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1、HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,“抛硬币”、“掷骰子”等随机试验的特征：,怎样计算等可能概型中事件的概率,每个基本结果的出现是等可能的,只有有限个基本结果,等可能概型,设随机试验 的样本空间为 若,只含有限个样本点,即,每个样本点的出现是等可能的,即,问,？,等可能概型的概率计算,设 是等可能概型的任一事件,，则有,有利场合,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,古典概型的概率计算公式,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率,该试验的样本空间为,他计算得,解,例,这是一个古典概型,事件“一
2、个正面一个反面”的有利,场合是,18世纪著名的法国数学家达朗贝尔取样本空间为,这不是等可能概型！,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,故所求概率为,解,例,袋中有 只白球，只红球.从袋中任取 只球，,求取到 只白球的概率.,从 只球中任取 只，样本点总数为,取到 只白球的有利场合数为,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,二、古典概型的几类基本问题,乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。（也可推广到分若干步）,复习：排列与组合的基本概念,HENAN POLYTECHNIC UNIVERS
3、ITY,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。（也可推广到若干途径）,这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,
4、n-1,n-2,n-k+1,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有,种取法.,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球,现从袋中无放回地一次同时摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,古典概型的基本模型:摸球模型,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,问题2 设袋中有4 只白球和 2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,注意问题1和问题2的区别与联系,HENAN POLYTE
5、CHNIC UNIVERSITY,问题3 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,将 只球随机地放入 个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率。,任一只球进任一盒子是等可能的,故这是古典概型问题,故所求概率为,样本点总数为,“每个盒子至多有一只球”的有利场合数为,解,例,分析,基本事件,古典概型的基本模型:分球入盒模型(分房）,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,球-粒子，盒子-相应空间中的小区域,
6、则这个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔波尔茨曼（Maxwell-Boltzmann）统计,分房模型的两个应用实例,参加某次聚会共 个人,求没有两人生日相同的概率,分析,只球,个人,个人生日各不相同,则,天,个盒子,至少有两人生日相同,结果有点出乎人们意料,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?（随机取数模型）,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,例,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,于是所求概率为,HENA
7、N POLYTECHNIC UNIVERSITY,注记,实际推断原理:,小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,例,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周
8、四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,古典概型的特点：,基本事件的等可能性,有限个样本点,怎样推广到“无限个样本点”而又有某种“等可能性”？,认为任一点能钻探到石油是等可能的,则所求概率为,某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问能够发现石油的概率是多少？,解,例,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,发生的概率定义为,如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则“面积”改为“长度”、“体
9、积”,几何概型的定义,设随机试验的样本空间为有界区域 事件,试验结果落在区域 中,注：,事件 发生的概率与位置无关,只与 的面积有关，这体现了某种“等可能性”,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,(约会问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。,这是一个几何概型，所求概率是,设 分别表示两人达到的时间，则两人能会面的充要条件是,解,例,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,蒲丰投针试验,1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(ba)的针,试求针与某一平行直线相交的概率.,解,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY,如图，设试验E 为“随机地向边,长为1 的正方形内投点”事件A 为“点投在黄、灰两个三角形内”,由于点可能投在正方形的对角线上,所以事件A未必,一定发生.,求,概率为1的事件是否一定为必然事件（发生）？,
