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1、第六讲 杂题真题模考1. 一次数学考试满分是分，位同学在这次考试钟的平均分是分，这位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分?【分析】 要使第三名的同学得分最低，就要让其他同学的得分尽可能高。分，分 至此，问题转化为：三人的总分是分，第一名最低得：分2. 在德国不来梅举行的第届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第堆只有层，就一个球；第，。堆最底层(第一层)分别如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则 ； 【分析】3. 位小学生的平均身高为
2、米，其中有一些低于米的，他们的平均身高是米，另一些高于米的学生平均身高是米。那么最多有多少位学生的身高恰好是米？【分析】 设低于米的有个，高于米的有个。 由于，必须是不大于的正整数，所以，最小的解是，。 最多有位学生的身高恰好是米 4. 一个小口袋中放了 相同大小的红黄蓝三种颜色的球若干个,小明闭着眼睛从口袋中任意取出7个球,他发现不管怎么取,这7个球中都有红黄蓝色的球至少各一个,那么口袋中最多可能有多少个球？【分析】 个 ，5. ,五位小朋友进行象棋单循环比赛(每两人赛一盘),已知、已赛过的盘数依次是、盘，此时，赛了几盘？【分析】 下了盘根据下了盘，说明和、每个人都下了。（这是下的第一盘棋）
3、根据下了一盘，且上面已经知道这盘是和下的，所以，这说明和都没和下过。根据下了盘，且由上面可以知道，没有和下过，所以得出结论，是和、下了盘棋（这是下的第二盘棋）根据下了盘棋，由上述已知，和、下了棋，所以肯定没和下。根据上述条件，可知，下了盘棋。因为赛了盘，所以是和所有人都下了一盘 又因为赛了盘，所以只是和下了 。此时，赛了盘，除去和下的一盘之外，剩下两盘是分别和、下的。 所以下了盘是分别和、下的 。所以下了盘，是和、下的。6. 在一条公路上，每隔千米有一个仓库，共有、五个仓库（如图所示）。一号仓库存有吨货物，二号仓库存有吨货物，五号仓库存有吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在
4、一个仓库裏，如果每吨货物运输千米需要元运费，那么最少要花多少运费才行?【分析】 货物总重量为（吨），可以看出，各仓库的货物重量均不超过总重量的一半65吨，因此应向中间集中，将E仓库的货物运至仓库，此时仓库货物重量为吨，超过了吨，所以集中运到仓库运费最少。 运费（元） 7. 甲乙二人轮流在黑板上写下不超过的自然数，规定每次在黑板上写的数要满足它不是黑板上已有的任一数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写,试问谁一定获胜?【分析】 不超过的自然数。 甲先写，这时可以写的数只有、。把它们分成三组：（，）、（，）、（，）。这样，乙写某组数中的一个时，甲就写同一组中的另一个数，从而甲一定获胜。8
5、. 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对和可进行这样的连续变换：，。直到两数相同为止。问：对和进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？【分析】 如果两个数的最大公约数是，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为和的最大约数是，所以最后得到的两个相同的数是。说明: 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。9. 在黑板上写上、。按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和。然后写上它们的差（大数减小数)。
6、直到黑板上剩下一个数为止。问黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?【分析】 根据等差数列求和公式，求出黑板上开始所有数的和为 是一个偶数，而每一次“操作”。将变成了实际上总和减少了，即减少了一个隅数。因为从整体上看。总和减少了一个偶数，其奇偶性不变。所以最后黑板上剩下一个偶数。10. 有甲、乙两个容器，甲容器中有立方分米的水，乙容器是空的。第一次先将甲容器里的水倒入乙容器中，第二次再将乙容器里的水倒入甲容器中。第三次将甲容器里的水倒入乙容器中。第四次又将乙容器里的水倒入甲容器中，照这样来回倒下去，一直倒了次之后，甲、乙容器里各有水多少立方分米?【分析】 由题意，当第奇数次将乙容器里的水倒入甲容
7、器中时，两个容器中的水是相等的，都是，当第偶数次将乙容器里的水倒入甲容器中时，是将乙容器中的水的倒到甲容器中，所以，次之后，甲容器中的水有：立方分米，乙容器的水有：立方分米考点拓展【例1】 小红和小明举行象棋比赛,按比赛规定,谁先胜头两局谁赢,如果没有胜头两局,谁先胜三局 谁赢,共有多少钟可能的情况?【分析】 （法一）以表示胜、表示负： 甲比乙： , ,共种。（法二）一共种。其实可以这样考虑，比完局，一定会有结果。这样我们可以排出比赛结果的全排列，再考虑哪些情况不需要比较到最后，请看：（表示甲输，表示甲赢）=以上只要比两局就可以定胜负，全部是甲输，所以视为情况一=甲、两局连续输，情况二=局分胜
8、负，甲输，情况三=局分胜负，甲赢，情况四=局分胜负，甲输，情况五=局分胜负，甲赢，情况六=第局就分胜负，甲赢，情况七=第局就分胜负，甲输，情况八=第局分胜负，甲输，情况九=第局分胜负，甲赢，情况十=第局分胜负，甲输，情况十一=第局分胜负，甲赢，情况十二=第局分胜负，甲赢，情况十三=局分胜负，甲赢，情况十四【例2】 在一个国家里，国王要建个城市，在城市之间建条道路，使得从每个城市都能到达另一个城市(每条道路连接两个城市，道路不相交，不穿过其它城市)且一个城市到另一个城市最短路线分别为,，。若(1)；(2)； 国王的要求能否办到? 【分析】 （1）时，可以按如下的方法设计道路。设,为六个城市，从引
9、出三条道路，分别通向,，长度分别为，。从再引出两条道路，分别通向,，长度分别为4，8。此时即可满足要求，所以时，国王的要求可以办到。（2）根据在个城市之间建条道路可知，从一个城市到另一个城市只有唯一的路线。把城市染成红色，若城市与之间的路程为偶数，则也染上红色，否则染上黄色，这样可以把所有城市均染成红色或黄色，并且两城市同色时，它们之间的路程为偶数，否则它们之间的路程为奇数。设有个城市染成红色，个城市染成黄色，则由一个红色城市与一个黄色城市配对可配成对，所以在所有的路程中有个奇数。若是偶数，则,，中有一半是奇数，所以有。又因为，则。若是奇数，则,，中有个奇数，所以有。又因为，则，即。因此，如果
10、题目中的要求可以实现，则或是完全平方数，由于和都不是完全平方数，所以国王的要求不能办到。注：此题由于不知道的奇偶性，所以要分两种情况讨论，但结论类似。【例3】 将棋盘染色，每个格子只能染上一种颜色，且每个格子至少与个相邻的格子染同一种颜色。问：这个格子最多染多少种颜色?【分析】 因为每个格子至少与个相邻的格子染同一种颜色，所以一个颜色至少要染个格子。由于共有个格子，所以最多可能染种颜色。用个单位方格可以组成一个“”形，很容易找到一种方法用个“”形去覆盖其中的个方格，用种颜色分别去染这个“”形，而余下的一个方格必然与一个“”形有公共边，用这个“”形的颜色去染这个余下的方格，这样即可满足要求，所以
11、这个格子最多染种颜色。【例4】 老师在黑板上从某个奇数开始连续地将奇数写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了堆(每堆均多于一个)，已知第一堆奇数和为，第三堆奇数的和为，那么第二堆奇数的之和是多少。【分析】 因为每个数都是奇数，所以第一堆和第三堆的数都是奇数个。由于它们都是连续的，所以和都可以写成若干个连续奇数的和。，所以是个连续奇数的和，且中间的数是，即。，所以是个连续奇数的和，且中间的数是，即。这样，擦掉的两个数就是和。，所以第二堆奇数的和是。【例5】 一次数学考试共有道划断题。正确的画。错误的画，每道题分。满分是分。甲、乙、西、丁四名同学的解答及甲、乙、丙三名同学的得
12、分如下表所示，丁得了多少分? 题号学生得分甲乙丙丁【分析】 这个问题可以有不同的分析方法和解答方法，现在我们从整体来思考这个问题 从甲、乙、丙三名同学的得分情况可以知道，他们共做错了道题，这是因为甲、乙，丙三名同学共失分 (分)。 再观察甲、乙、内三名同学的解答情况。不难发现，对于每一道题。都有两名同学的答案相同。另一名同学的答案与他们不同。这就说明对于每一道题，甲、乙、丙三名同学都有答对的，也有答错的。由于甲、乙、丙三名同学共做错了道题，所以每一道题都只能有一名同学答错，因此正确的答案见下表：所以丁得了分。【例6】 小朋友们请你算一算，在一个圆周上标出一些数。第一次先把圆周二等分，在两个分点
13、分别标上和(如图)；第二次把两段半圆弧分别二等分。在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和（如图中,)；第三次把四段圆弧分别二等分。在四个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和(如图中，)当第八次标完数后，圆周上所有己标数的总和是多少?【分析】 碰到这样的题，可先把和改作与，整个探索过程不把每一个复杂的和算出，只是数出与的总个数。这样第一次为与和的一倍，第二次后为，第三次标完后为，这样能较容易地发现规律：每次新的结果总是原来的倍。 正是因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和,所以每次增加数的总和恰好是原来所有数总和的倍,也就是说每次标完数后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所有数的总和的倍,例如
14、：二分之一它在左边算了一次，在右边算了一次，本身一次，所以二分之一在下次标完后已成为原为的倍了，其它数也是如此。于是,第八次标完数后圆周上所有数的总和是:。课后练习 1. 有这样的个数：、。请你把这个数平均分成两组。使每组的个数乘积相等。【答案】 、 ，所以2. 一张正方形纸对折，再对折（如下图），如此对折次，在最后折出的顶点处裁去一个“角”。之后打开这张纸，纸上应有多少个洞?【答案】 截去一个“角”，并不是一个完整的“洞”，把对折次的纸打开两次“退”。这时得到的是一个完整的“洞”。而且洞穿过每一层纸，有多少层纸，打开后纸上就有多少个洞。提示：本题通过退，把不完整的洞变成了完整的洞，并把洞的个数和纸的层数对应起来。问题得到了解决。纸上应有个洞。3. 选项中有个立方体,其中用左边的图形折成 的是( )【答案】4. 将，这个个自然数填到图中个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是多少？【答案】 将，填入这个格子中，按田字格个数之和均等于，其总和为，其中居中个格子所填之数设为与，则均被加了次，所以这个田字所填数的总和为，要最大，必须最大，由于，于是。所以取最大值应该为。如图。
