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1、方差分析作为分析试验数据的一种重要工具，是数理统计的 基本方法之一.方差 分析是研究一些因素（自变量）对某个指标（因变量）的相关关系，研究哪些因素对指标的影响是显著的，哪些因素对指标的影响不显著，最终找到有力的试验条件,方差分析建模,当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响时，则称为两因素或多因素试验。通常方差分析简称为ANOVA(Analysis of Variance),单因素方差分析,1单因素方差分析模型,设指标变量为Y,因素为A，它可以取几个不同的水平，记为A1,Aa,在水平Ai上作若干次试验，试验结果为yi1,yini,需要考虑因素
2、A对指标的影响是否显著.,将A在某个水平下的试验结果看成一个随机变量(总体)，因此考虑A取不同水平时的指标有无显著差异，就是检验几个总体的均值是否相等.假定在水平Ai下的总体服从正态分布，他们可以有不同的均值i,但有相同的方差2，需要检验假设：,将每次试验结果 yij 分解为,建立方差分析模型如下：,(3.2),2.单因素方差分析的Matlab实现,p,c,s=anova1(X,group),输入：X是一个向量，从第一个总体的样本到第r个总体的样本依次排列，group是与X有相同长度的向量，表示X中的元素是如何分组的.group中某元素等于i,表示X中这个位置的数据来自第i个总体.因此grou
3、p中分量必须取正整数，从1直到r.,p,c,s=anova1(X)%比较X各列数据的均值是否相等,输出p是零假设成立时概率，对给定的，若p，则有显著差异；c是方差分析表，s用于多重比较的输入.,输入X各列的元素相同，即各总体的样本大小相等，称为均衡数据的方差分析，不均衡时用下面的命令,例3.1.某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。,表3-1 饲喂不同饲料的鱼的增（单位：10g）,四种不同饲料对鱼的增重效果是否显著？,解：这是单因素均衡数据的方差分析，Matlab程序如下：,A=
4、31.927.931.828.435.9 24.825.726.827.926.2 22.123.627.324.925.8 27.030.829.024.528.5;%原始数据输入,B=A;%将矩阵转置,Matlab中要求各列为不同水平,p,c,s=anova1(B),运行后得到一表一图，表是方差分析表（重要）；图是各列数据的盒子图，离盒子图中心线较远的对应于较大的F值，较小的概率p.,表中所列出的各项意义如下：,因为p=0.00290.01，故不同饲料对鱼的增重效果极为显著.,四种不同饲料对鱼的增重效果极为显著，那么哪一种最好呢？请看下图,此时，第一个图对应第一种饲料且离盒子图中心线较远，
5、效果最突出。如果从原始数据中去掉第一种饲料的试验数据，得到的结果为各种饲料之间对鱼的增重效果不显著.,p=anova1(B(:,2:4),例3.2 为比较同一类型的三种不同食谱的营养效果，将19支幼鼠随机分为三组，各采用三种食谱喂养.12周后测得体重，三种食谱营养效果是否有显著差异？,解：这是单因素非均衡数据的方差分析,A=164 190 203 205 206 214 228 257 185 197 201 231 187 212 215 220 248 265 281;,group=ones(1,8),2*ones(1,4),3*ones(1,7);,p=anova1(A,group),表
6、3-2 饲喂不同食谱鼠的增重,方差分析表,均值盒子图,由于概率p=0.1863比较大，故认为三种食料没有显著差异.,3.多重比较的MATLAB实现,为方便找到具有显著差异的方案，我们给出多重比较的MATLAB命令。,C=multcompare(s),其中输入s，由p,c,s=anova1(b);得到输出的结果；输出C共有5列，其中前两列给出样本编号，后三列分别为两个样本均值差的置信区间与估计量.,练习：对于例3.1，利用多重比较命令进行分析，关键理解输出的含义。,例3.3 四个实验室试制同一型号纸张，为了比较光滑度每个实验室测量了8张纸，进行方差分析,解：,a=38.7,41.5,43.8,4
7、4.5,45.5,46,47.7,58 39.2,39.3,39.7,41.4,41.8,42.9,43.3,45.8 34,35,39,40,43,43,44,45 34,34.8,34.8,35.4,37.2,37.8,41.2,42.8;%输入数据,b=a;%MATLAB只对各列进行分析,p,c,s=anova1(b);%方差分析,c=multcompare(s)%多重比较,表3.3 纸张光滑度数据,若置信区间包含原点则无显著差异，可见只有1,4实验室有显著差异.,另外，软件输出一幅图形，告知1，4有显著差异.,例3.4 内蒙古网络挑战赛C题，就可以用方差分析,比如，考虑承保车辆的车龄统
8、计数据，从2010年9月到2011年3月共有7个月统计数据，我们看成7个水平.根据表3-4分析到期车辆续保率有无差异？,MATLAB程序如下：A=24.83025.22025.06025.84037.27037.76037.81027.45029.08028.81029.22044.77046.28045.35021.64022.24022.19022.37037.09039.03037.22021.16021.95021.86021.71035.31036.85035.34018.50018.42018.34018.70033.68032.78029.00017.23017.82018.00
9、018.34038.24038.21037.24018.01018.45018.74018.96043.78039.22036.39019.66020.07020.06020.14036.84032.49034.41018.92019.80020.24020.21028.00026.42026.85016.47017.12016.82017.71035.71033.87025.36016.51016.49016.41016.76018.52025.48025.650;B=A;%为何转置？p,c,s=anova1(B);C=multcompare(s),输出概率为p=0.04380.05,故不同
10、车龄的到期车辆续保率有显著差异，进一步由多重比较结果可知是1-2年车龄与10年以上的车龄有显著差异.,双因素等重复试验下的方差分析,设试验变化的因素为A,B,他们分别取a,b个不同的水平，记为A1,Aa,B1,Bb.将在水平组合(Ai,Bj)下的试验结果看成随机变量，考虑因素A,B对指标的影响是否显著，仍然假定在水平组合(Ai,Bj)下的指标服从正态分布.,1 统计模型,设影响因变量Y的因素只有两个，分别记为A,B其中因素A有a个不同水平A1,A2,Aa，因素B有b个不同水平B1,B2,Bb在每种水平组合(Ai,Bj)上均做c次(c1)试验，将实验结果yij列成下面的形式.,对于任一水平组合(
11、Ai,Bj)，假设yij1,yij2,yijc为来自正态总体N(ij,2)的一个样本，可得模型,例3.5在某化工产品的生产中，对不同反应温度和催化剂种类重复试验二次，测得产量如下：,表3.5 化工实验数据,2.双因素有交互作用的方差分析的MATLAB实现,p,t,s=anova2(X,resp),其中输入X是一个矩阵；resp表示试验的重复次数输出的p值有三个，分别为各行、各列以及交互作用的概率.,t 是方差分析表，s用于各因素均值估计与比较.,程序如下：X=2.71.382.352.263.31.351.952.131.71.741.673.412.141.561.52.561.93.141
12、.633.172.02.291.053.182.723.511.392.221.853.151.722.19;p,t,s=anova2(X,2),从方差分析表可以看出：不同的温度之间有高度显著差异，温度与催化剂的交互作用也具有高度显著差异.,注意：由于此时交互作用显著，因此利用多重比较可能出现问题,多因素方差分析,在MATLAB软件统计工具箱有多因素方差分析的命令，调用格式如下：,p,t,st=anovan(X,group),例3.6 某集团为了研究商品销售点所在的地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢这三个因素对商品的影响程度，选了三个位置（如市中心黄金地段、非中心的地段、城乡结合部），两种
13、广告形式，两种装潢档次在四个城市进行了搭配试验。表3-6是销售量的数据，试在显著水平0.05下，检验不同地理位置、不同广告、不同装潢下的销售量是否有显著差异？,表3-6 四城市销售量的数据,Q=955 967 960 980927 949 950 930905 930 910 920855 860 880 875880 890 895 900860 840 850 830870 865 850 860830 850 840 830875 888 900 892870 850 847 965870 863 845 855821 842 832 848;g1=ones(4,1);2*ones(4,
14、1);3*ones(4,1);g2=ones(2,1);2*ones(2,1);ones(2,1);2*ones(2,1);ones(2,1);2*ones(2,1);g3=1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;for j=1:4p(:,j)=anovan(Q(:,j),g1,g2,g3);endp,程序如下：,p=0.0036 0.0039 0.0004 0.0588 0.0055 0.0442 0.0018 0.0346 0.0099 0.0204 0.0149 0.3111,其中P的每一列分别表示每个城市三因素方差分析的概率；每一行分别表示销售点地理位置、广告和装潢的概率.,请
15、同学们给出结果的合理解释,练习：1992 年A题：施肥效果分析,某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、钾(K)、磷(P).某作物研究所在该地区对土豆与生菜作了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示，其中ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示公斤.当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N 的施肥量作实验时，P 与K 的施肥量分别取为196kg/ha 与372kg/ha,对于=0.1，试分析施肥量与产量之间的关系.,提示：首先利用EXCLE表将原始表格进行整理后用三因素方差分析.,表1 土豆产量与施肥量的关系,A=0 196 372 15.18
16、;34 196 372 21.36;67 196 372 25.72;101 196 372 32.29;135 196 372 34.03;202 196 372 39.45;259 196 372 43.15;336 196 372 43.46;404 196 372 40.83;471 196 372 30.75259 0 372 33.46;259 24 372 32.47;259 49 372 36.06;259 73 372 37.96259 98 372 41.04;259 147 372 40.09;259 196 372 41.26;259 245 372 42.17259
17、294 372 40.36;259 342 372 42.73;259 196 0 18.98;259 196 47 27.35259 196 93 34.86;259 196 140 38.52;259 196 186 38.44;259 196 279 37.73259 196 372 38.43;259 196 465 43.87;259 196 558 42.77;259 196 651 46.22;y=A(:,4);g1=1:10,7*ones(1,20);g2=7*ones(1,10),1:10,7*ones(1,10);g3=7*ones(1,20),1:10;p=anovan(y,g1,g2,g3),p=0.0542 0.3213 0.0762,由于=0.1，所以氮肥与钾肥的施用量对土豆的产量有显著差异，而磷肥效果则不显著.,
