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1、1,第五章 弯曲变形,一、工程实例,5-1 基本概念及工程实例,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,1、挠度(deflection)横截面形心 C(即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位移,称为该截面的挠度，用w表示。,二、基本概念,2、转角(slope)横截面对其原来位置的角位移，称为该截面的转角，用 表示。,3、挠曲线(Deflection curve)梁变形后的轴线称为挠曲线.,式中，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w 为该点的挠度。,挠曲线,4、挠度与转角的关系,
2、8,直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。,第五章 梁弯曲时的位移,5、挠度和转角符号的规定,挠度：向上为正，向下为负。（刘）向下为正，向上为负。（孙）,转角：自x 转至切线方向,逆时针转为正，顺时针转为负。（刘）顺正逆负。（孙）,一、推导公式,5-2 梁的挠曲线近似微分方程,1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系,在4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率
3、为,这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。,11,在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有,注意：对于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。,第五章 梁弯曲时的位移,2、由数学得到平面曲线的曲率,式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变
4、形程度的非负值的量，而w是q=w 沿x方向的变化率，是有正负的。,在规定的坐标系中,x 轴水平向右为正,w轴竖直向上为正.,曲线向上凸时,曲线向下凸时:,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程,与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为,15,第五章 梁弯曲时的位移,再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w，正弯矩对应于负值的w，故从上列两式应有,由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程,一、微分方程的积分,若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成,5-3 积分法计算梁的挠度和转角,1、积分一次得转角方程,2、再积分一次,得挠度方程,二、
5、积分常数的确定,1、约束条件(constraint condition),例题5-1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁,在自由端受一集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度 和最大转角,w,(1)弯矩方程为,解：,(2)挠曲线的近似微分方程为,对挠曲线近似微分方程进行积分,梁的转角方程和挠曲线方程分别为,边界条件,将边界条件代入(3)(4)两式中,可得,解:由对称性可知，梁的两个支反力为：,此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,梁的转角方程和挠曲线方程为,在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，,在梁跨中点处有最大挠度值,边界条件 x=0 和 x=l 处
6、，=0,若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条件。,第五章 梁弯曲时的位移,2、连续条件(continuity condition),例题5-3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角。,A,B,F,D,a,b,l,解:
7、梁的两个支反力为,两段梁的弯矩方程分别为,两段梁的挠曲线方程分别为,挠曲线方程,转角方程,挠度方程,挠曲线方程,转角方程,挠度方程,D点的连续条件,约束条件,在 x=a 处,在 x=0 处，,在 x=l 处，,代入方程可解得,1,2,将 x=0 和 x=l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角,当 a b 时,右支座处截面的转角绝对值为最大,当 a b时,x1 a 最大挠度确实在第一段梁中,梁中点 C 处的挠度为,结论：在简支梁中，不论它受什么荷载作用，只要挠曲线上无 拐点，其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，其精确度是能满足工程要求的。,梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在
8、几项荷载(可以是集中力、集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角，分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿y轴方向)，其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和。这就是叠加原理(principle of superposition)。,一、叠加原理,5-4 按叠加原理计算梁的挠度和转角,1、载荷叠加 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,2、结构形式叠加（逐段刚化法）,例题5-4 按叠加原理求A点转角和C点挠度。,解:(1)载荷分解如图,(2)由梁的简单载荷变形表，查 简单载荷
9、引起的变形。,B,(3)叠加,例题5-5 一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC 和支座处横截面的转角A,B。,解：将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示,例题5-6 试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC和两端截面的转角A,B。,解：可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。,（1）正对称荷载作用下,（2）反对称荷载作用下,在跨中C截面处,挠度wC等于零，但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零。,可将AC段和BC段视为受均布线荷载作用且长度为l/2 的简支梁。,可得到：,(3)将相应的位移进行叠加，即得,44,45,解：将外伸梁沿B
10、截面截成两段，将AB段看成B端固定的悬臂梁，BC 段看成简支梁。,B截面两侧的相互作用为：,46,由叠加原理得:,(1)求 B，wD,47,(2)求wA,由于简支梁上B截面的转动,带动AB段一起作刚体运动,使A端产生挠度w1,悬臂梁AB本身的弯曲变形,使A端产生挠度w2,因此，A端的总挠度应为,由附表查得,48,5-5 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施,一、梁的刚度校核,对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffness condition)。,第五章 梁弯曲时的位移,49,土建工程中通常只限制梁的挠跨比，。在机械工程中
11、，对于主要的轴，；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，。,第五章 梁弯曲时的位移,式中，l为跨长，为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。,二、提高梁刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以,要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。,1、增大梁的抗弯刚度EI,由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴
12、的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。,51,图示跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为,2、调整跨长和改变结构的体系,第五章 梁弯曲时的位移,桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值。,52,如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为,而且跨中挠度减小为,第五章 梁弯曲时的位移,53,而此时外伸端D和E的挠度也仅为,第五章 梁弯曲时的位移,54,所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个
13、铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。,第五章 梁弯曲时的位移,55,5-6 梁内的弯曲应变能,在本教材的3-6中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压(拉)时弹簧高度变化量的计算公式。,本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve，并利用功能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。,第五章 梁弯曲时的位移,56,等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率 为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为,第五章 梁弯曲时的位移,57,图b示出了Me与q 的上列线性关系。图b中斜直线下的三角形面积即代表
14、外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中，外力偶所作的功：,它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：,将 代入上式可得,第五章 梁弯曲时的位移,58,梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在5-2开始时所述，工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为,第五章 梁弯曲时的位移,59,从而全梁内的弯曲应变能为,式中，M(x)为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。,此式在求梁系(例如两根交叉在一起的梁)的变形时是有用的。,顺便指出，由于直梁横力弯曲时，因此上式也可写作,第五章 梁弯曲时的位移,60,例题5-8 求图示等直梁的弯曲应变能Ve，并利用功能原理求自由端A的挠度wA。,第五章 梁弯曲时的位移,61,解：梁的弯矩表达式为M(x)=Fx，于是得弯曲应变能,自由端的集中力由零增加到最终值F的过程中所作的功为,根据功能原理，有 W=Ve，即,第五章 梁弯曲时的位移,从而得,所求得的wA为正值，表示wA的指向与集中力F的指向相同，即向上。,
