多菌种都可以依靠其他媒介传播（4）我们三个模型的方法都比较常用，易理解，可以在很多方面进行推广使用，如经典的房室模型。(3)从以上三个模型的建立过程看，考虑问题的全面性，模型的成熟性，结果准确性等方面不全面。在建模过程中也遇到了一系列困难，缺乏详尽的疫情实际统计数据，缺少详细的流行病学方面的资料，很多参数的确定没有经验概念，只能通过定性分析，简单假设，几乎可以说没有数据支撑。时间和能力的有限性，使得不能对多个地域进行分析。五 参考文献2.流感疫苗接种的数学模型的参考文献： 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2003年11月第8版