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1、第1课时 矩形及其性质,华师大版 八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形,19.1 矩形,1,课堂讲解,矩形的定义矩形的边角性质矩形的对角线性质,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,什么是平行四边形？平行四边形都有哪些性质？,1,知识点,矩形的定义,知1导,如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上并轻轻推动，你会发现 什么？,（来自教材）,知1讲,定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形注意：(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平 行四边形不一定是矩形(2)矩形必须具备两个条件：它是一个平行四边形；它有一个角是直角，这两个条件缺一不可,知1讲,例1
2、,下列说法正确的是()A平行四边形是矩形 B矩形不一定是平行四边形C有一个角是直角的四边形是矩形D平行四边形具有的性质矩形都具有,D,1如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是()AABCD BADBC CAOB45 DABC90,知1练,2(中考南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是()A四边形ABCD由矩形变为平行四边形BBD的长度增大C四边形ABCD的面积不变D四边形ABCD的周长不变,知1练,2,知识点,矩形的边角性质
3、,知2讲,性质：(1)矩形的四个角都是直角(2)矩形具有平行四边形的所有性质(3)矩形是轴对称图形，如图所示，邻边不相等的矩形有两条对称轴.,知2讲,要点精析：(1)从边看：对边平行且相等；(2)从角看：四个角都是直角；(3)对称性：是中心对称图形，也是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴；(4)面积：矩形的面积长宽；矩形的面积被对角线分成的四个等面积的小三角形面积之和，注：这四个小三角形是两对全等的等腰三角形,知2讲,例2,如图，在矩形ABCD中，AB 3，BC 4，BEAC，垂足为点 E.试求BE 的长.,在矩形ABCD中，ABC 90，,（来自教材）,解：,又SABC,1如图，在矩形
4、ABCD中，E是AD边上的一点.试说明BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.,知2练,（来自教材）,知2练,2(中考吉林)如图，在矩形ABCD中，AB6 cm，点E，F分别是边BC，AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C，D处若CEAD，则EF的长为_cm.,知2练,3如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且ADDE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论中不正确的是()AAOBBOC BBOCEODCAODEOD DAODBOC,3,知识点,矩形的对角线性质,知3讲,矩形的性质定理 2 矩形的对角线相等.,（来自教材）,知3讲,例3,如图，矩形ABCD
5、被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形周长的和是86 cm,矩形的对角线长是13 cm，那么该矩形的周长是多少？,（来自教材）,AOB、BOC、COD和AOD四个小三角形周长的和为86 cm.ABBCCDDA2(OAOBOCOD)ABBCCDDA2(ACBD)86.又ACBD13(矩形的对角线相等)，ABBCCDDA862(ACBD)8641334(cm),即矩形ABCD的周长等于34 cm.,解：,知3讲,（来自教材）,知3讲,例4,如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD15 cm.求AC、AB的长.,（来自教材）,四边形ABCD
6、是矩形，ACBD15(矩形的对角线相等)，AO AC7.5.AE垂直平分BO，ABAO7.5.即AC的长为15 cm，AB的长为7.5 cm.,解：,知3讲,例5,如图，在矩形ABCD(ABAD)中，AOB与AOD的周长的差为2 cm，和为34 cm，两条对角线长的和为20 cm，求矩形的周长和面积,知3讲,要求矩形的周长和面积，只需求出矩形的一组邻边的长即可由ABO和ADO的周长之差为2 cm，可得ABAD2 cm.矩形的对角线相等且互相平分，且两条对角线长之和为20 cm，AO5 cm.又ABO和ADO的周长之和为34 cm，可得ADAB14 cm，从而求出AD，AB的长，故可求出矩形的周
7、长和面积,导引：,知3讲,由题意得ACBD，AOCO AC，OBOD BD，OAOBOCOD AC.ACBD20 cm，ACBD10 cm，AO5 cm.ABAOOBADAODO34 cm，ABAD2AOBD34 cm，ABAD14 cm.又(ABAOBO)(ADAODO)2 cm，ABAD2 cm，AB8 cm，AD6 cm，矩形ABCD的周长为2(86)28(cm)，矩形ABCD的面积为8648(cm2),解：,本题利用了矩形的性质“对角线相等且互相平分”同时，在矩形被对角线分得的四个三角形中，相邻两个三角形的周长之差等于邻边长之差,总 结,知3讲,1如图，在矩形ABCD中，对角线AC与B
8、D相交于点O试找出图中相等的线段与相等的角.2如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD120.求证AC2AB.,知3练,（来自教材）,知3练,3如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的()A.B.C.D.,1.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相等2.矩形的对角线将矩形分为两对全等的等腰三角形在解题的时候常用等腰三角形的性质3.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴,1.必做:完成教材P100练习T3，P101练习T2-32.补充:请完成典中点剩余部分习题,第2课
9、时 矩形的判定,19.1 矩 形,第19章 矩形、菱形与正方形,1,课堂讲解,由直角的个数判定矩形由对角线的关系判定矩形,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是否是矩形.除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢?矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质：1.四个角都是直角；2.两条对角线相等.这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示?,1,知识点,由直角的个数判定矩形,知1讲,矩形的判定：方法一(定义判定)：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法二(角判定)：有三个角是直角的四边形是矩形；,知
10、1讲,易错警示：用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角，二是四边形是平行四边形也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形,知1讲,例1,如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD 的中点.求证:四边形BMDN是矩形.,（来自教材）,分析：,由已知条件，可知BNAD，DMBC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.,知1讲,证明：,ABD和BCD是全等的正三角形，ADBCDB60.又M、N分别为BC、AD的中点，BNAD，DMBC，B
11、DM30，DNBDMB90，MDNADBBDM90,四边形BMDN是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).,（来自教材）,知1讲,例2,如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形,导引：,要证明四边形EFGH是矩形，由于已知ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明,知1讲,ABCD，ABCBCD180.BG平分ABC，CG平分BCD，GBCGCB 18090，BGC90.同理可得AFBAED90.GFEFEHFGH90.四边形EFGH是矩形,证明：,本题目中的图形是建立在平行四边形基础上，
12、而条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来判定矩形,总 结,知1讲,1如图，AB、CD是O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论.,知1练,（来自教材）,2在 ABCD中，增加下列条件中的一个，就能判定它是矩形的是()AAC180 BABBCCACBD DAC2AB,知1练,3数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形下面是某合作小组的4位同学给出的方案，其中正确的是()A测量对角线是否互相平分B测量两组对边是否分别相等C测量一组对角是否都为直角D测量三个角是否都为直角,知1练,2,知识点,由对角线的关系判定矩形,知2讲,矩形的判定：方法三(对角线判定)：对角线相等的平行
13、四边形是矩形；或对角线相等且互相平分的四边形是矩形要点精析：(1)矩形的判定与性质是互逆定理；(2)判定矩形的常见思路如图：,知2讲,易错警示：用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是四边形是平行四边形也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形,知2讲,例3,如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AEBFCGDH.求证：四边形EFGH是矩形.,根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证.,分
14、析：,（来自教材）,知2讲,四边形ABCD是矩形，AOBOCODO.AEBFCGDH,OEOFOGOH，四边形EFGH是平行四边形.EOOGFOOH，即EGFH，四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).,证明：,知2讲,例4,如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AG是ABC的外角FAC的平分线，DEAB，交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形.,根据已知条件ABAC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DEABAC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.,分析：,（来自教材）,知2讲,ABAC，ADBC，BACB，BDDC.又AE
15、是ABC的外角CAF的平分线，1 CAF(BACB)B，AEBC.又ABDE，四边形ABDE是平行四边形，AEBD，ABDE，ACDE，AEDC.又AEDC，四边形ADCE是平行四边形，四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形）.,证明：,知2讲,例5,探究题如图，在矩形ABCD中，AB2，BC5，E、P分别在AD、BC上，且DEBP1，AP，BE相交于点H，CE，DP相交于点F.(1)判断BEC的形状，并说明理由；(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的判断,知2讲,根据矩形性质得出CD2，AD5，根据勾股定理求出CE和BE，进而求出CE2BE2，BC2，根据勾股定理的
16、逆定理即可判断BEC的形状；,导引：,(1)判断BEC的形状，并说明理由；,知2讲,(1)BEC是直角三角形理由：四边形ABCD是矩形，ADCEAB90，ADBC5，CDAB2，由勾股定理得：CE同理BE，CE2BE252025.BC25225，BE2CE2BC2，BEC90，BEC是直角三角形,解：,知2讲,根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出四边形DEBP和四边形AECP均为平行四边形，进而推出四边形EFPH为平行四边形，根据矩形的判定即可得出结论,导引：,(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的判断,知2讲,(2)四边形EFPH为矩形 四边形ABCD是矩形，ADBC，ADB
17、C.DEBP，DEBP，四边形DEBP是平行四边形，BEDP.ADBC，ADBC，DEBP，AECP，AECP，四边形AECP是平行四边形，APCE，四边形EFPH是平行四边形 BEC90，平行四边形EFPH是矩形,解：,证明：,本题综合考查了勾股定理及其逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定等知识，主要培养学生分析问题和解决问题的能力,总 结,知2讲,1如图，将 ABCD的边DC延长到点E使CEDC，连结AE，交BC于点F，AFC2D，连结AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.,知2练,（来自教材）,知2练,2下列四边形：对角线互相平分的四边形；对角线相等的四边形；对角线相等的平行四边形；对
18、角线互相平分且相等的四边形其中一定是矩形的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个,知2练,3在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是()AABAD BOAOBCACBD DDCBC,知2练,4对于四边形ABCD，给出下列6组条件：A90，BCD；AB90，CD；ABCD；ABC90；ACBD；ABCD，ADBC.其中能得到“四边形ABCD是矩形”的有()A1组 B2组 C3组 D4组,判定定理1,平行四边形的判定,有一个角是直角(定义),对角线互相平分且相等,四边形,判定定理2,(有三个角是直角),(对角线相等),1.必做:完成教材P10
19、4练习T2-3，P106练习T1-2 2.补充:请完成典中点剩余部分习题,第1课时 菱形及其性质,华师大版 八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形,19.2 菱 形,1,课堂讲解,菱形的定义菱形的对称性菱形的边的性质菱形的对角线的性质,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,什么是矩形？矩形都有哪些性质？,1,知识点,菱形的定义,知1导,做一做将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？,（来自教材）,知1讲,定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形要点精析：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形;二是一组邻边相等二者必须同时具备，缺一
20、不可；(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法,知1讲,例1,已知：如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC交BC于E，DFBC交AC于F.四边形DECF是菱形吗？为什么？,导引：,由DEFC，DFEC，可推出四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论,知1讲,四边形DECF是菱形理由如下：DEFC，DFEC，四边形DECF为平行四边形由ACDE，知23.CD平分ACB，12，13，DEEC，平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形),解：,本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法,总 结,知1讲,
21、1如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需 要添加的条件是()AABCD BADBCCABBC DACBD,知1练,2如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连结EG，FH，交于点O，则图中的菱形共有()A4个 B5个C6个 D7个,知1练,2,知识点,菱形的对称性,知2导,菱形有几条对称轴？对称中心在哪里？,（来自教材）,知2讲,如图,我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线.,（来自教材）,1如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：SADESEOD；四边形BFDE是中心对称图形；DE
22、F是轴对称图形；ADEEDO.其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个,知2练,知2练,2(中考青林)如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C 的坐标为_,3,知识点,菱形的边的性质,知3讲,菱形的性质1 菱形的四条边都相等.,（来自教材）,例2,如图，在菱形ABCD中，BAD2B.试求出B的大小，并说明ABC是等边三角形.,解：,在菱形ABCD中，BBAD180，BAD2B,B60.在菱形ABCD中，ABBC(菱形的四条边都相等），B60,ABC是等边三角形.,（来自教材）,知3讲,例3,如图，菱形ABCD的对角线AC与BD 相交于点
23、O，AE垂直且平分CD，垂足为点E.求BCD的大小.,解：,四边形ABCD是菱形，ADDCCBBA(菱形的四条边都相等).又AE垂直平分CD，ACAD，ACADDCCBBA，即ADC与ABC都为等边三角形，ACDACB60.BCD120.,（来自教材）,知3讲,1边长为3 cm的菱形的周长是()A6 cm B9 cm C12 cm D15 cm2如图，在菱形ABCD中，AB5，BCD120，则ABC的周长等于()A20 B15 C10 D5,知3练,4,知识点,菱形的对角线的性质,知4讲,1.性质(1)菱形的两条对角线互相垂直；(2)菱形的每一条对角线平分一组对角；(3)菱形具有平行四边形的一
24、切性质；2.菱形的面积计算：菱形的面积等于底乘高菱形的面积等于对角线乘积的一半，对于对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算,3.易错警示：(1)菱形和矩形都是建立在平行四边形的基础上；矩形是附加一直角；而菱形附加一组邻边相等；(2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形；(3)菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，不要误认为两条对角线是它的对称轴,知4讲,例4,如图，已知菱形ABCD的边长为 2 cm，BAD120，对角线AC、BD相交于点O.试求这 个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号),（
25、来自教材）,知4讲,解：,四边形ABCD是菱形，OBOD，ABAD(菱形的四条边都相等).在ABO和ADO中，ABAD，AOAO,OBOD,ABOADO,BAODAO BAD60.在ABC中，ABBC，BAC60,ABC为等边三角形，ACAB2.,知4讲,在菱形ABCD中，ACBD(菱形的对角线互相垂直)，AOB为直角三角形，,（来自教材）,知4讲,例5,如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD6 cm，AC4 cm.求菱形的周长,知4讲,导引：,由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进
26、行计算,解：,四边形ABCD是菱形，ACBD，AO AC，BO BD.AC4 cm，BD6 cm，AO2 cm，BO3 cm.在RtABO中，由勾股定理，得菱形的周长4AB,知4讲,菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形问题中相关线段的长，再利用勾股定理来计算,总 结,知4讲,1如图，在菱形ABCD中，AB5，OA4.求菱形 的周长与两条对角线的长度.2试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.,知4练,（来自教材）,3(中考莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的 性质是()A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂
27、直4(中考枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，AC8，DB6，DHAB于H，则DH等于()A.B.C5 D4,知4练,1.菱形具有平行四边形的一切性质2.菱形的每一条对角线平分一组对角3.菱形面积等于两对角线的长度乘积的一半4.菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，菱形也是轴对称图形5.利用菱形的对角线计算线段的长度时，通常要借助勾股定理来进行注意：菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等,1.必做:完成教材P112练习T3，P113练习T1-3 2.补充:请完成典中点剩余部分习题,第2课时 菱形的判定,19.2 菱 形,第19章 矩形、菱形与正方形,1,课堂讲解,由边的数量关系判定菱形
28、由对角线的位置关系判定菱形,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义.我们可以根据定义来判定一个四边形是否是菱形.除此之外，还能找到其他的判定方法吗？,1,知识点,由边的数量关系判定菱形,知1导,试一试如图，作一个四条边都相等的四边形.步骤:1.画两条相等的线段AB、AD;2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径画弧，两 弧相交于点C;3.连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形 ABCD.观察你所画的图形，它是菱形吗？,（来自教材）,知1讲,判定方法：(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)(边)：四条边
29、相等的四边形是菱形；,知1讲,例1,如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形？并说明理由.,分析：,四边形EFGH的四条边分别属于矩形四个角上的三角形，如果能够证明这四个三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理1，得出四边形EFGH是菱形.,（来自教材）,知1讲,例2,如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABCD，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点试说明：四边形EFGH是菱形,分析：,由于点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，可知EH，HG，GF，FE分别是ACD，ABC，BCD，ABD的中位线，又ABCD，EHHG
30、GFFE，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH是菱形,知1讲,点E，H分别为AD，AC的中点，EH为ACD的中位线，EH CD.同理可证：EF AB，FG CD，HG AB.又ABCD，EHEFFGHG，四边形EFGH是菱形,解：,（来自点拨）,有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明四边形是菱形注意：本例也可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试,总 结,知1讲,（来自点拨）,知1讲,例3,如图，在 ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，只需证明有一组邻边相等，即可得到 ABCD是菱形.,证明：,四边形ABC
31、D是平行四边形，OAOC.又ACBD，BD所在直线是线段AC的垂直平分线，ABBC，四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).,（来自教材）,1如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABAD，BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.求证:四边形ABED是菱形.,知1练,（来自教材）,2(中考十堰)如图，在ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DEDF.给出下列条件：BEEC；BFCE；ABAC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_(只填写序号),知1练,3(中考钦州)如图，要使 ABCD为菱形，则需添加的一个条件是()AACAD
32、 BBABCCABC90 DACBD,知1练,4如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连结AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是()AABBC BACBCCB60 DACB60,知1练,2,知识点,由对角线的位置关系判定菱形,知2导,用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？,知2讲,判定方法：(3)(对角线)对角线互相垂直的平行四边形是菱形要点精析：(1)判定菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的：若从“四边形”出发，则还需四条边相等；若从“平行四
33、边形”出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直(2)判定菱形的方法：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等,知2讲,例4,如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形.,分析：,要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知 EFAC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又 知EF垂直平分AC，所以只需证明OEOF.,（来自教材）,知2讲,四边形ABCD是矩形，AEFC，12.E
34、F平分AC，OAOC.又AOECOF90，AOECOF,OEOF，四边形AFCE是平行四边形.又EFAC，四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四 边形是菱形).,证明：,（来自教材）,知2讲,例5,如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EFBD，分别交AD，BC于点E和点F，连结BE，DF.求证：四边形BEDF是菱形,导引：,若要证明四边形BEDF是菱形，由EFBD只需要证明四边形BEDF是平行四边形，而DEBF，只需要证明DEBF，即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DEBF可通过证明OEDOFB来证明,知2讲,四边形ABCD是平行四边形，OBOD，
35、ADBC，EDOFBO，OEDOFB，OEDOFB，DEBF，又DEBF，四边形BEDF是平行四边形EFBD，四边形BEDF是菱形,证明：,证明一个四边形是菱形的方法：若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形,总 结,知2讲,1作一个菱形，使它的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，并说明其理由.2(中考齐齐哈尔)如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_使其成为菱形(只填一个即可),知2练,（来自教材）,知2练,3(中考遵义)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使 ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是
36、()AABADBACBDCACBDDBACDAC,知2练,4下列条件：四边相等的四边形；对角线互相垂直且平分的四边形；一组邻边相等的四边形；一条对角线平分一组对角的平行四边形其中能判定四边形是菱形的有()A1个 B2个 C3个 D4个,1.判定菱形的常见思路：2.判定一个四边形是菱形的方法：若已知一组邻边相等要证明一个四边形是菱形，有两条路可走：证明四条边都相等，利用四条边相等的四边形是菱形来证；证明是平行四边形，利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形若条件中出现两条对角线，要证明一个四边形是菱形，可考虑利用：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,1.必做:完成教
37、材P115练习T3，P118练习T2-3 2.补充:请完成典中点剩余部分习题,第1课时 正方形及其性质,19.3 正方形,华师大版 八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形,1,课堂讲解,正方形的定义正方形边的性质正方形角的性质,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,同学们观察下列一组图片，你发现了那些几何图形：,1,知识点,正方形的定义,知1讲,定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；要点精析：(1)正方形的四条边相等，说明正方形是特殊的菱形；(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形,知1讲,例1,下面四个定义中不
38、正确的是()A有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B有一组邻边相等的四边形叫做菱形C有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,B,1下列说法错误的是()A正方形是平行四边形 B正方形是菱形 C正方形是矩形 D菱形和矩形都是正方形,知1练,2已知，在四边形ABCD中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()AD90 BABCDCADBC DBCCD,知1练,2,知识点,正方形边的性质,知2导,正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形具有矩形的性质，同时又具有 菱形的性质,知2讲,正方形边的性质：四条边相等，
39、邻边垂直，对边平行.,知2讲,例2,如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE3，EC1.连结AE，点F在射线AB上，且满足CFAE，则A，F两点间的距离为_,1或7,知2讲,DE3，EC1，正方形ABCD的边长为4.在RtADE和RtCBF中，AECF，ADCB，RtADERtCBF，BFDE3.点F在射线AB上，分两种情况：当点F在线段AB上时，AFABBF431；当点F在AB的延长线上时，AFABBF437.,导引：,1正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A四个角都相等 B四条边相等C对角线相等 D对角线互相平分2如图，正方形ABCD的面积为2，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形
40、EFGH的周长为()A2 B C4 D,知2练,知2练,3(中考毕节)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BEEC21，则线段CH的长是()A3 B4 C5 D6,3,知识点,正方形角的性质,知3讲,动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，回答下列问题.问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？有什么数 量关系？,1.正方形的性质：(1)角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；既是轴对称图形，有4条对称轴，又是中心对称图形；面积为边长的平方或对角线平方的一半(2)正方形的特殊性
41、质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；周长相等的四边形 中，正方形的面积最大2.易错警示：正方形具备其他四边形的所有性质，应用时要细心寻找,知3讲,例3,如图，已知正方形ABCD.求ABD、DAC、DOC 的大小.,分析：,由正方形的特殊性质，可知DOC90.易证ABOCBO，从而可得ABD同理可得DAC45.,（来自教材）,知3讲,例4,已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交AO于F，求证：EFAB.,导引：,要证EFAB，由于OBA45，EOF90，即需证OEF45，即要
42、证明OEOF，而OEOF可通过证明AEODFO获得,知3讲,解：,四边形ABCD是正方形，AOEDOF90，AODO，OBA45.DGAE，EAOAEOEDGGED90.又AEOGED，EAOEDGFDO.AEODFO(ASA.)OEOF.OEF45.OEFOBA，EFAB.,知3讲,通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件,总 结,知3讲,例5,如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分BAC，EFAC，求BE的长,导引：,知3讲,线段BE是RtABE的
43、一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证ABEAFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解,解：,四边形ABCD为正方形，B90，ACB45，ABBC1 cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABEAFE.ABAF1 cm，BEEF，FCBE.在RtABC中，FCACAF(1)cm，BE(1)cm.,知3讲,解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质解题，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙,总 结,
44、知3讲,1已知正方形纸片ABCD的边AB长2 cm.求这个正方形的周长、对角线长和面积.(长度精确到0.1 cm)2(中考怀化)如图，在正方形ABCD中，如果AFBE，那么AOD的度数是_,知3练,（来自教材）,3(中考黄冈)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若CBF20，则AED的度数是_,知3练,4(中考怀化)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则BFC等于()A45 B55 C60 D75,知3练,正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角
45、线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据,1.必做:完成教材P121习题19.3T1-3 2.补充:请完成典中点剩余部分习题,第2课时 正方形的判定,19.3 正方形,第19章 矩形、菱形与正方形,1,课堂讲解,正方形面积的性质正方形的判定,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,（1）正方形是怎样的平行四边形？（2）正方形是怎样的矩形？（3）正方形是怎样的菱形？,1,知识点,正方形面积的性质,知1讲,正方形面积等于边长的平方或对角线平方的一半.,知1讲,例1,山西如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC2AE，直角三角
46、形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.B.C.D.,D,知1讲,导引：,作EPBC于点P，EQCD于点Q，EPMEQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解如图，过E作EPBC于点P，EQCD于点Q，四边形ABCD是正方形，BCD90.又EPMEQN90，PEQ90，PEMMEQ90.三角形FEG是直角三角形，NEFNEQMEQ90，,知1讲,PEMNEQ.CA是BCD的平分线，EPCEQC90，EPEQ，四边形PCQE是正方形 在EPM和EQN中，EPMEQN(ASA)SEQNSEPM，四边
47、形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积正方形ABCD的边长为a，AC EC2AE，EC,知1讲,EPPC 正方形PCQE的面积 四边形EMCN的面积,本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的正方形中，再利用正方形的性质求出，解答过程体现了割补法及转化思想,总 结,知1讲,1(中考南京)如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为_,知1练,2如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则BDF的面积为()A4 B.C D2,知1练,2,知识点,正方形的判定,知2导,讨论
48、 老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形.小明剪完后，这样检验它：比较边的长度，发现四条 边是相等的，于是就判定自己完成了这个任务.这种检验 可信吗？小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形.这种检验对吗？,知2导,小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的.按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？,（来自教材）,知2讲,1.判定方法：(1)从四边形出发：有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)
49、从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；(3)从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形,知2讲,2.四边形间的关系：(1)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的包含关系如图.,知2讲,(2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如图：,知2讲,例2,如图，在ABC中，C90，CD平分ACB，DEBC，DFAC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形,要证四边形CFDE是正方形，首先要确定这个正方
50、形建立在哪种四边形的基础上，即先证它是什么四边形；再证这种四边形是正方形需要补充的条件,导引：,知2讲,DEBC，ACBC，DECF.同理DFCE，四边形CFDE是平行四边形CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，CFDE是菱形ACB90，菱形CFDE是正方形ECFCFDCED90，四边形CFDE是矩形CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，矩形CFDE是正方形,证法一：,证法二：,证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法：方法1：证：“四边形四边相等四个直角”；方法2：证：“平行四边形一组邻边相等一个直角”；方法3：证：“矩形一组邻边相等”；方法4：证：“菱形一个直角”说明
