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1、,一、求极限问题二、(偏)导数、高阶(偏)导数的计算三、(偏)导数的应用四、微分中值定理,数学竞赛讲座,冯伟杰,邮箱 密码 2007.09.03,这个邮箱要牢记，之后的相关信息都会挂上。,L-Hospital 法则,Heine归结原理数列极限和函数极限的关系,等价无穷小替换,两个重要极限,利用导数或微分的定义、微分中值定理等,极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理,带Peano型余项Taylor公式,利用定积分的概念,L-Hospital 法则,取对数,再次使用,使用洛必达法则,故原式,先取对数,洛必达法则是求不定型的一种有效方法,但要注意：,1、求极限过程中，若某个因子的极限已知，则可先提
2、出已知极限；,2、求极限过程中，可连续使用洛必达法则，直至求出不定型的极限；,3、在求不定型过程中，不是必须使用洛必达法则才 行，还可以使用其他方法如等价无穷小替换、带Peano型余项的Taylor公式以及重要极限，或 者它们相互结合使用，效果会更好。,等价无穷小替换,加减运算中慎用等价无穷小替换,夹逼准则失效！,不能使用等价无穷小替换！,带Peano型余项Taylor公式,常用的带Peano型余项Taylor公式,原式,另一方面,原式,难点：Taylor公式展开的阶数,解决：通常展开到两、三项即可.展开多余项可以合并到高阶无穷小中.,上列各式中等号的意义为“左边等于右边”，而反之不然,原式,
3、提示：利用Taylor公式可以寻找等价无穷小,错误解法,注：等价无穷小替换的条件：,乘除法运算中可以使用等价无穷小替换；,加减运算中慎用等价无穷小替换，此时利用Taylor公式,等价无穷小替换+带Peano型余项Taylor公式,L-Hospital 法则,求极限的常用方法,两个重要极限,利用导数或微分的定义、微分中值定理等,极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理,利用定积分的概念,两个重要极限,分析：,或者,极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理,证,注：数列前面有限项的变化不会影响它的收敛性，所以我们可以将“从某一项开始为单调的数列”看作单调数列。,由Stolz定理的推论,2011.0
4、8.18上午结束,Stolz定理一：,也被称为数列极限的洛必达法则,Stolz定理二：,Stolz定理推论1：,Stolz定理推论2：,Stolz定理推论3：,极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理,2011.08.18下午开始,分析:(1),由数学归纳法知,由此可见 和 都存在，,且极限值是满足 的正根,分析:(2),根据单调有界原理知数列 有极限，不妨设,由夹逼定理得,故,从而,利用单调有界原理可得结论.,试证明极限 存在.,利用导数或微分的定义、微分中值定理等,证明：由微分的定义知,故有,从而,且,解法失效,证明：由微分的定义知,故有,从而,利用Lagrange中值定理知,故原式,He
5、ine原理,故原式,故原式,先取对数,洛必达法则,利用定积分的概念,特别地,利用收敛级数的必要条件,级数收敛的必要条件:,提示：考虑级数,利用比值判别法可知该级数收敛,几个常用的极限,首届全国大学生数学竞赛决赛试题,一、计算下列各题（共20分，每题各5分，要求写出重要步骤）,（3）现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器。已知上下 两底的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位 面积 元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的 直径之比为何值时所需费用最少。,二、（10分）求下列极限,法一：,法二：,故原式,先取对数,洛必达法则,自测题,二、(偏)导数、高阶(偏)导数的计算,1、分段点或特殊点
6、处求导：直接利用定义,2、复合函数的链式求导法则,3、隐函数的求导法则 对数求导法,4、由参数方程确定的函数的求导法则,5、高阶导数的计算(一元函数),6、变限积分函数的求导,1、分段点或特殊点处求导：直接利用定义,2、复合函数的链式求导法则,矛盾！,变量树图,变量树图,变量树图,求,设函数 z=f(x,y)在点(1,1)处可微,且,由题设,书写很含糊,正确书写,错误书写,令,复合,3、隐函数的求导法则 对数求导法,设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程,解法1、公式法,解法2、两边求导法，先对x求导,故,解得,同理可得,解法3：利用全微分形式的不变性,注、公式法：,证明：,重新选题,两边取对
7、数,4、由参数方程确定的函数的求导法则,5、高阶导数的计算(一元函数),根据已知函数的高阶导数公式，通过恒等变形、四则运算等方法，求出高阶导数,利用Taylor 级数,利用Leibniz 公式,利用Leibniz 公式,常用高阶导数公式,根据已知函数的高阶导数公式，通过恒等变形、四则运算等方法，求出高阶导数,2011.08.18下午结束,利用Taylor 级数,6、变限积分函数的求导,自测题,三、(偏)导数的应用,1、一元函数导数的应用,2、多元函数偏导数的应用,函数的单调性、极值与最值,不等式的证明,确定方程实根的个数,曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线,多元函数的极值：无条件极值、条件
8、极值,含有多个变量的不等式的证明,提示：,函数的单调性、极值与最值,提示:先通过代换 代入原方程得到,再根据极值的第二充分条件,解得,极大值,极小值,解得,再根据极值的第二充分条件,现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器。已知上下 两底的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位 面积 元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的 直径之比为何值时所需费用最少。,且满足,费用函数,解 得,单调增加,单调减少,极小值,极大值,不等式的证明,微分中值定理,利用函数的单调性(单调性的判别法),即（*）式成立。,证明不等式,利用函数的单调性来证明不等式的问题，关键在于通过要证明的不等式构造相应的辅助函数
9、,确定方程实根的个数,利用函数的单调性(单调性的判别法),零点定理(根的存在性定理),Rolle定理（反证法）,由连续函数的零点存在定理知：,去掉或重选,存在性,由零点定理,矛盾,唯一性(反证法),提示:显然,故在整个实数轴上的零点个数至少有三个.,另外注意到,或利用,结论得证,Rolle定理也可以指明方程实根的个数(反证法),Case 1:若 恒正(或恒负)，则根的个数,Case 2:若 有唯一解，则根的个数,Case 3:若 有两个解，则根的个数,Case 4:若 恒正(或恒负)，则根的个数,Case 6:若 恒正(或恒负)，则根的个数,Case 5:若 有唯一解，则根的个数,2、多元函数
10、偏导数的应用,曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线,设空间曲线的方程,曲线在M处的切线方程,空间曲线方程为,空间曲线方程为,切线方程为,隐函数存在定理的表述,两边对 x 求导得,代入得,解得,求曲线,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,方程组两边对 x 求导,得,解得,切线方程,即,法平面方程,即,曲线在点 M(1,2,1)处有:,切向量,设 为曲面上的任一点,切平面方程为,将定点代入平面方程即得,无条件极值,多元函数的极值：无条件极值、条件极值,由全微分的定义知,求中心在原点的椭圆 的长半轴长度,问题等价于求：,在条件 的极值,(舍去带加号的根),长半轴长为,化简,其中 满足
11、,原问题等价于求函数,所以在球内部没有函数的驻点。,构造辅助函数,解得,证明：先求函数 在约束条件,下的最大值.为简化计算,目标函数调整为,作拉格朗日函数,由极值的必要条件可知,两边平方,有,对于任意的正数 令,2011.08.19上午结束,下的最大值为,自测题,提示：取对数对函数变形，可使求解较简单,提示：等价于证明,提示：等价于证明,补充题目，比如实根个数,四、微分中值定理,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,Taylor公式:Peano型、Lagrange型,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,特殊,推广,Taylor 公式,Rol
12、le定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,Taylor公式:Peano型、Lagrange型,Rolle定理,2题 结论等价于,构造辅助函数，验证Rolle定理满足,分析:1题难点在于寻求区间，而2题难点在于构造合适 的辅助函数，要求相应函数在相应区间上满足 Rolle定理的条件,知识点：Rolle定理、积分中值定理,该构造辅助函数的方法称为指数因子法,提示(2):,等价于,辅助函数,Lagrange中值定理,分析：要证明存在两个或两个以上的中间值，由于用一次 中值定理只能找到一个中间值，故此问题通常至少 要用两次中值定理才能解决,解：,利用闭区间上连续函数的介值性,(1),(
13、2),由(1),(2)有,相乘即可,提示:将结论改进为,由介值定理,(1),(2),由(1),(2)有,相加即可,提示:,Cauchy中值定理,分析:结论等价于,Taylor公式:Peano型、Lagrange型,由题意知,合并同类项后得到,带Peano余项型的Taylor公式可以用来求极限或判断无穷小量的阶,注意：带Lagrange型余项的Taylor公式常用于证明与 中间值相联的不等式，其关键是注意Taylor公式中 展开点的选择。通常选择已知区间的端点、中间点 或函数的极值点和导数等于零的点。这类题的特点 是已知函数可导的阶数较高(二阶或二阶以上)，同时 还有若干个已知的函数值或导数值,则有,更一般的，,由条件知,存在性由Lagrange中值定理得出,唯一性：若不然假设有两个不同的,则根据题意知,由Rolle定理知,矛盾！,另一方面直接使用Taylor公式,比较两次结果得到,分析：,解：,不能再使用Lospital法则,分析：,比较 的大小关系,自测题,自测题,提示：,注意到,原式,方法一：利用Lagrange中值定理,两式相加,再次使用Lagrange中值定理,构造辅助函数,方法二：利用函数的单调性判别,只需证明函数F(x)单减,方法三：(同课本定理3.5.1的证明过程),
