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1、论文题目：6年级小学生数学解题画图表征的训练对成绩的影响毕业院校：苏州大学文正学院 目录摘要 （1）Abstract （2）前言 （3）第1章 研究假设及目的（5）第1.1节 研究假设（5）第1.2节 研究目的或意义（5）第2章 研究方法（6）第2.1节 实验设计（6）第2.2节 实验对象（6）第2.3节 实验材料（6）第2.4节 实验步骤（6）第2.5节 数据处理（7）2.5.1、记分标准（7）2.5.2、数据处理辅助工具（7）第3章 结果及分析（8）第4章 讨论（12）结论（16）参考文献（17）致谢（18）附录（19）文献综述（26）外文文献资料及中文翻译稿（32）摘要为了探索小学生数学
2、解题画图表征与解题成绩的问题，适应小学数学新课改后的要求，为新课改中新增加的解决问题的策略提供更多的实践和理论依据。本研究采用单因素被试内实验设计，以画图表征解题的训练（有训练前和训练后两个水平）为自变量，以数学解题成绩与使用画图方法为因变量，自编试题对江都市仙女镇正谊小学六(1)班学生（男生15人，女生19人）进行研究。研究结果主要发现：使用画图表征解题的训练能够显著提高小学生的数学成绩与画图意识。另外还有一项有趣的发现就是：无论是否正确解决了问题，训练前，不同难度水平，使用画图表征的小学生人数参差不齐且均较少，此时问题难度并不影响小学生解题时对画图表征的选择；训练后，对于较低难度水平和中等
3、难度水平的题目使用画图表征的小学生人数较多，对于难度过高的题目使用画图表征的小学生人数较少，此时问题难度影响小学生解题时对画图表征的选择。关键词：小学生，画图表征，训练，数学解题成绩，画图意识AbstractIn order to explore subjects between pupils schematic representation and the results of mathematical problem-solving, adapt to the requirement of the new mathematical curriculum reformation in pri
4、mary school, and provide more practical and theoretical basis for the strategies of solving problems. This study adopt one-way experiment design within subjects, take training with schematic representation as independent variable, (training has two levels: before training and after training), and ta
5、ke the results of mathematical problem-solving and the use of schematic representation as dependent variable. I work out a set of examination questions to test the pupils in Class 1, Grade 6, JiangDu Fairy Town ZhengYi Primary School. This class have 15 boys and 19 girls. The main study conclusion f
6、ind that mathematical training with the use of schematic representation can greatly improve the results of mathematical problem-solving and consciousness of using schematic representation. Another interesting findings are as followed: 1. regardless of whether pupils can correctly solve the problems
7、or not, the number of pupils using schematic representation to solve problems with different difficulty levels is less and uneven before training; 2. regardless of whether pupils can correctly solve the problems or not, the number of pupils using schematic representation to solve problems with lower
8、 and medium difficulty levels is larger and the number is less when they solve too difficult problems after training. Therefore the difficulty of the problems doesnt affect pupils choices of using schematic representation when they solve problems before training, but affect after training.Key words:
9、 primary school pupils, schematic representation, training, the results of mathematical problem-solving, consciousness of using schematic representation前言1.问题的提出问题表征(problem representation)是正确解决问题的关键环节，对问题的表征是否恰当，直接影响到问题解决的难易、速度和成功。Novick和Hurley(1999)发现，问题的适当表征与问题解决的成功之间存在正相关。一个适宜的问题表征一般应该满足三个条件：表征与
10、问题的真实结构相对应；表征中的各个问题成分被适当的结合在一起；表征结合了问题解决者的其它知识。问题表征分为内部表征和外部表征。外部表征有图画、示意图、方程等。而画图表征是解决数学问题的重要表征，因此本研究探讨6年级小学生数学解题画图表征的训练对成绩的影响。画图表征的操作性定义：以画线段图、草图、平面图等方式表现问题中的数量关系。画图表征的意义：化繁为简、化抽象为具体，有助于成功解题。1.1已有相关研究综述中西方学者对数学问题表征进行了大量研究，并对数学问题表征的类型做了许多不同的划分。尽管他们对数学问题表征类型的划分各有不同，但是画图表征与数学解题却又是他们某些研究的共同点，并且得出了不少具有
11、重要价值的研究成果。Moses（1980），Suwarsono（援引于Lean和Clements，1981），和Presmeg（1986a，1986b，1992）认为，视觉形象表征的广泛运用并不一定能提高解题成绩，有时甚至可能会阻碍问题的成功解决。Lean 与 Clements（1981）的研究也发现，数学视觉形象和空间能力以及数学能力之间有负相关的关系。而Hegarty与Kozhevnikov（1999）认为，学生在数学问题解决中存在两种不同的视觉-空间表征类型：图解的表征(schematic representation)和图片的表征(pictorial representaion )。他
12、们还发现，图解的空间表征的使用与数学问题解决呈正相关；图片表征的使用与数学问题解决有着显著的负相关。赵丹（2006）的研究发现，画图表征策略与解题成绩呈显著正相关。张庆林等（1997）研究发现，学生表征应用题的方式主要包括：复述内容、结构表征(即画图)、寻找关键信息。他们认为，凡是在事后提问中回答“使用画线段图”、“画图”、“在心理画图”等方法的都归为结构表征方式。该研究发现，优、中、差三类学生在三种表征方式的使用上具有显著差异，差生更多地使用复述内容表征。结构表征(即画图)最有利于元认知监视和正确解题，是最佳的表征方式。不过，小学六年级学生使用结构表征(即画图)策略的人数依然偏少，而采用复述
13、策略的人数偏高。Krutetskii（1976），Tom Lowrie等（2001）研究发现，问题难度影响学生对问题表征方式的选择：当学生解决难题或新颖的问题时，通常采用视觉化的方式进行表征；当解决相对容易的问题时，通常采用非视觉化的方式，并且无论是否正确解决了问题都有这种倾向。我的研究假设也与此发现类似。董妍、路海东、俞国良（2004）研究发现复述内容、图片表征、图式表征、直译表征、语义结构分析是小学生在解应用题的时候经常采用的5种表征方式。成功解题者和不成功解题者对各种表征方式的使用次数上没有显著差异，但在各种表征方式下的解题成绩有差异，具体体现在成功解题者在图式表征、直译表征和语义结构分
14、析表征下的成绩显著优于不成功的解题者。第1章 研究假设及目的第1.1节 研究假设假设一：使用画图表征解题的训练能够显著提高小学生使用画图表征的意识和数学成绩。假设二：使用画图表征解题的训练对小学生画图表征的意识以及数学成绩的提高均不存在显著的性别差异。假设三：使用画图表征解题的训练在提高数学成绩方面，中等生与优生、差生有显著性差异，优生与差生没有显著性差异。假设四：使用画图表征解题的训练在提高画图表征方面，优生与中等生没有显著性差异，差生与优生、中等生有显著性差异。假设五：问题难度影响小学生解题时对画图表征的选择，即无论是否正确解决了问题，当小学生解决难题时，通常采用画图表征的方式；当解决相对
15、容易的问题时，通常不采用画图表征的方式。第1.2节 研究目的或意义1了解6年级小学生使用画图表征的现状；2探索自己感兴趣的有关小学生数学解题画图表征与解题成绩的问题；3. 验证前人的某些研究结论是否正确；4. 适应小学数学新课改后的要求，为新课改中新增加的解决问题的策略这一章节提供更多的实践和理论依据；5为优、中、差三类学生的解题策略的训练提供一些建议。第2章 研究方法第2.1节 实验设计本研究采用单因素被试内实验设计，自变量为画图表征的解题训练，因变量为数学解题成绩和画图表征方法。六(2)班只做附录预测试题。六(1)班做附录前测试题、附录训练试题以及附录后测试题。第2.2节 实验对象（即被试
16、）选取江都市仙女镇正谊小学六年级两个平行班：六(1)班和六(2)班。六(2)班为预试班，男生15人，女生17人。六(1)班为正式施测班并进行了教学实验，男生15人，女生19人。第2.3节 实验材料自编小学应用题附录预测试题、附录前测试题、附录训练试题以及附录后测试题。自编依据：刘电芝老师小学数学学习策略（高级版）中的图解策略以及小学数学应用题解题11法中的图解法【9】【10】；东北师范大学路海东副教授编制的数学应用题解题问卷（见其学生赵丹（2006）硕士学位论文附录）【11】；东北师范大学程明喜（2006）硕士学位论文中使用的采用画图法解决的数学题目【12】；张奇等编写的问题解决心理学中一些用
17、画图法来解决的题目【13】。预测试题（附录）发放35份，收回32份，男生15人，女生17人；前测试题（附录）发放36份，收回34份，男生15人，女生19人；训练试题（附录）由本班数学老师帮助对学生进行训练；后测试题（附录）发放36份，收回34份，男生15人，女生19人。第2.4节 实验步骤先让六(2)班学生按要求独立完成附录预测试题，题目（除26,28题）均在教学大纲内，在试题纸上写下解题的全过程，包括辅助方法、思考分析、草稿、解答部分。根据预测试结果，按照题目的难度，选择难度系数在0.30.9（即答对率在70%10%）的题目，并将这些题目分成两份等值的、有梯度的试题，作为附录前测试题与附录后
18、测试题。附录预测试题各题的难度见表2-1。表2-1 附录预测试题各题的难度题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 未通过人数（人） 0 14 14 13 11 6 7 9 3 4 难度0.0 0.4 0.4 0.4 0.3 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 未通过人数（人） 7 7 17 26 12 26 13 16 17 7 难度0.2 0.2 0.5 0.8 0.4 0.8 0.4 0.5 0.5 0.2 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 未通过人数（人） 24 26 19 23 12 28
19、 19 29 难度0.8 0.8 0.6 0.7 0.4 0.9 0.6 0.9 根据预测试结果，先将题号按照难度由低到高排列出来，然后从难度为0.3的题目开始，将题目一题放入前测试题，一题放入后测试题，依次类推，组成附录前测试题和附录后测试题。最终前测试题由第5，15，2，4，13，19，27，14，21，26这十题组成；后测试题由第8，17，3，25，18，23，24，16，22，28这十题组成。将预测试题中除去后测试题以及难度为0的第1题后余下的试题按难度由低到高排列组成附录训练试题。让正式施测班六(1)班的学生按要求独立完成前测试题。依据附录训练试题，借助该班数学老师的帮助，对正式施测
20、班六(1)班的全体学生进行为期一周的训练，训练其使用画图表征的方法来解决数学题目，每天34题。训练后，间隔一周，再让六(1)班学生按要求独立完成后测试题。第2.5节 数据处理2.5.1、记分标准前测试题以及后测试题分别由十道题目组成。在数学成绩方面，每道题目，完全答错或未答记0分，小部分答对记1分，一半答对记2分，大部分答对记3分，完全答对记4分，总分为40分，计算数学成绩。使用画图表征的方法解题，则该题在画图表征方面记1分，未使用画图表征的方法，则该题在画图表征方面记0分，总分为10分，计算每个学生在一份试题中使用画图表征的得分。2.5.2、数据处理辅助工具采用统计软件SPSS17.0和Ex
21、cel2003对获得的数据进行统计分析。第3章 结果及分析1.使用画图表征解题的训练对小学生使用画图表征的意识以及数学成绩的影响的分析运用SPSS17.0，采用相关样本T检验，对前后测成绩以及前后测画图表征进行检验，得出结果如表3-1和表3-2：表3-1 训练前后数学成绩配对样本T检验成对差分tdfSig.(双侧)均值标准差均值的标准误差分的 95% 置信区间均值N标准差下限上限前测数学成绩203411.322-4.9414.037.692-6.350-3.533-7.13633.000后测数学成绩253410.830由表3-1可知：数学成绩的方差差异不是很大，说明数学成绩的离散程度变化不明显
22、。t=7.136，P=0.0000.05，说明前后测学生数学成绩有显著差异，又因为前后测数学成绩的均值之差为4.941，所以后测数学成绩显著高于前测数学成绩。亦即使用画图表征解题的训练显著提高了小学生的数学成绩。符合假设一。表3-2 训练前后画图表征配对样本T检验成对差分tdfSig.(双侧)均值标准差均值的标准误差分的 95% 置信区间均值N标准差下限上限前测画图表征得分1.59342.204-2.7942.434.417-3.644-1.945-6.69333.000后测画图表征得分4.38343.095由表3-2可知：画图表征的方差差异较大，说明画图表征离散程度变化明显。t=6.693，
23、P=0.0000.05，说明前后测学生画图表征得分有显著差异，又因为前后测画图表征得分的均值之差为2.794，所以后测画图表征得分显著高于前测画图表征得分。亦即一份试题中，学生使用画图表征解答的题目数有了显著的提高，也就是说，使用画图表征解题的训练显著提高了小学生画图表征的意识。符合假设一。2.使用画图表征解题的训练对小学生画图表征的意识以及数学成绩的提高是否存在性别差异的分析运用SPSS17.0，采用独立样本T检验，对男女生画图表征解题训练的效果进行检验，得出结果如表3-3和表3-4：表3-3 男女生数学成绩独立样本T检验方差方程的 Levene 检验均值方程的 t 检验差分的 95% 置信
24、区间FSig.tdfSig.(双侧)均值差值标准误差值下限上限后测成绩与前测成绩的差值假设方差相等4.289.047-1.03832.307-1.4461.393-4.2831.391假设方差不相等-1.11328.125.275-1.4461.299-4.1051.214由表3-3可知：F=4.289，P=0.0470.05，拒绝方差相等的假设，因此，t=-1.113，P=0.2750.05，说明男女生在数学成绩方面训练效果无显著差异，即使用画图表征解题的训练对小学生数学成绩的提高不存在显著的性别差异。符合假设二。表3-4 男女生画图表征独立样本T检验方差方程的 Levene 检验均值方程的
25、 t 检验差分的 95% 置信区间FSig.tdfSig.(双侧)均值差值标准误差值下限上限后测画图表征与前测画图表征的差值假设方差相等.164.688-3.41232.002-2.495.731-3.984-1.005假设方差不相等-3.41930.411.002-2.495.730-3.984-1.005由表3-4可知：F=0.164，P=0.6880.05，不拒绝方差相等的假设，因此，t=-3.412，P=0.0020.05，说明男女生在画图表征的意识方面训练效果有显著差异，即使用画图表征解题的训练对小学生画图表征的意识的提高存在显著的性别差异。不符合假设二。又因为男女画图表征提高程度的
26、均值之差为2.495，所以使用画图表征解题的训练对女生画图表征的意识的提高显著高于对男生的提高。3. 使用画图表征解题的训练在提高数学成绩方面，优、中、差生是否有差异根据前测成绩将前后27%的人数分别分为优和差，其余的为中等，采用方差分析，对优、中、差生数学成绩方面训练效果进行分析，得出结果如表3-5和表3-6：表3-5 训练后数学成绩提高程度的方差齐性检验Levene 统计量df1df2显著性.562231.576从表3-5中可知：P=0.5760.05，因此可以认为优、中、差生方差无显著差异，即方差相等，可以进行方差分析。因此采用方差相等下的多重比较见表3-6：表3-6 训练后数学成绩提高
27、程度的多重比较(I) 学生优差等级(J) 学生优差等级均值差 (I-J)标准误显著性95% 置信区间下限上限LSD优中-1.0901.724.532-4.612.43差-.7781.951.693-4.763.20中优1.0901.724.532-2.434.61差.3131.724.857-3.203.83由表3-6中可知：P值均远大于0.05，所以，使用画图表征解题的训练在提高数学成绩方面，优、中、差生两两之间均没有显著性差异。不符合假设三。4. 使用画图表征解题的训练在提高画图表征方面，优、中、差生是否有差异根据前测成绩将前后27%的人数分别分为优和差，其余的为中等，采用方差分析，对优、
28、中、差生画图表征方面训练效果进行分析，得出结果如表3-7和表3-8：表3-7 训练后画图表征提高程度的方差齐性检验Levene 统计量df1df2显著性.337231.716从表3-7中可知：P=0.7160.05，因此可以认为优、中、差生方差无显著差异，即方差相等，可以进行方差分析。因此采用方差相等下的多重比较见表3-8：表3-8 训练后画图表征提高程度的多重比较(I) 学生优差等级(J) 学生优差等级均值差 (I-J)标准误显著性95% 置信区间下限上限LSD优中1.076.985.283-.933.09差2.2221.115.055-.054.50中优-1.076.985.283-3.0
29、9.93差1.146.985.254-.863.16由表3-8中可知：优生与差生的显著性为0.0550.07，可以认为使用画图表征解题的训练在提高画图表征方面，优生与差生具有边缘显著性差异,又因为优、差生均值之差为2.222，所以优生画图表征提高的程度显著高于差生；优生与中等生、中等生与差生的显著性均远大于0.05，所以认为使用画图表征解题的训练在提高画图表征方面，优生与中等生、中等生与差生均没有显著性差异。不符合假设四。5.训练前后，不同题目难度，意识到要使用画图表征的方法来解决数学问题的学生人数的比较分析运用SPSS17.0，根据前后测试题每题使用画图表征的人数（比例）作条形图，如图3-1
30、和图3-2：由于前后测题目是由难度在0.3以上且难度从低到高按顺序排列的等值题目构成的，因此从图3-1和图3-2中可以看出：训练前，不同难度水平，使用画图表征的小学生人数参差不齐且均较少，所占比例不到学生总人数的25%；训练后，使用画图表征的学生人数相较于训练前明显增多。对于难度较低的第1、2、3、4题，1、2、3题使用画图表征的学生人数增长幅度较大，第4题增长幅度较小；对于难度中等的第5、6、7、8、9题，第5题使用画图表征的学生人数增长幅度最大，第6、8、9题增长幅度较大，第7题增长幅度较小，对于难度较大的第10题，使用画图表征的学生人数增长幅度较小。总体而言，训练后，对于较低难度水平和中
31、等难度水平的题目，使用画图表征的小学生人数较多，第1、2、3、5、8、9题使用画图表征的小学生人数比例达到40%以上，最高达到85%以上，第4、6、7题也达到了25%以上；对于难度过高的第10题使用画图表征的小学生人数较少，比例仅在15%以下。不符合假设五。第4章 讨论1画图表征解题的训练对数学解题成绩及画图表征的意识的提高本研究由表3-1分析得出：使用画图表征解题的训练显著提高了小学生的数学成绩，验证了Hegarty与Kozhevnikov（1999）【16】的图解的空间表征的使用与数学问题解决正相关的结论，也验证了赵丹（2006）【16】的画图表征策略与解题成绩呈显著正相关的研究结论。虽然
32、本实验统计分析得出使用画图表征解题的训练显著提高了小学生的数学成绩，但还不能完全认为数学成绩的提高仅仅是因为画图表征解题的训练，因为在前测与后测之间的一段时间内，小学生仍在正常上课，仍在不断地接受新的知识，导致其基础知识有所提高，干扰训练效果，因此实验还要加强实验期间新的额外知识摄入的控制。表3-1和表3-2分析说明：使用画图表征解题的训练显著提高了小学生的数学成绩和画图表征的意识，因此假设一成立。虽然由表3-2分析得出使用画图表征解题的训练显著提高了小学生画图表征的意识，但还不能武断地认为画图表征解题的训练就一定能提高画图表征的意识，因为这种画图表征的意识可能仅存在于实验期间，至于实验之后小
33、学生是否会一直保持画图表征的意识还有待进一步地追踪研究。因此本研究只能说明画图表征解题的训练只在短时间内对小学生画图表征的意识有明显的提高。2画图表征解题训练效果的性别差异表3-3和表3-4分析说明：使用画图表征解题的训练对小学生数学成绩的提高不存在显著的性别差异，但对小学生画图表征的意识的提高存在显著的性别差异，因此假设二不成立。另外，使用画图表征解题的训练对女生画图表征的意识的提高显著高于对男生的提高，这可能是因为男女生追求成功的方式不一样：女生较男生而言更加偏好于通过听从老师的教导以达到成功解题的目的，避免失败，而男生解决数学问题的思路比女生更开阔，不局限于单一的方法，他们更偏好于通过采
34、用不同的、适合于自己的方法以达到成功解题的目的，具有一定的冒险精神，也可能是因为在较短的时间内掌握画图表征的方法，女生优于男生。3优、中、差生画图表征解题训练效果的差异表3-5和表3-6分析说明：使用画图表征解题的训练在提高数学成绩方面，优、中、差生两两之间均没有显著性差异，因此假设三不成立。此结果与假设矛盾，其原因可能是：样本量不够大，样本欠缺代表性；前后测试题量不够大；训练时间太短，学生还没有完全掌握画图表征解题的方法来帮助其成功解决数学题目，成效还不明显；难题较少，简单和中等难度的题目较多，试题的区分度不够，不易区分出优、中、差三类学生之间的差异。表3-7和表3-8分析说明：使用画图表征
35、解题的训练在提高画图表征方面，优生与差生具有边缘显著性差异，与我的假设一致；但优生与中等生、中等生与差生均没有显著性差异，与我的假设不一致，因此假设四不成立。优生与差生具有边缘显著性差异，优生画图表征提高的程度显著高于差生，产生此结果的原因可能是：训练前，优生与差生很少使用画图表征的方法去解题，而优生的基础知识、接受能力又明显优于差生，因此，训练后，使用画图表征解题的优生明显多于差生且优生在一份试题中使用画图表征的次数明显高于差生。优生与中等生没有显著性差异，产生此结果的原因可能是：一方面优生与中等生本身的基础知识、接受能力差异较小，他们在短时间内对画图表征这种方法的掌握程度相当；另一方面前后
36、测试题量不够大，试题的区分度不够，被试样本量不够大等。中等生与差生没有显著性差异，产生此结果的原因可能是：难题较少，简单和中等难度的题目较多，试题的区分度不够；前后测试题量不够大；被试样本量不够大，样本欠缺代表性等，不易区分出中等生与差生之间的差异。总之，对于差生，首先要加强其基础知识的掌握与运用，然后再训练其解题策略，最终使其能够成功地解决问题；对于优生和中等生，要加强其解题策略的训练，使其能够更快、更顺利地解决问题。4训练前后难度对小学生画图表征的影响由图3-1和图3-2以及各题的难度分析得出：在平时的学习过程中即训练前，不同难度水平，使用画图表征的小学生人数参差不齐且均较少，所占比例不到
37、学生总人数的25%，这与张庆林等（1997）【15】的研究发现“小学六年级学生使用结构表征(即画图)策略的人数偏少”是一致的。训练后，解决题目时，使用画图表征的小学生人数相较于训练前明显增多，其中第1、2、3、5、8、9题使用画图表征的小学生人数比例达到40%以上，最高达到85%以上，第4、6、7题也达到了25%以上，仅难度过高的第10题比例在15%以下，但相对于训练前第10题的比例同样也有所增加。产生此结果的原因表明使用画图表征来解决数学问题的训练使小学生在解决数学题目时画图表征的意识明显增强。训练后，对于较低难度（14题）和中等难度水平（59题）的题目使用画图表征的小学生人数较多，对于难度
38、过高的题目（第10题）使用画图表征的小学生人数较少。结果推翻了假设五问题难度影响小学生解题时对画图表征的选择，即无论是否正确解决了问题，当小学生解决难题时，通常采用画图表征的方式；当解决相对容易的问题时，通常不采用画图表征的方式。同时，本研究结果也与Tom Lowrie等（2001）的研究结论“当学生解决难题或新颖的问题时，通常采用视觉化的方式进行表征；当解决相对容易的问题时，通常采用非视觉化的方式，并且无论是否正确解决了问题都有这种倾向。”不符。训练前，不同难度水平，使用画图表征的小学生人数参差不齐且均较少，这可能是因为在平时的学习过程中即训练前，老师没有明确地教给小学生使用图解的方法解决数
39、学问题的意识以致于小学生没有意识到要用画图表征的方法来解决数学问题，而是依自己的喜好使用各种不同的方法。训练后，对于较低难度和中等难度水平的题目使用画图表征的小学生人数较多，对于难度过高的题目使用画图表征的小学生人数较少，这可能是因为训练后小学生意识到要用画图表征的方法来解决数学问题，且对于较低难度和中等难度水平的题目，较多小学生有足够的能力解决，而对于难度过高的题目，一方面部分小学生没有足够的能力解决，导致他们面对这些题目时无从下手，难以画出图来；另一方面即使无从下手，如果小学生解决难度过高的题目时具有很高的成就动机，那么无论他们是否正确解决了问题同样可能有较多的小学生使用画图表征的方法来解
40、决问题，也就是说该正式施测班学生可能对解决难度过高的题目的成就动机还不是很高。从图3-1和图3-2以及各题的难度还可以看出：难度较低的第1、3两题使用画图表征的小学生人数比例增长较大，而难度较低的第2、4两题比例增长较小；难度中等的第5题使用画图表征的小学生人数比例增长最大，而难度中等的第7题比例增长较小。难度较低的第1题使用画图表征的小学生人数比例增长较大可能是由于一方面训练后小学生画图表征的意识明显增强，另一方面前测第1题是简单分数应用题，后测第1题较前测第1题是稍微复杂一些的多步分数应用题，画图更容易理清题目中的比例关系且学生有足够的能力画出图来解决此问题。难度较低的第3题使用画图表征的
41、小学生人数比例增长较大是因为训练前小学生使用画图表征的意识较低，因此画图的人较少；而对于后测第3题在正方形池塘四边植树的问题，由于数据较大，画图能够更直观地看出需要特别注意的四个角落植树的问题，另一方面，训练后小学生画图表征的意识明显增强，此题难度又较低学生足以画出图来解决此问题。难度较低的第2题使用画图表征的小学生人数比例增长较小是因为训练前小学生使用画图表征的意识较低，多数人采用方程的方法来解决，因此画图的人较少；而对于后测第2题，虽然训练后小学生画图表征的意识明显增强，此题难度又较低学生有足够的能力画出图来，但此题是蓄水池放水再进水的问题，数据之间的关系比较简单，在不画图的基础上，多数人
42、同样有能力解决。难度较低的第4题使用画图表征的小学生人数比例增长较小是因为训练前小学生使用画图表征的意识较低，部分人采用方程的方法来解决，因此画图的人较少；而对于后测第4题，虽然训练后小学生画图表征的意识明显增强，此题难度又较低学生足以画出图来，但此题是稍简单的路程问题，在平时的教学过程中有相关的公式可以套用，因此画图的人较少。难度中等的第7题使用画图表征的小学生人数比例增长较小是因为前后测的第7题均是路程问题，有相应的公式可以套用，因此使用画图表征的人数较少，但由于训练后小学生画图表征的意识明显增强，后测第7题又比较容易将加油站的位置搞错，导致无法正确解题，因此后测第7题使用画图表征的人数增
43、长较少。难度中等的第5题使用画图表征的小学生人数比例增长最大是因为训练前小学生使用画图表征的意识较低，因此画图的人较少；而对于后测第5题，一方面训练后小学生画图表征的意识明显增强，另一方面，后测第5题语言陈述出的数据间的关系比较复杂繁琐，不画图容易忽略其中的易错点，画图能够更直观准确地捕捉数据间的关系，化繁为简，而且此题难度中等，答案并非显而易见，学生又有足够的能力画出图来解决此问题；与此同时，难度中等的第7题均是路程问题，有相应的公式可以套用，使用画图表征的人数增长较少，难度过高的题目学生又可能没有足够的能力或是成就动机还不是很高而无法画出图来导致使用画图表征的人数增长较少，因此难度中等的第5题使用画图表征的小学生人数比例增长最大。在此，我建议老师们要重视画图表征的传授，学生们要掌握并合理运用画图表征帮助其解决问题。结论1.使用画图表征解题的训练能够显著提高小学生的数学成绩。2.使用画图表征解题的训练能够显著提高小学生使用画图表征的意识。3.训练前后小学
