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1、 2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 483 中国高考数学母题(第148号)数据处理与图表信息题 统计与概率是课标高考解答题中的必考题,在文科中,统计的份量大于概率的份量,单纯考查统计的试题可分为:数据处理、频率分布和图表信息型.母题结构:()(数据处理)数据处理包括两个层次的内容:一是数据整理:使用茎叶图和频率分布表;二是数据计算:数据x1,x2,x3,xn中,各数据减去同一个数方差不变;()(频率分布)频率分布及其直方图是统计中的重要图表,对频率分布直方图的认识要注意纵轴(频率/组距)表示意义;()(图表信息)认识统计图表,并从中提取其中有价值的信息,是
2、统计学的基本内容.母题解析:略. 1.数据处理 子题类型:(2009年安徽高考试题)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进行对照试验.两种小麦各种植了25亩,所得亩产数据(单位:千克)如下:品种A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454;品种B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,41
3、2,415,416,422,430.()完成所附的茎叶图; ()用茎叶图处理现有的数据,有什么优点？()通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论.解析:()茎叶图如图所示;()由于每个品种的数据都只有25个,样本不大,画茎叶图方便;茎叶图可清晰地展示数据的分布情况,便于比较;茎叶图可记录原始数据,设有信息损失;在茎叶图中,可随时记录新的数据;()品种A的亩产平均数比品种B高;品种A的亩产稳定性比品种B差.点评:数据处理是统计的基本且根本的思想方法,主要有两种方式:茎叶图:利用茎叶图对相关数据进行整理;频率分布直方图:编制频率分布及其直方图,同一组中的数据用该组区间的
4、中点值作代表是估计总体均值的常用方法.同类试题:1.(2013年课标高考试题)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.6,1.2,2.7,1.5,2.8,1.8,2.2,2.3,3.2,3.5,2.5,2.6,1.2,2.7,1.5,2.9,3.0,3.1,2.3,2.4;服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.2,1.7,1.9,0.8,0.9,2.4,1.2,2.6,1.3,1.4,1
5、.6,0.5,1.8,0.6,2.1,1.1,2.5,1.2,2.7,0.5.()分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？()根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？2.(2010年安徽高考试题)某市2010月1日4月30日对空气污染指数的检测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.()完成频率分布表; ()作出频率分布直方图;()根据国家标准,污染指数在050之间时,空气质量为
6、优:在51100之间时,为良;在101150之间时,为轻微污染;在151200之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 2.频率分布 子题类型:(2009年课标高考试题)某工厂有工人1000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外 484 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数).()求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B
7、类工人;()从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论);分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).解析:()甲、乙被抽到的概率均为,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率P=;()由题意知A类工人中应抽查25名,B类工人中应抽查75名;由4+8+x+5+3=25x-5,6+y+3
8、6+18=75y=15;频率分布直方图如下:从直方图可以判断:B类工人中个体间的差异程度更小;=105+115+125+135+145=123;=115+125+135+145=133.8;=123+133.8=131.1.A类工人生产能力的平均数,B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.点评:频率分布及其直方图是统计中的重要图表,频率分布直方图是高考重点考查的对象,编制频率分布及其直方图是利用频率分布及其直方图分析解决有关统计问题的基础.同类试题:3.(2012年广东高考试题)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示.
9、其中成绩分组区间是:50,6060,7070,8080,9090,100.()求图中a的值;()根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;()若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在50.90之外的人数.4.(2014年北京高考试题)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:()从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;()求频率分布直方图中的a,b的值;()假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替
10、,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写结论). 2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 485 3.图表信息 子题类型:(2016年高考全国乙卷试题)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的
11、费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.()若n=19,求y与x的函数解析式;()若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;()假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解析:()当x19时,y=3800;当x19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700;()由柱状图知,需更换的易损零件数不大于18的频率=0.45,不大于19的频率=0.7n的最小值=19;()若都购买19个
12、易损零件,则费用为:1920070+20500+250010=286000元;若都购买20个易损零件,则费用为:2090200+50010=410000元.所以每一台机器购买19个零件划算.点评:在统计学中,除常见茎叶图和频率分布及其直方图外,还有扇形图、柱状图和趋势图等,认识、掌握这些统计图表,并从中挖掘出蕴含的统计意义,是解决有关统计问题的基础.同类试题:5.(2012年北京高考试题)近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如
13、下(单位:吨):()试估计厨余垃圾投放正确的概率;()试估计生活垃圾投放错误额概率;()假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中a0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.6.(2013年北京高考试题)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市,并停留2天.()求此人到达当日空气重度污染的概率;()求此人在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率;
14、()由图判断,从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明). 4.子题系列:7.(2014年广东高考试题)某车间20名工人年龄数据如下表:()求这20名工人年龄的众数与极差;()以这十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;()求这20名工人年龄的方差. 486 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 8.(2013年安徽高考试题)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中为各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:()若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.
15、05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);()设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为,估计-的值.9.(2012年安徽高考试题)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时,则视为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5000件进行检测,结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm),将所得数据分组,得到如下频率分布表:()将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置;()估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1
16、,3内的概率;()现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.10.(2015年广东高考试题)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300分组的频率分布直方图如图.()求直方图中x的值;()求月平均用电量的众数和中位数;()在月平均用电量为220,240),240,260),260,280),280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取多少户？11.(201
17、1年辽宁高考试题)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.()假设n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率;()试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表,分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种？12.(2014年福建高考试题)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为103540
18、85美元为中等偏下收入国家;人均GDP低于408512616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区.各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:()试判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;()现从该城市的5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家的标准的概率. 5.子题详解:1.解:()A药观测数据的平均数=2.3,B药观测数据的平均数=1.6A更好;()绘制如下茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好
19、.2.解:()如右表:()频率分布直方图如图:()答对下述一条即可:该市一个月中,有2天处于优的水平,占当月天数的1/15;有26天处于良的水平;占当月天数的13/15;处于良或优的有28天,占当月天数的14/15.说明该市空气质量基本良好;轻 2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 487 微污染有2天,占当月天数的1/15;污染指数在80以上的接近轻微污染有15天,加上处于轻微污染的天数17,占当月天数的17/30,超过50%,说明该市空气质量有待进一步改善.3.解:()由10(2a+0.02+0.03+0.04)=1a=0.005; ()100名学生语文成
20、绩的平均分为73分;()由数学成绩在50,60)的人数为1000.05=5,在60,70)的人数为20,在70,80)的人数为40,在80,90)的人数为25数学成绩在50,90)之外的人数=100-5-20-40-25=10.4.解:()由频率分布表知:周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90周课外阅读时间少于12小时的频率=0.9周课外阅读时间少于12小时的概率=0.9;()由频率分布表知:数据在4,6)的频数为17频率=0.17a=0.172=0.085;数据在8,10)的频数为25频率=0.25b=0.252=0.125;()数据的平均数为10.06+30
21、.08+50.17+70.22+90.25+110.12+130.06+150.02+170.02=7.68(小时)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组.5.解:()由表知:厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨厨余垃圾投放正确的概率=;()由表知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300生活垃圾投放错误的概率=0.3;()由a+b+c=600a,b,c的平均数为200s2=(a-200)2+(b-200)2+(c-200)2=(a2+b2+c2-120000);由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2a2+b2+c2360
22、000当a=600,b=0,c=0时,方差s2最大=80000.6.解:()因停留2天,所以应该在3月1日至13日中的某天到达,共有13种选择,其中重度污染的有两天P1=;()此人停留的两天共有13种选择,分别是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(10,11),(11,12),(12,13),(13,14),其中只有一天重度污染的为(4,5),(5,6),(7,8),(8,9),计4种P2=;()由第5,6,7三天的空气质量指数波动最大方差最大.7.解:()这这20名工人年龄的众数为30,极差为40-19=21; ()茎叶图如图:(
23、)由年龄的平均数=30这20名工人年龄的方差为S2=12.6.8.解:()设甲校高三年级学生总人数为n,由题意知,=0.05n=600;样本中,甲校高三年级学生联考数学成绩不及格人数为5及格率=1-=;根据样本估计总体的原则,估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率=;()设甲、乙两校样本的平均成绩分别为、,由样本茎叶图知,30(-)=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=15-=0.5;根据样本估计总体的原则,估计-=-=0.5.9.解:()如下频率分布表:()由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区
24、间(1,3内的概率=0.5+0.2=0.7;()设这批产品中的合格品的件数为n,由题意知,50:5000=20:(n+20)20:(n+20)=1:100n=1980,所以,这批产品中的合格品的件数为1980.10.解:()由20(0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+0.0125)=1x=0.0075;()月平均用电量的众数是(220+240)=230;因为(0.002+0.0095+0.011)20=0.450.5,所以月平均用电量的中位数在220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)20+0.0125(a-220)=0.5a=
25、224;()月平均用电量为220,240)的用户有0.012520100=25户,月平均用电量为240,260)的用户有0.07520100= 488 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 15户,月平均用电量为260,280)的用户有0.00520100=10户,月平均用电量为280,300)的用户有0.002520100=5户,抽取比例为=月平均用电量为220,240)的用户中应抽取25=5户.11.解:()设第一大块地中的两小块地编号为1,2,第二大块地中的两小块地编号为3,4,令事件A=“第一大块地都种品种甲”;从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本
26、事件共6个:1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,而事件A包含1个基本事件:1,2P(A)=;()品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:= 400,s12=57.25;品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为,=412,s22=56;品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且品种乙的的样本方差小于品种甲的样本方差,故应该选择种植品种乙.12.解:()设该城市人口总数为n,则该城市人均GDP=6400该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准;()从该城市5个行政区中随机抽取2个有:A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共10种,其中,抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家的标准的有:A,C,A,E,C,E,计3种概率P=0.3.
