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1、特殊情形,1）无约束,2）二次规划,基本概念,多峰函数，存在局部最大(小)和整体最大(小),函数曲面图形,图形解释,基本概念,图形解释,可行域,可行解,等值线,最优解,基本概念,可行域,等值线,最优解,图形解释,有效约束非有效约束可行方向下降方向,最优解,基本概念,s.t.,可行域,思考:1）与线性规划的可行域有什么区别？2）最优解是否一定在边界上达到？3）求解的难度体现在什么地方？,图形解释基本概念,基本概念,无约束非线性规划算法,1、选择初始解x0；2、对第k次迭代解xk，确定搜索方向dkRn，并在此方向上确定步长k，令xk+1=xk+k dk，使得 f(xk+1)f(xk);3、若xk+
2、1符合给定的迭代终止条件，如 xk+1-xk，停止迭代，最优解近似为xk+1。,算法概述,数值迭代法:,确定搜索方向有如下方法：1、最速下降法；2、牛顿法；3、拟牛顿法；在实际应用中，真正无约束的情况是很少的。,无约束非线性规划算法,算法概述,数值迭代法:,1、可行方向法；2、罚函数法；3、梯度投影法；4、逐步二次规划法（SQP）（Sequential Quadratic Programming）MATLAB软件中主要采用SQP算法。,约束非线性规划算法,算法概述,fgoalattain 多目标规划fminbnd 有界标量非线性优化问题fmincon 约束非线性极小化fminimax 极小极大
3、最优化fminsearchfminunc 无约束非线性最优化fseminf 半无限极小化linprog 线性规划quadprog 二次规划,MATLAB软件求解,优化工具箱主要命令,无约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,标准形式:Min F(X)MATLAB求解步骤 首先建立一个函数M文件，如fun.m调用格式：X,fval=fminunc(fun,X0,options)或 X,fval=fminsearch(fun,X0,options),1.函数fminunc、fminsearch的具体用法,例1 Rosenbrock函数,已知初始点（-1.9，2）。试分析最优解是否与初始点有关？,
4、无约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,1）function f=fun1(x)f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;,1.函数fminunc、fminsearch的具体用法,无约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,2）x0=-1.9,2;options=optimset(display,iter)x,fval=fminunc(fun1,x0,options),计算结果：x=0.9999 0.9997;fval=1.9047e-008若想结果更精确，将options修改为options=optimset(display,iter,tolfun,1e-10);,1.函
5、数fminunc、fminsearch的具体用法,1.函数fminunc、fminsearch的具体用法,无约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,计算结果：x=5.1840 26.8991;fval=17.5675未能得到最优解,说明初始解的选择很关键,一般选择与最优解尽量接近的点.,若改变初始解,比如:取x0=10,10,标准模型:,2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,Min f(X)s.t.G1(X)0,G2(X)=0(非线性约束)AX b,Aeq.X=beq,(线性约束)lb X ub,调用格式:x,fval=fmincon(fun,x0,A,
6、b,Aeq,beq,lb,ub,con),2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,建立m文件函数fun.m function f=fun(x)f=f(x);,为函数fmincon的其余输入变量赋值，然后调用该函数求出约束规划问题的解。,建立m文件函数nonlcon.m function c,ceq=nonlcon(x)c=G1(x);ceq=G2(x),2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,例：求解以下约束非线性规划：Max f(x)=x1 x2 s.t.2(x1+x2)x3 500 x32 xj0，j=1,2,func
7、tion f=fun2(x)f=-x(1)*x(2);,MATLAB程序,function c,ceq=nlcon(x)c=(x(1)+x(2)*x(3)-250;ceq=;,2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,x0=10 10 2;L=0 0 2;x,fval=fmincon(fun2,x0,L,nlcon),计算结果:,x=62.5000 62.5000 2.0000fval=-3.9063e+003,max f(x)=x12+x22-x1x2-2x1-5x2 s.t.-(x1 1)2+x2 0 2 x1-3x2+60,x0=0,1,例2,转化成标准
8、形,min f(x)=-x12-x22+x1x2+2x1+5x2 s.t.(x1 1)2-x2 0-2 x1+3x2 60,x0=0,1,2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,function f=fun22(x)f=-x(1)2-x(2)2+x(1)*x(2)+2*x(1)+5*x(2);,function G,Geq=cont2(x)G=(x(1)-1)2-x(2);Geq=;,x0=0 1;A=-2,3;b=6;Aeq=;beq=;lb=;ub=;x,fval=fmincon(fun22,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,cont2),x=1
9、.0e+008*-0.0006-2.7649 fval=-7.6432e+016,MATLAB程序:,计算结果:,3、使用quadprog求解二次规划问题,二次规划标准模型,调用格式:x,fval=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,L,U,x0),MATLAB软件求解,例4,写成标准模型,MATLAB软件求解,beq=2,H=2,-2;-2,4;c=-4,-12;A=-1,2;2,1;b=2,3;Aeq=1 1;beq=2;x,fval=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq),计算结果：,x=0.6667 1.3333，f=-16.4444,MATLAB软件求解,M
10、ATLAB程序:,小结,无约束非线性规划 Min F(X)调用格式:X,fval=fminunc(F,X0,options)或 X,fval=fminsearch(F,X0,options),二次规划 Min 0.5*XTHX+CTX s.t.AX b AeqX=beq L X U调用格式：X,fval=quadprog(H,c,A,b),MATLAB软件求解,约束非线性规划 Min F(X)s.t.G(X)0,Geq=0 AX b,Aeq.X=beq,l X u调用格式：X,fval=fmincon(F,X0,A,b,Aeq,beq,l,u,GGeq),MATLAB软件求解,小结,投资策略,某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目供选择：项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？,优化实践,
