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1、为学生插上创新的翅膀,一、数学核心素养的构建,数学核心素养是数学课程目标的集中表现，在学生自主发展中发挥不可替代的作用，在数学学习过程中逐步形成。数学素养包含具有数学基本特征的必备思维品格和关键能力，是数学知识、技能、能力及情感、态度、价值观的综合体现。数学核心素养是数学素养中最基本、最重要的组成部分，它既制约课程内容主线，聚焦课程目标要求，也是学业质量要求的集中反映。在中学阶段它包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。,二、教师专业发展的三大基石,理解数学理解学生理解教学特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了理解数学的高度，同时也决定了教学所能达到的水
2、平和效果。,三、理解数学知识的意蕴,知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它是知识的精义和主旨所在。数学知识是高度抽象的，她的语言（特别是数学符号、图表语言）是高度概括、凝练的。正是这种高度的抽象性才使数学成为连接现实世界与人类智慧的桥梁，使数学语言成为表达客观世界结构的唯一精准语言。因此数学知识的意蕴就在它的高度抽象性之中。,只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值有着天然联系。数学知识的意蕴是启
3、动、维持与深化认识活动的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和解决问题能力的根基所在。,从培养创新人才出发,应紧紧围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这四条主线,让学生有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题,创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想,以及从定性到精确定量的基本过程等。数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题值得研究，如何构建研究路径，如何得到研究方法；如何用已有知识去解决问题，发展新知识；等等。,例 几个“简单”概念的理解,空间中的“位置”差异用什么表
4、示？空间中的“方向”差异用什么表示？如何刻画直线的“直”？如何刻画平面的“平”？,“位置”是宇宙空间的最基本要素，位置用“点”表示；直线段是连接两点的最短通路，两个点的位置差异用有向线段的长度表示；两个“方向”的差异用角度表示；直线的“直”用点与直线之间的位置关系刻画；平面的“平”用点、直线、平面之间的位置关系来刻画。,理解数学知识的三重境界,知其然 知其所以然 何由以知其所以然 启发学生，示以思维之道耳！,四、数学思维再认识,思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维。思维的工具是语言；思维的形式是概念、判断
5、、推理等；思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。,一个结构,数学地认识事物的基本结构：定义概念推导性质建立联系实践应用。先从数、形的角度抽象事物的本质属性，定义概念从而明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而获得性质；建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。,两个方向（方面）,数学思维有两个相辅相成的方向或方面归纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的本质
6、，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不到的效果。,三种语言,数学思维的工具：符号语言、图形语言和普通文字语言。数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。数学符号是内涵丰富的“信息块”，因而成为数学思维活动的理想载体。另外，数学符号语言能缩短数学思维过程，使之变得简约、精练。,四种形式,数学思维的基本形式：逻辑推理代数运算几何直观数形结合,逻辑推理,逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑规则推出结论的思维过程。认识问题
7、的要点在于把握好本质，发现问题；解决问题的任务是运用“已知”之性质去推论“待知”之性质。概括言之，乃是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推理就是这种以简驭繁的实践与步骤。,代数运算,“代数学的根源在于代数运算”，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想；数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式；代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点。,几何直观,几何直观是利用几何概念抽象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构特征，用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用图形及其关系认知、表达事物的本质和关系，几何直观是展开逻辑推理的思维
8、基础。,数形结合,用几何图形表示数量关系；把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果；这是数学思维的变通、灵活性的表现，也是数学发展的有力手段，坐标法、函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与几何等都是数形结合的思维产物。,N种因地制宜的具体思维方法,针对具体数学问题的思维方法：观察、假说、实验法、确证等科学思维方法在数学研究中有用武之地；观察引领思考，事物现象的因果关系、事物的特征和构成要素、以及如何介入其中创造出我们想要的变化等，都能从观察中获得启示；综合法与分析法、顺证法与反证法，数学归纳法是常用的思维方法。,数学思维,一个结构，两个方向，三种语言，四种形式演化出千变万化、赏心悦目的思维
9、方法。数学思维是人类智慧的最精彩绽放。好比一棵参天大树，“一个结构，两个方向，三种语言，四种形式”是根和主干，千变万化的具体方法则是其枝和叶。当前课堂教学中的普遍问题是，把注意力集中到了“枝繁叶茂”的追求，而忘却了“根和主干”的重要性。,五、发挥一般观念的引领作用,数学教学的高立意。使学生明白数学思维之道的关键点。,数学教材呈现的“研究之道”,一般按“背景（实际背景、数学背景）定义（内含、表示）分类（以要素为标准）性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）联系（应用）”的逻辑展开。这个系统具有一般意义，是科学研究的“基本之道”。教师以此为基本依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个逻辑过
10、程，是“使学生学会思考”的关键之一。,如何激发学生独立思考,有效数学学习的两个基本条件：一是好的学习素材，二是有效的研究思路和方法。为学生提供典型而丰富的学习素材，让学生展开独立思考，并在思考的方向和思想方法上作适当引导，是“使学生学会思考”的又一关键。,平面几何的研究思路和方法,平面图形中，三角形是最简单的，圆是最完美的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用。三角形是最基本的。得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到了研究几何图形的一个典范研究其他几何对象都可以循着这样的思路展开，同时还得到了一个“工具”，因为我们往往利用三角形的性质去分析其他几何图形的性
11、质。,三角形性质的研究思路和方法,以三角形的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究。显然，这是一般观念指导下的研究。,思考一 几何图形的性质指什么？思考二 你认为可以怎样构建三角形性质的研究框架？怎样引导学生独立发现三角形的性质？思考三 类比三角形的研究思路和方法，你认为可以怎样引导学生独立构建四边形的研究路径，得到平行四边形的有关结论？思考四 圆又该如何研究？,小结,数学教学的根本任务是发展学生的思维能力，说到底就是要使学生在面对问题时总能想到办法。注重一般观念的思维引
12、领作用，可以提高思维的系统性、结构性，有效克服“做得到但想不到”的尴尬，使数学的发现更具“必然性”，是实现数学育人目标的重要途径。,六、为学生创造归纳的机会,唯有还原数学知识的探索过程，按人类认识事物的本来面目设计教学过程，才能真正达成教学方式的实质性变化。在学生熟悉的背景下，从具体事例中，通过“归纳演绎”而学习数学概念，关键是让学生获得理解概念本质所需要的亲身体验，这种体验构筑了理解抽象概念的背景和根基，也是学生能掌控自身学习过程的必要条件。当前应更加强调归纳。,例 函数概念的归纳过程,四个基本问题（1）函数的现实背景各是什么？刻画了哪类运动变化现象？（2）决定这些运动变化现象的要素是什么？
13、（3）要素之间的相互关系如何？（4）可以用什么数学模型来刻画？,（1）是搞清楚这类变化过程的基本特征，明确此现象与彼现象的差异点，从而精确区别不同变化现象，是明确问题的过程；（2）、（3）是对这类运动变化现象的深入分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，这里的“依赖关系”常常要借助于运算而建立对应关系；（4）是以“依赖关系”为导向，利用代数、几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、图形等加以明确。,一次函数,现实背景：物体作匀速直线运动，其特征是运动的速度（即位移与时间的比值）是一个定值。决定运动状态的要素：速度v、时间t和位移S。这里，v是常量，t和S是变量；“速度是一个定值”是此类运动区别于
14、它类运动的关键点，它的实际意义是在相同的时间段上物体的位移也相同，这是一种均匀变化。,要素之间的相互关系,数学模型：对于不同类型的问题，都有一个从具体事例到一般规律的归纳过程，得到了各种各样的一次函数。在此基础上，再对它们进行共性的归纳，可以得到一次函数模型y=kx+b。这里，特别要注意k和b的意义：b是初始条件；函数值y随自变量x的变化而变化的过程中，函数值的改变量与自变量的改变量的比值是常数k，k的绝对值越大，改变得越快。这里特别要强调以实际问题为依托理解k，b的意义。,思考：二次函数概念的归纳过程该如何构建？反比例函数呢？,七、通过类比发现和提出问题,类比的含义类比的特点类比的一般模式,
15、代数中的类比,类比“有理数”的研究过程和方法，构建“代数式”的研究框架你认为“整式的乘法”该如何开篇？类比等式的性质研究不等式的性质。类比解二元一次方程组的思想方法，获得解一元二次方程的思想方法。,八、通过推广、特殊化发现和提出问题,三角形、四边形中的特殊化，位置关系的特殊化平行与垂直；乘法是特殊的加法，乘方是特殊的乘法；字母代表数一般化，一般化中的特殊问题：分式、根式的范围限制，等与不等的问题方程、不等式，等等；运算中的一般化和特殊化乘法公式与因式分解；,九、使学生掌握研究数学对象的方法,数学观念和具有一般意义的数学思想方法的指导保证高立意。好的教学既需要有好的想法，也需要有能够落实的具体措
16、施，变成学生面对问题时可以实施的行动。一般而言，研究一个具体的数学对象（即使是解一个有思维含金量的数学题目），往往需要经历从定性到定量、从具体到抽象、从宏观到微观的过程。,例“平面图形的旋转”的教学,课标要求（1）通过具体实例认识平面图形的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。（2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。（3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性。（4）认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。,
17、内容结构,概念和性质特例（性质）数学内部的应用实际应用其中，“概念和性质”是基础，是重中之重。,如何确定一个旋转的条件,平面图形的旋转，就是通过对图形实施旋转变换，把一个图形从一个位置变到另一个位置。这里，图形从一个位置变到另一个位置，需要做到“唯一确定”。什么叫“唯一确定”？“三要素”的根源。,如何让学生认识“三要素”,思考：如果缺少其中某个条件的话，旋转后的图形能唯一确定吗？为了激发学生的独立思考，可以让他们进行如下活动：任意画一个ABC，（1）绕点A旋转30，得到的结果怎样？（2）分别绕点A和点B逆时针旋转30，得到的结果一样吗？（3）绕A点逆时针旋转，得到的图形有多少个？（4）给定哪些
18、条件才能使旋转后的图形唯一确定？有人认为这样问“牵”的味道浓，你有好办法吗？,如何引导学生探究性质,假探究,宏观观念的指导,变化中的不变性就是性质；旋转的性质是旋转前后两个图形的关系，所谓“两个图形的关系”，就是它们的形状、大小关系和位置关系。研究一个数学对象的性质，要充分利用确定这个对象的要素。这些是“宏观观念”，是探究性质的指路明灯。,问题引导下的探究,1.你认为研究旋转的性质就是要研究什么？意图：使学生明确研究的目标旋转前后两个图形的关系，变化中的不变性。2.具体而言就是要研究什么呢？意图：使学生明确具体的研究思路两个图形对应元素之间的关系。追问：什么关系？形状、大小和位置关系等。,3.
19、研究中要利用哪些知识？意图：使学生明确从概念出发研究性质，利用三要素得出性质。4.观察变化前后的两个图形，你能立即得出图形旋转前后有哪些不变性？意图：从宏观到微观得出性质图形的形状、大小都不变，所以两个图形全等。,5.你觉得对应元素有哪些？它们有什么不变性？意图：使学生养成有序思考的习惯，培养他们发现性质的能力对应点、对应线段、对应角、对应面等。追问1：对应点的不变性怎么体现？（如何利用三要素？）你能证明对应线段的长度不变吗？追问2：你认为还有什么不变性？（图形中的位置关系保持不变，如垂直关系、平行关系等）,结束语,对未知事物的探索是学生的天性，需要教师倍加爱护，我们常常因自己对学生心理的无知，低估学生的创造力而无意间扼杀了这种天性；学生的创新思维需要教师的激发，使学生学会思考是数学教育的意义所在；要激发学生的创新思维，教师自己应先学会思考，归纳、类比、推广、特殊化是基本的发现与创新之道；以一般观念为指导，通过问题引导思考，给学生创设独立概括概念、性质、公式、法则的机会，这是教师的教学智慧所在。,数学育人使学生在数学学习中树立自信，坚定正念，增强定力，激励精进，启迪智慧，净化心灵。,谢谢倾听请提宝贵意见,
