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1、极坐标系的概念,珠海市二中 马清太,2.平面直角坐标系中的点P与坐标(a,b)是一一对应的.,引入,平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系.有时用别的坐标系比较方便.,我们先看下面的问题.,还有什么坐标系呢？,1.与角终边相同的角：=+2k,kZ,5 海里,想一想？,一、除了建立直角坐标系外,还可如何确定以下两船的位置关系呢？,（1）距离：5 海里；,（2）方向：东偏北20.,o,x,20,x,距离：4 km,方向：,o,以人民路为X轴以凤凰路为Y轴.,请问：去南屏怎么走？,以人民路为X轴以凤凰路为Y轴.,神经病！,哈哈从这向南4000米。,请问：去南屏怎么走？,请分
2、析上面这句话，告诉了人家什么？,从这向南走4000米！,出发点,方向,距离,在生活中我们经常用距离和方向来表示一点的位置。用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标。,一、极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点。,引一条射线OX，叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个极坐标系。,o,二、极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度，叫做M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。,特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX（
3、极轴）为始边，OM 为终边的角。,极坐标系的构成要素,极坐标的构成要素,极点O,极轴OX,长度单位,角度单位和正方向,1、极轴是射线2、极角是以ox为始边，以op为终边的角3、以逆时针方向为角度的正方向4、特别地,极点O(0,),可以取任意值5、点的极坐标用有序实数对(,)表示,指出下列各点的极坐标,A,B,C,D,E,F,G,（5，0）,（3，/4）,（5.5，/2）,（7，5/6）,（2，）,（6，4/3）,（3，5/3）,巩固训练,A,（7，5/6）,（3，-3/4）,B,C,（6，7/2）,指出下列各点在极坐标系中的位置,巩固训练,A,平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表
4、示方法？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。,探究,巩固训练,指出下列各点在极坐标系中的位置,（4，9/4）,（4，/4）,（4，-7/4）,X,O,/4,（1）一个点的极坐标不唯一,发现：,极角变化,（2）极角之间是什么关系？,三、点的极坐标的表达式的研究,请说出点M的极坐标的其他表达式。,这些极坐标之间有何异同？,极角和极角之间有什么关系？,这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。,本题点M的极坐标统一表达式：,极径相同，不同的是极角,极角的始边变没有？极角的终边动没有？,终边相同的角怎么表
5、示？,指出下列各点的极坐标的统一表达式。,A,B,C,D,E,F,G,（5，2k）,（3，/4 2k）,（5.5，/2 2k）,（7，5/6 2k）,（2，2k）,（6，4/3 2k）,（3，5/32k）,巩固训练,1极坐标系的建立需确定几条？极点；极径；长度单位和角度正方向。2极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数种。是因为极角引起的。3一点的极坐标有否统一的表达式？有。,(,),(,+2k),课堂小结：,指出下列各点在极坐标系中的位置,（-4，5/4）,（4，/4）,X,O,/4,（3）一个点的极坐标不唯一,(,),(-,+),发现：,极径变化,探究,四、广义极坐标,一般情况下，极径都
6、是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。,当 0时，点M（，）的位置的规定：,1作射线OP，使xOP=；,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM=；,P,M,1、负极径(1)负极径的定义,则，点M就是坐标为（，）的点。,四、2、负极径的实例,在极坐标系中画出点 M（-3，/4）的位置,1作射线OP，使XOP=/4,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3,(2)负极径与正极径的互化,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3,我们现在再来看一看在极坐标系中作出点 M（-3，）的过程。,1作射线OP，使xOP=；,以上第二步骤的实质，也就是把点 P 绕极点O旋转大小为 的角。,想一想：是顺
7、时针方向还是逆时针方向？,点M的极坐标可表示为(3,);,或(3,).,四、3、关于负极径的思考,“负极径”真是“负”的？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？,有比较才能有鉴别！,把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？,四、5、负极径的实质,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。,而反向延长也可以说成旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的复数一正一负，方向也相反。,1.在极坐标系中
8、，与点P(2,30)表示同一点是(),A.(-2,210)B.(-2,150）C.(-2,330)D.(-2,390),2.在极坐标系中，与点P(-3,)表示同一点的是(),练一练,A.(3,)B.(3,）C.(3,)D.(3,),A,C,负极径小结：极径变为负，极角增加。,答：（6，+）,或（6，+）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 0。因为负极径只在极少数情况用。,说明：.点的极坐标的不唯一性,五、极坐标系下点的极坐标,探索点M（3，/4）的所有极坐标,1极径是正的时候：,2极径用“-3”,2、给出点 P 如何写出它的所有极坐标,(,),(-,+),(,+2k),(-,+（
9、2k+1）),请指出下列各点在极坐标系中的位置,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极径有正有负；极角有无数个。,一般地,若(,)是一点的极坐标,则(,+2k)、,+(2k+1)都可以作为它的极坐标.,如果限定0,02或,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.,典型例题,例1：若极径 0，极角 0，2），求 M(2,3/4)(1)关于极点的对称点P(2)关于极轴所在直线的对称点Q(3)关于极垂线的对称点R,例2：在极坐标系中，若点 A（-3，2/3），B（5，/6）
10、O是极点，求 AOB的面积。,能力训练,1 1=2 且1=2是两点 A（1，1）和 B（2，2）重合的（）条件,（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）既不充分也不必要,充分不必要,（2,3/4）或（2,-/4）,等腰直角,练习1.在极坐标系中，与点(3,)重合的点是(),2.在极坐标系中,与(,)关于极轴对称的点是(),A.(,)B.(,)C.(,)D.(,),C,D,A,A.(3,)B.(3,)C.(3,)D.(3,),2.在极坐标系中，若点A（-3，4/3），B（5,-5/6），O是极点，求(1)AOB的面积(2)A、B两点之间的距离,1.已知直角ABC的三个顶点的极坐标分别为 A（0，0），B（1，0），C（，/2），求A点在斜边上的射影D的极坐标_.,3.若P、Q两点的极坐标分别是(1,1),(2,2),且 满足条件 1+2=0，12，1+2=，则P、Q两点（）（A）重合（B）关于极垂线对称（C）关于极点对称（D）关于极轴所在的直线对称,D,课堂小结,1.极坐标的有关概念,2.由极坐标确定点的方法,3.点的极坐标的不唯一性,5、如果限定0，0 2或,那么，除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了.今后，在不作特殊说明时，认为0.,4、给定极坐标(，)，可确定平面内唯一点M；但，给定平面内一点，却有无数多个极坐标与之对应。,再 见,
