宏观经济学课程笔记.ppt

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1、龚六堂“宏观经济学专题”,课程笔记,整理者：徐高,xu_,2004.5.30,这是我 2004 年春季学期在光华管理学院所上的“宏观经济学专题”一课的笔记。纪录,了这门课的主要内容。授课老师是龚六堂。这份笔记并未给龚六堂老师看过。其中的所有错误都由整理者承担。欢迎任何的意见和建议。,I,的,2),3),。,t,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记Ramsey 模型的推广宏观经济学研究：1)c,y,k2)m,（inflation 的决定及其影响，货币政策）3)G,T（税收、公共支出的决定及其影响，转移支付）4)Asset market基本的 Ramsey Model,max 0 u(c)e t dt

2、s.t.k=f(k)nk c,k(0)=k0,(1.1),模型结论：1)稳定点（c*,y*,k*）存在且唯一。（不同的国家技术和偏好相同时，经济会趋同。因此无法解释经济增长的差异性）2)c,y,k 单调上升收敛至 c*,y*,k*。（经济没有波动）3)引入货币，货币超中性。4)引入公共支出 G，G 不影响资本存量，只是挤出私人消费。1 Ramsey 模型中时间偏好的改变偏好改变：（1）贴现因子（rate of time preference,discount rate）u(C1,C2,)Samuelson(1937)贴现因子 常数，刻画对未来的耐心程度（patience）（2）效用函数（uti

3、lity function）1.1 Uzawa(1968)Uzawa H.,1968,Time preference,the consumption function,and optimum asset holdings.In:J.N.Wolfe,ed.Value,Capital,and Growth:Papers in Honor of Sir John Hicks.Edinburgh.Scotland:University of Edinburgh PressUzawa 在没有生产（没有资本存量）Ramsey 模型中考虑消费，寻找消费函数 c(yt,r)。模型结论1)c,y,k 的特征引入

4、货币：，m m=对 c,y,k 的影响。货币超中性不成立。财政政策：g 影响 k。(1)在基本的 Ramsey 模型中考虑消费1,=(r),max,d t,0,=,s.t.,2,d H,1,1,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记,max 0 u(c)e t dts.t.b=rb+w c,y=r(y c),(1.2),其中 b 为债券，w 为工资收入。这是一个只考虑消费者行为的 partial equilibrium。求解此问题H=u(c)+(rb+w c),u(c)=,Hb,c u(c)c=cu(c)(r)b=rb+w c,(1.3),由式(1.3)可以求出系统的 steady state。有两

5、种情况：（1）r=时，c=y=常数，无动态调整过程；（2）r 时，系统不存在均衡点。(2)Uzawa 的模型为了解决在问题(1.2)中的困难，Uzawa 引入了可变的贴现因子。(u(ct),()0,()0,0 0,tt=0(u(cs)ds,(1.4),t 对 t 求导数，可得 d t=(u(ct)dt，且有 t=0 t=0,t t。,因此，在基本的 Ramsey 模型(1.2)中代入 dt=d t,(u(ct)得到,解此模型,u(c)et(u(ct)db rb+w cd t(u(ct),(1.5),H=,u(c)(u(ct),+,rb+w c(u(ct),c:,u(c)u(c)+rb+w c(

6、u(ct)(u(ct)=d t b=r(u(ct)y=r(y c),()u()=0,(1.6)(1.7),在求 的动态方程时，可以将 t 看成 t，将问题转化为贴现因子为 1 的最优控制问题。2,y,c,1),2),2,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记由式(1.6)中有关 c 的方程可得到=(c,y)，可推出,=c c+y y c=,yc c,得,c=,c,r(u(ct)y r(y c),(1.8),y=r(y c)由 y=0 与 c=0 就可以求出系统的均衡点2。cc*c*,dy/dt=0dc/dt=0,(1.9),y*=c*,y*,y,讨论：Long-term equilibrium：c=

7、y=0 c*=y*,r=(u(c*),c*r,=,1()u(),0,(1.10),稳定性：将 c,y 在均衡点处一阶 Taylor 展开，可证均衡点是鞍点稳定的。在理性预期假设下，存在唯一的鞍点路径收敛到均衡点(c*,y*)。这条路径就是最优路径。鞍点路径所得到的就是短期消费函数（反映短期均衡中 c 与 r、y 之间的关系）。当r 上升时，c=0 曲线右移。对于同样的 y，鞍点路径上的消费 c 下降。可证,c(r,y)y,0,c(r,y)r,0,(1.11),这里也可以用 b 与 来讨论系统的动态特征，其结果是一样的。3,(1.14),龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记(3)将货币引入模型消费者

8、的预算约束,b+M p=rb+w+x c,(1.12),其中 M 为货币存量，x 为政府发行货币所得收入转移给消费者。设=p p 为通货膨胀率，并令 m=M p，可得到模型,max 0 u(c,m)et dts.t.b+m=rb+w+x c m令 a=b+m，有a=rb+w+x c m=r(b+m)+w+x c(+r)m=ra+w+x c m其中=+r，为名义利率，可理解为货币增长率。若令 y=ra+w+x，则有y=r(y c m),(1.13)(1.15),可以解出消费函数 c(y,r,)。1.2 Obstfeld(1981)Obstfeld,M.,1981,Macroeconomic po

9、licy,exchange-rate dynamics,and optimal assetaccumulation.Journal of Political Economy,89:1142-1161(1)模型解决国际经济学中的一个 Puzzle：c，k 要么不存在动态调整过程，要么不存在均衡。模型讨论小国开放经济。利率 r 为常数，y 为收入，消费者持有二种资产：外国资产和本国货币（F 和 M）。F+M p=rF+y+c其中，为真实政府转移支付。定义真实货币余额为 m=M p，通货膨胀率为=p p。则消费者在时间 t 的真实资产为,at,yr,+mt+Ft,(1.16),消费者的预算约束为,政

10、府的预算约束（ad hoc）,a=ra+c(+r)m4,(1.17),d t,=,s.t.,1),2),：,3),4),龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记M p+rR=g+其中 R 为政府的外汇储备。由于 m m=M M p p，定义=M M，可得,模型为,m=m()u(c,m)etmax 0(u(c,m)da ra+c(+r)md t(u(c,m),(1.18)(1.19),模型结论为：货币超中性不成立。政府支出 g 只影响 F*，而对 c*、m*无影响。即在此模型中，政府支出无挤出效应。这与实际情况不符。(2)扩展怎样改变模型，在其中产生出政府支出的挤出效应？“美元化”：消费者可以持有国内和

11、国外两种货币。国外货币 m*，国外价格 p*。则消费者预算约束变为F+M p+M*p*=rF+y+c,即,F+m+m*=rF+y+c m*m*,(1.20),引入购买力平价（PPP）p=p*p p=,+p*p*，可得模型,max 0 u(c,m,m*)et dts.t.F+m+m*=rF+y+c m*m*,(1.21),用 CIA（Cash in Advance，即 c m，消费者必须用货币购买消费）代替 MIU（Moneyin the Utility），结果会怎样？Uzawa 模型与 Obstfeld 模型有什么差别？在 Uzawa 模型中，若引入政府的 ad hoc 方程，会有什么变化？1

12、.3 Becker-Mulligan(1997)Becker,G.and C.Mulligan,1997,The endogenous determination of time preference.Quarterly Journal of Economics 112:729-758.人可以通过消费 s(t)来改变贴现因子(1)离散情况在 OLG 模型中，可以很容易引入这种时间偏好。5,t,max,d t,0,=,s.t.,2,3,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记max u(C1t)+(St)u(C2t+1),s.t.C1t+At+St=WtC2t+1=(1+rt+1)At其中，(i)0,(

13、i)0。若推广到多期，则目标函数变为T t 1max u(C0)+(Si)u(Ct)t=1 i=1这时问题变得非常难以处理。(2)连续时间模型,(1.22)(1.23),max 0 u(c)et dt,t=0(sv)dv,(1.24),s.t.k=f(k)nk c s(t),k(0)=k0其中(i)0,(i)0。类似 Uzawa 模型，作变量代换 d t=(st)dt，可得模型,建立 Hamiltonian，可得如下条件,u(c)et(st)dk f(k)nk c sd t(st)u(c)=,(1.25)(1.26),u(c)+f(k)nk c s(s),=0,(1.27),Euler Equ

14、ation:,d d t,=,Hk,=f(k)n(s),(1.28),再加上预算约束,k=f(k)nk c s(t),(1.29),由以上(1.26)到(1.29)四式就可以完全确定经济的动态了。在 c，k 平面中讨论问题3。首先由(1.26)及(1.27)两式确定=(c)与 s=s(c,k)。则有,k=f(k)nk c s(c,k)u(c)c=u(c)f(k)n(s(c,k)模型的结论：1)可能存在多个均衡点或 limited cycle;选择在那个平面中讨论问题完全是任意的，依所讨论问题的方便。6,(1.30),2),t,t,。,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记,比如 u(c)=,c1 1

15、1,，(s)=,0(s+s0)2,1，f(k)=Ak 时，通过适当的参数选,取，会产生 3 个均衡点。货币超中性不成立；,3),财政政策,1.4 Laibson 可变的外生贴现因子问题的提出：在美国普遍存在着个人储蓄不足的情况。有 60%到 80%的美国人除社会保险退休金外，几乎没有什么其他的退休后收入。因此，大部分人在退休后消费水平会有一个显著的下降。他们一生的福利可以通过增加年轻时的储蓄，即提高年老后的消费得到提高。但是，在传统的分析框架中（如 Ramsey 模型），是不存在储蓄不足这种说法的。由于个人的行为是通过最优化得出的，所以得到的储蓄率一定恰恰好的，既不会过高，也不会过低。为了解释

16、储蓄不足的问题，提出了 hyperbolic discounting。(1)Hyperbolic discounting日常生活中常常观察到个人在当期往往缺乏耐心。比如说，让某人在今天放弃眼前的 5个包子，而在明天获得 6 个包子作为回报，有很大可能性得到否定的答案。而如果将时间换成 100 天后和 101 天后，则几乎所有人的回答都会是肯定的。在模型中可以这样来描述这种现象。对于一般的 Samuelson（1937）的贴现因子，每天之间的贴现因子都是一样的，设为,1(1+)，则贴现效用和为 t=0,1(1+),u(ct)。让时间间隔 t 0，可得到连续时间下贴,现效用和为,s=0,u(cs)

17、e t ds。在其中引入 Quasi-hyperbolic discounting，只需要在第 0 期与,第 1 期之间乘上一个(01)，而其它期之间的贴现因子不变。则贴现效用和为,u(c0)+t=1,1(1+),u(ct),(1.31),连续时间条件下有贴现效用和为,0,h,u(cs)e t ds+h u(cs)e t ds,(1.32),其中0,h对应离散情况下的第一天。不过需要注意的是，这里的 h 的选取是任意的。当 h 0时，贴现因子具有类似双曲线的形状，这也是 hyperbolic discounting 得名的由来。在 Krusell&Smith（2003 Econometrica

18、）的文章中，分析了形如(1.31)这样的模型。他们求出，这种模型的均衡点 k 满足条件,1+,f(k),1+,(1.33),均衡点是一个区间（Markov 均衡）从(1.33)可以看出，当=1 时，就得到修正的黄金法则。7,h,t+h,(1.35),1,2,c,(t+h),(1.36),1,c1,e,1,4,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记区分决策者的承诺对经济的影响：完全的承诺能力（c*,y*,k*）与 Ramsey Model 一致。(2)在 Merton(1971)模型中引入 Quasi-hyperbolic discountingPalacios-Huerta 在 Merton(197

19、1)模型中引入了 quasi-hyperbolic discounting。,无风险资产风险资产,dRb=rdtdRs=dt+dz,投入财富投入财富,(1)WW,模型：4,max E 0 u(c)e t ds+h u(c)e t ds s.t.dW=W+(1)rW c dt+Wdz定义值函数为J(W,t)=max Et t u(cs)e t ds+t+h u(cs)e t ds 得递归方程（R.E.）为0=max u(c)e t+Jt+JW W+(1)rW c+JWW 2 2W 2(1)Et+h(u(ct+h)e)F.O.C.u(c)e t=JWJW(W rW)+JWW 2W 2=0,(1.3

20、4)(1.37)(1.38),设效用函数形式为 u(c)=,。猜测值函数形式为,J(W,t)=b其中 b 为待定的常数。则由一阶条件可以推出,W 1 t1,(1.39),cW=,=b r 2,(1.40)(1.41),带回 RE，得 HJB 方程为为了与文章内容保持一致，这里改变了贴现因子的字母。8,1,1,W 1,+bW 1,1 1 1,2,2,dW=r+,2,1,2,2,2 2 2,注意：由于 z 是标准布朗运动，有性质 E exp(z(t+h)z(t)=e,1 1,b Wt+h bh,bh,1,1,b,2,1,b,2,2,2,2 2 2,(1.46),龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记,b

21、 W b r b+bW1 1(1)Et+h(u(ct+h)e bh)=0将一阶条件代入预算约束得,1(r)2,(1.42),(r)2,b Wdt+,r,Wdz,(1.43),这是一个几何布朗运动，可以得到 W 的显示解为,Wt+h,=Wt exp r+,(r)b 1(r)h+r z(t+h)z(t)(1.44)2,Et+h(u(ct+h)e)=Et+h e,2 h,。因此有,(1.45),由(1.44)将 Wt+h 表示成 Wt 的函数，再代入到(1.45)中，得到含 b 的代数方程为,1+r b+(1)(1)exp r+1,(r)2 2(r)b 1(r)h+(r)2 h h=0 2 2 2,

22、由(1.46)可以唯一确定 b 的值。模型求解完毕。模型分析：由一阶条件(1.40)与(1.41)可以看到，增加的 hyperbolic discount 通过影响 b 的大小而影响个人的边际消费倾向。而对风险资产的份额，模型的结论与 Merton 模型一样。因此，引入了 hyperbolic discount 后，只是对消费有影响，而对风险溢价问题的解决没有帮助。(3)Hyperbolic-discountingBarro,Robert,1999,Ramsey meets laibson in the neoclassical growth model,QuarterlyJournal of

23、 Economics,November,1125基本的模型,max u(cs)e i(s)(s)ds,(1.47),s.t.k=f(k)nk c,k(0)=k0,其中(i)为函数：(i)0，(i)0，lim(v)=constant。ev因子（hyperbolic discount rate）。在模型中引入不确定性，加入生产冲击，即9,i(t s)(t s),：双曲贴现,1,1,s,=,(1.53),2,ks,k+,=,2,5,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记,则模型可以写为,dy=f(k)dt+kdz dk=(f(k)c)dt+kdz,(1.48),max u(cs)e i(s)(s)dss.

24、t.dk=(f(k)c)dt+kdz,k(0)=k0,(1.49),设效用函数是 CRRA 形式，即 c,(1)。则在 时刻的预期贴现效用和为5,U()=E,+,u(cs)e i(s)(s)ds+,u(cs)e i(s)(s)ds,u(c)+E+,u(cs)e i(s)(s)ds,(1.50),c11,+E+1,c,e i(s)(s)ds,这里需要区分消费者有无承诺（commitment）能力。无承诺能力说明消费者只能决定当前时刻的消费，而对将来的消费水平无法决定。因此，这里与基本 Ramsey 模型不同的地方就是，在 Ramsey 模型中求出的是一个消费路径，而这里只能求出当前的最优消费水平

25、 c。这里的求解方法是在(1.50)中令 0，然后通过一阶条件,dU()dc,=0,(1.51),求出最优的 c。为了显示求出这个问题的解，我们设生产函数是 Ak 型的，即 f(k)=Ak。在这种情况下，我们猜测解为 c=k。其中 为待定的常数。则预算约束变为,dk=(A)kdt+kdz这是一个几何布朗运动，可以求出显示解为k(s)=k(+)exp(A)1 2)(s)+(z(s)z(+)则,(1.52),U()=,c11,+E+1,1 1,e i(s)(s)ds,c11,+E+1,1 1,exp(1+)(A 1 2)+(z(s)z(+)ds,(1.54)将 k+在 k 处一阶 Taylor 展

26、开，并运用预算约束，可以得到,dk+dc,(1.55),其中的约等式来自于中值定理的应用。10,t,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记这样，dU()dc 就可以显示求出了，从而也就可以解出 c。模型扩展：可以在这种框架下讨论 Merton(1971)模型，考虑不同的承诺能力下（no commitment,partial commitment,full commitment）对资产定价的影响。(4)Marshall 贴现因子,max 0 u(c)et dt,t=0(k)ds,(1.56),s.t.k=f(k)nk c,k(0)=k02 效用函数的改变(1)将休闲（leisure）引入效用函数（W.

27、Brock 1981）max 0 u(c,L)e t dt,s.t.k=f(k,l)nk c,k(0)=k0,(1.57),uc 0,uL 0,ul 0,ucc 0,uLL 0其中 L 为休闲。假设每人总的时间为 1，则每人劳动提供为 l=1 L。模型结论：基本模型的结论 1（均衡点存在且唯一）与 2（单调上升到均衡点）仍然成立在引入财政政策后，与基本模型结论不同。设政府购买为 g。约束条件变为（略去人口增长）,k=f(k,l)c gH=u(c,1 l)+f(k,l)c g c:uc=l:ul=fl ul=uc fl=fk 在 steady state，有=k=0fk(k*,l(k*,l*)=

28、0f(k*,l(k*,*)c(k*,l*)g=0,(1.58)(1.59),很明显，g 影响稳定点的位置。但是这属于长期效应（long-run effect），故政府不会在意。政府更在意短期效应。为求得短期均衡，我们利用短期均衡式（即这些式子在任何时候都要成立）,=f k(k,l(k,)k=f(k,l(k,)c(,k)g11,(1.60),龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记(1.60)中包含 4 个变量 c,l,k。用 与 k 表示 c 和 l，可以求得短期均衡。(2)Habit formation in the Ramsey Model(Ryder&Heal,1971)max 0 u(c,h)

29、e t dt,s.t.k=f(k)nk c,(1.61),h=(c)hk(0)=k0,uc 0,uh 0,ucc 0,uhh 0结论：c 与 k 之间存在周期性关系。Carroll(1997)JEG,(2000)AER 得到内生经济增长模型具有不定性：（1）BGP（BalancedGrowth Path）有多条；（2）在同一条 BGP 上，从初始的非均衡状态到均衡状态有多条路径）。思考：Habit formation 与 Uzawa 的内生时间偏好有无关系？(3)Social State(The Spirit of Capitalism)(Kurz 1968 IER)为积累而积累。资本存量可以

30、直接带来效用。,u(c,k)uc 0,uk 0,ucc 0,uC 0,ucc 0,uP 0,ucc 0,uhh 0其中 P(c,f(k)为 Pollution generating function；h(g)为政府对污染的治理。12,(1.62)(1.63)(1.64)(1.65)(1.66),龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记Stocky Nancy 1994 IFR(8)Health in the Ramsey Modelmax 0 u(c,h)e t dt,s.t.k=f(k)nk c sh=(c,s)hk(0)=k0,uc 0,uh 0,ucc 0,uP 0,ucc 0,uPP 0其中

31、P 为 Power，T 为劳动时间。结论：存在多个均衡点，初始条件会决定均衡状态。P 与 k 之间存在周期关系。13,(1.67)(1.68)(1.69),max,e dt,c 1,c,u,v,6,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记II 内生经济增长模型3.1 Ak 模型c1 t0 1,解出,s.t.k=Ak ck(0)=k0=(A)c,(2.1)(2.2),kk,=A,ck,(2.3),平衡增长路径上，c,k,y 均以相同的增长速度 增长,=,1,(A),(2.4),3.2 Two-sector Model(Uzawa-Lucas Model)Benhabib J,and R.Perli,19

32、94,Uniqueness and indeterminacy:Transitional dynamics in amodel of endogenous growth.Journal of Economic Theory,63:113-142最一般的模型（Rebelo）,人力资本 H物质资本 K,G(1 v)K,(1 u)H)F(vK,uH),H=G(1 v)K,(1 u)H)H HK=F(vK,uH)c K K,max 0 u(c,H)e t dt,s.t.H=G(1 v)K,(1 u)H)H HK=F(vK,uH)c K K在古典框架下讨论，有 u(c)=c1(1)，及6G(1 v)K,

33、(1 u)H)=B(1 u)HF(vK,uH)=A(vK)(uH)1注意我们在这里假设了生产人力资本不需要物质资本。14,(2.5),max,e dt,max,e dt,c,u,max,e dt,c,u,c 1,=,u+,h,h,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记c1 tc,u,v 0 1,s.t.K=A(vK)(uH)1 c K KH=B(1 u)H H H但是模型(2.6)不能够解释经济增长中的差异性，因此对这个模型作小小的修改得c1 t0 1 s.t.K=AK(uH)1 H a c K K,(2.6)(2.7),H=B(1 u)H H H其中 Ha 是人力资本的外部性。这就是 Benhab

34、ib（1994 JET）的模型。在个人优化时，Ha 是外生给定的。而在均衡时，有 Ha=H。虽然(2.7)与(2.6)看起来差别很小，但是实际上，Ha 的引入大大改变了模型。在模型(2.6)中，经济增长的可能性是唯一的，具体而言就是：（1）平衡增长路径是唯一的；（2）从非平衡到平衡的路径是唯一的。但是在模型(2.7)中，存在多条平衡增长路径。而从非平衡到平衡的路径有多条甚至是无穷条。为简化，架设物质资本和人力资本的折旧率都是 0，可得模型c1 t0 1,建立现值 Hamilton 函数得,s.t.k=Ak(uh)1 ha ch=B(1 u)h,(2.8),H=,c11,+1 Ak(uh)1 h

35、a+2 B(1 u)h,在均衡时有 ha=h。将此条件代入，由最优性条件可以得到,再加上两个预算约束,=A k 1h1+c u B(r)B(1+)cu k,(2.9)(2.10),kk,=Ak 1(uh)1 h=B(1 u),ck,(2.11)(2.12),在平衡增长路径上，有 k k=k，h h=h，c c=c 和 u u=u 均为常数（即(2.9)到(2.12)四式的值均为常数）。注意，这正是内生增长框架与古典增长分析框架最大的不同，在古典框架中，平衡时经济的增长速度是 0，而在内生增长框架中，经济增长速度是常数，不一定是 0。这是由放弃了 Inada 条件所带来的结果。若不考虑稳定性，由

36、以上 4 式就可以求出 k，15,1,。,h,=Au1 x 1 q+,=+,x k,=,u+,1),2),3),龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记c k，h 1，h1+与 u 了。它们就表征了平衡时经济的状态。其中，每解出一个 c k，h，h1+与 u 值，就代表了一条平衡增长路径（Balanced Growth Path,BGP）,求解此模型，采用“降维”的办法，即减少未知数的个数。引入变量 x=kq=c k 与 u=u。则可以得到相应的动态方程为,1 1+,，,x k 1+h 1+1 h 1 q c k 1 1=q+A 1 x u q q q c k u B()B(1+)u 在 steady

37、 state 有，x=q=u=0，则,B(1 u),(2.13),u*=1,(1)(B)B(1+),(2.14),由于有 0 u 1，可以解出参数区间为以下几种情况。0 B,B(1+)=B,=B(1+)结论一：（1）在区间 1 与 2 内，u*唯一决定，可以决定唯一的平衡增长路径。（2）在区间 3 内，可能出现多个 u*，对应多条平衡增长路径（BGP）。多条 BGP 的存在取决于 0。,若=0，则 u*=1+(B),，唯一决定。外部性是决定多条平衡增长路径的决定性因,素。下面讨论收敛到 BGP 的路径。将 u,x,q 在均衡点 u*，x*与 q*处一阶 Taylor 展开，得,u u u*x=

38、J x x*q q q*解出系数矩阵 J 的特征值为 1，2 与 3。那么可以得到x(t)x*=C1e1t+C2e2t+C3e3t,(2.15)(2.16),若判断出 1，2 与 3 中有两根为正，一根为负。不妨设 1,2 0，3 0。若要求 x(t)16,3t,1t,k,k k*,2,K 1,2,2 2,2,7,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记,的路径不爆炸，必须有 C1=0 与 C2=0。则 x(t)x*=C3e,。此时由初始值 x(0)=x0 可,以确定 C3。也就是说，可以唯一确定收敛到 BGP 的路径。若两根小于 0，如 1,2 0，,则有 x(t)x*=C1e,+C2e2t。此时由

39、初始值无法确定 C1 与 C2。也就是说，存在多条收敛,到 BGP 的收敛路径。结论二：从非平衡增长路径收敛到平衡增长路径可能有多条路经。3.3 Two sector 模型的一般讨论方法一般的 two sector 模型中，有两个状态变量和两个 Hamilton 乘子。因此，需要讨论 4 维系统的动力学特征。在这里，给出一个这种问题的一般分析方法。对于 two sector 模型，我们既可以在古典框架下讨论，也可以在内生增长的框架下分析。两者的分别如下：在古典框架中，要求生产函数满足 Inada 条件，因此可以找出所有变量增长率为 0 的均衡点。而在内生框架中，生产函数不满足 Inada 条件

40、。这时均衡点的定义变成所有变量的增长率为常数。无论在哪种框架下讨论，都可以把系统在均衡点处线性化，用得到的系数矩阵分析系统的动态特征。max 0 u(c,h)e t dt,s.t.,k=f(k)nk c,(2.17),h=g(c)h建立现值 Hamilton 函数,H=u(c,h)+(f(k)nk c)+(g(c)h),(2.18),在均衡点处，有=k=h=0 7。求得系统的均衡点，然后将系统在均衡点处线性化得到（其中 J 为 4 4 系数矩阵）,*=J*h h h*,(2.19),记 J 的迹为=tr(J)。记 J 的行列式为 J。记 K 为 J 的所有二阶主子式之和。则有 J 的 4个特征

41、根的求根公式为,1,2,3,4=,K 2 4 J,(2.20),注意，这里我们是在古典的框架下讨论这个问题，所以均衡点处有这样的条件。如果是在内生增长的框架下讨论，则均衡条件应该变成四个变量的增长率为常数。17,2,K 0,0 J K,1),2,2,2,2),(2),(2),2,2,2,4),(2),2,2,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记系统的动力学特征有 5 种情况。(2)：均衡点是鞍点稳定的，特征根二根为正，二根为负；J(K 2),J(K 2)+K 2：均衡点是鞍点稳定的，特征根为复根，二根实部为正，二根实部为负；,3),J K,J K,+K,2,：均衡点是鞍点稳定的，特征根为复根，有实

42、部,为正的特征根；J 0：均衡点是不稳定的；,5),J=K,+K,2,J 0,K 0：根为纯虚根，可能出现 limiting circle。,Limiting circle（极限环）是指在均衡点附近有一个周期性的轨道环。如果从环内（外）的任意点出发，都收敛到环上，则环是稳定的，否则是不稳定的。将系数矩阵 J 44 记为某个参数 的函数。J()有特征根()+i()。满足 J()有纯虚根，要求()=0。其中 为分支点。若极限环是稳定的，有,d()d 18,0,(2.21),2,2,2,2,8,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记III 随机增长模型在增长模型中，我们考虑的是一般均衡的模型。即模型中既有

43、消费者行为，又有厂商行为，最后达到市场均衡。这与只考虑消费者行为的金融模型是不同的。无论是确定性还是不确定性的情况下，如果不考虑政府，Ramsey 模型（中央计划者模型）和分散经济的模型是等价的。因此，可以将 Ramsey 模型看成一个一般均衡的模型。但是如果在 Ramsey 模型中引入政府行为，就和分散经济模型不等价了，也就不是一般均衡的模型了。这时的一般均衡模型需要另外给出。4 一般均衡框架下的随机 Ramsey 模型（随机增长）Eaton,RES,1981Turnovsky,Methods of Macroeconomic Dynamics,2000,Ch154.1 模型的设定(1)不确

44、定性的来源为了求得显示解，架设技术是线性的,dY=Kdt+Kdy其中 dy 是非标准的布朗运动。E(dy)=0，var(dy)=y dt。政府公共开支dG=g Kdt+Kdz,(3.1)(3.2),其中 dz 是非标准的布朗运动8。E(dz)=0，var(dz)=z dt。其中 g 指政府开支的确定性部分占产出的比例。如果设 d 为标准布朗运动增量，则 dy=y d，dz=z d。技术的不确定性(3.1)与政府开支的不确定性(3.2)是随机增长模型不确定性的来源。(2)消费者行为消费者在两种资产中选择。分别是普通资产（K），其收益为,dRK=rK dt+duK,(3.3),政府债券（gover

45、nment bonds,B），它的收益为注意，为了与 Turnovsky 书上的符号保持一致，这里我们用 dz 表示政府公共开支的波动。这里的 dz 不是标准的布朗运动。19,2,c,W,0,c,W,9,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记,dRB=rB dt+duB,(3.4),与金融模型不同的是，在式(3.3)与(3.4)中的 rK，uK，rB 和 uB 都是模型内生决定的。在前者中，这些都是外生给定的。在模型中实际上还可以加上无风险资产 BD，其收益是确定的 dRBD=rD dt。可以将这种资产理解为政府指数化债券。但是在模型中加入它并不影响模型的结论。消费者的总财富为 W，其投资份额分别为

46、 nK=K W，nB=B W，nK+nB=1。消费者在资产上的收益除用来消费和纳税外，剩余部分用来增加财富量。因此，消费者的预算约束可以写为,dW=nKWdRK+nBWdRB dT cdt,(3.5),其中 dT 为纳税的量。政府对政府债券的收益不征税，而只对资本回报征税，且确定部分的回报和不确定的回报税率不同。因此9,定义,dT=nKWrK dt+nKWduK,(3.6),(1)nK rK+nB rB,(3.7),dw(1)nK duK+nB duB,(3.8),dw 可以写为 dw=w d，其中 d 为标准布朗运动增量。消费者的预算约束可以写为,故消费者面临的优化问题为,dW=Wdt+Wd

47、wmax u(c)e t dtc,nK,nB,Ws.t.dW=Wdt+Wdw,(3.9)(3.10),其中 u(c)=,c11,。,(3)厂商行为厂商用资本 K 作为唯一的投入，生产出产出 Y。,dY=K(dt+dy),(3.11),这里还可加上对消费征税 ccdt，但是加上它对模型没有影响。这也是模型需要改进的地方，需要将消费税对经济的影响引入模型。20,2,2,2,2 2,2,2,2,2,2,2,1 2,2,2,W,c,1 2,2,2,W,c,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记(4)政府行为,dB+dT=dG+BdRB(5)市场均衡均衡时，产品出清，资源平衡。GDP 的恒等式成立dY=cdt

48、+dK+dG,(3.12)(3.13),4.2 模型的求解(1)消费者问题的求解消费者的优化问题可以用动态规划求解。但是需要注意的是 dw 不是标准的布朗运动增量，因此需要首先将 dw 化成标准布朗运动增量的函数 dw=w d。则,dW=,cW,Wdt+W w d,(3.14),w=nB B+(1)2 nK K+2(1)nB nK BK,(3.15),wnB,=2nB B+2(1)nK BK=2 cov(duB,dw),(3.16),wnK定义现值值函数为,=2(1)nK K+2(1)nB BK=2 cov(1)duK,dw)X(W)=max t u(c)e(s t)ds,(3.17),可得递

49、归方程（RE）为,0=max u(c)X+X W s.t.nB+nK=1建立拉格朗日函数,W+X WW wW,(3.18),L=u(c)X+XW 得最优性条件为,W+XWW wW(1 nB nK),(3.19),u(c)=XW,c=X W,(3.20),XW WrB+XWW W 2 cov(duB,dw)=021,(3.21),(3.22),1,1 1 2,dB 1,dK,c,=,龚六堂“宏观经济学专题”课程笔记(1)rK XW W+XWW W 2 cov(1)duK,dw)=0猜测解的形式为,其中 为待定常数。可以解出,X(W)=W 1,(3.23),cW,=(1)=(1)+2(1)w,(3

50、.24),rB(1)rK,X W WX W W,=cov(duB,dw)=cov(1)duK,dw),(3.25)(3.26),式(3.24)，(3.25)与(3.26)就是求解消费者问题得到的结果。消费者在 rK，uK，rB 和 uB 外生给定下，选择 nK，nB 和 c 使自己效用最大化。(2)厂商问题的求解,(3)市场均衡政府预算约束,dRK=dY K=(dt+dy)=rK dt+duKrK=duK=dy,(3.27)(3.28)(3.29),dBW,=nB,=(dG+BdRB dT)B W=(g rK)nK+nB rB dt+nK dz+nB duB nK duK,(3.30),GDP