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1、第八章 线性离散控制系统的分析与综合8.1 离散控制系统概述8.2 连续信号的采样与复现8.3 Z变换及Z反变换8.4 线性离散系统的数学模型8.5 离散控制系统稳定性分析8.6 离散控制系统的稳态误差分析8.7 离散控制系统的动态性能分析8.8 数字控制器的模拟化设计8.9 数字控制器离散化设计,8.1 离散控制系统概述一、离散控制系统特点：从系统结构上看，含有采样开关；从信号传递上看，系统中某一处或几处信号是以脉冲或数字形式传递的。二、离散控制系统的两种典型结构1、采样控制系统 e(t)是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。e*(t)作为脉冲控制器的输入，经控制
2、器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号，对受控对象实施控制。采样系统中既有离散信号，又有连续信号。采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。,2、计算机控制系统 计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，故需要A/D和D/A实现两种信号的转换。三、离散控制系统的分析方法 建立在Z变换的数学基础上，采用脉冲传递函数，并利用类似连读控制系统的分析方法进行分析、研究。,8.2 连续信号的采样与复现一、连续信号的采样、数学描述 1、采样过程
3、 把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程，称为 采样过程。例如下图中，采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示，设采样开关每隔T秒闭合一次（接通一次）。f(t)为输入连续信 号，则经采样开关后，f*(t)为定宽度等于的调幅脉冲序 列，在采样瞬时nT(n=0,1,2,3）时出现。由于采样开关闭合时 间很小，T，分析可认为=0。采样器的输出f*(t)信号，等于输入于采样器的连续信号在采样时刻的数值。,2、数学描述 为了对采样过程和采样信号进行数学描述，往往把它看成是一个幅值调制的过程，如下图所示。采样开关类似于一幅值调制器，当采样开关周期性开闭时，产生一串以Ts为周期的单位理想脉冲T(t)。
4、幅值调制的过程，数学上表示为两个信号函数相乘，即f*(t)可以认为是输入连续信号f(t)调制在理想脉冲T(t)上的结果。设理想脉冲序列,则采样脉冲序列的数学表达式：二、信号的复现及装置 使采样信号f*(t)大体上回复为连续信号f(t)的变化规律，称信号的复现。怎样才能使采样信号f*(t)大体上反映连续信号f(t)的变化规律呢？从连续信号和其采样后的离散信号的频谱特性分析：对于一个非正弦周期函数f(t)，可以分解成一个傅氏级数，它的各次谐波的振幅 随频率变化的分布情况，称为f(t)的频谱特性。,设有一离散信号对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知将s=j代入经上述讨论分析可知，对于
5、一连续信号f(t)，其频率特性为一孤立的连续频谱（max)。以均匀周期T(=2/s)对f(t)进行采样，采样信号f*(t)的频谱与采样频率s有关，而且是以s为周期的无限多个频谱之和。与原函数频谱相比，各对应频率处的幅值下降为1/T。,观察上图，信号的复现需满足两个条件：(1)对于一个有限频谱的连续信号进行采样，当采样频率时，采样信号才可能无失真的复现原来的连续信号。(香农采样定理)(2)在被控对象前必须串联一个理想的低通滤波器。,Ts较大时(s2 max),采样定理的物理意义是，采样频率越高，即采样周期越小，故采样越细密，采样的精度就越高，就能充分反映连续变化的所有信息。因此可以按要求复现原信
6、号。反之，采样频率越低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样时刻之间连续信号变化较大，而这种变化不能在采样信号中得到反映，故不能按一定的精度复现原连续信号。需要指出，实际的非周期函数，其频谱的最高频率是无限的，不过由于高频分量的幅值不大，因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。在这种情况下，如何选择采样频率的最高频率呢？一般考虑频谱幅值降为最大值的5%处的频率为max。,1,三、零阶保持器低通滤波器 使采样信号f*(t)在每一个采样瞬间的采样值f(kT)一直保持到下一个采样瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为fh(t)在每一个采样区间内的值均为常数，其导数为0，故称为零阶
7、保持器。,设有一零阶保持器，其数学模型为对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知将s=j代入,从幅频特性上看，幅值随频率的增加而衰减，所以零阶保持器是一低通滤波器。从相频特性上看，零阶保持器会产生负相移，使系统的相位滞后增大，使系统稳定性变差。,8.3 Z变换及反变换,一、Z变换,在数学上表示：,对上式两边取拉氏变换,可看出，,是以复变量s表示的函数。引入一新变量z,-定义在Z平面上的一个复变量，称为Z变换子；,-采样周期；S-拉氏变换算子。,Z变换的定义 8.2节指出，一个连续函数,经采样后，其采样函数,式中：,上式收敛时，被定义为采样函数,的Z变换。即,注意：1、上面三式均为采
8、样函数,的拉氏变换式；,2、,是,的Z变换式；,3、,只表征连续函数,在采样时刻之间的特性，不能反映。,在采样时刻的信号特性，,(2)Z变换方法 Z变换方法多种，主要的有,1)级数求和法。以例说明例 求单位价跃函数1（t）的Z变换.解：因为,或者，由,两边同乘以z-1得：,两式相减得：,例2.试求取衰减的指数函数e-at(a)的Z变换。,解：,2)部分分式法 方法是，先求出连续函数的拉氏变换式，并部分分式展开。,；然后逐项进行Z变换。,例3,巳知原函数,的拉氏变换式为,，求其Z变换。,解：对拉氏变换式用部分分式展开,逐项进行Z变换(查Z变换表)有,例4.求取具有拉氏变换为 的连续函数f(t)的
9、Z变换。,解：,例5.求 的Z变换。,解：,例6 求 的Z变换,解：,(3)Z 变换的主要性质 1)线性性质,2)延迟定理,说明：原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以,算子 的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟n个周期。,3)超前定理,若,则,4）复数位移定理,5）终值定理,若,在平面上以原点为圆心,的单位圆上和圆外没有极点或（z-1）F(z)全部极点位于Z平面单位圆内。,则,例设 的Z 变换函数为 求 的终值。,解：用终值定理,二、Z 反变换,Z反变换是已知Z变换表达式F（z），求离散序列f（nT）或 的过程。,Z反变换的方法也有多种，主要方法有,1.部分分式法（因式分解法
10、，查表法）步骤：先将变换式写成，并展开成部分分式，两端乘以Z。F（z）=查Z变化表。,=,例,巳知,，求,。,解,写成,两边同乘z,查z 变换表,2、幂级数法（长除法）将 表达式直接用长除法，求按降幂排列的展开式，便可 直接写出脉冲序列的表达式。,例 己知,求其反z 变换。,解 可先改写z表达式,用长除法，分子、分母相除有,依z 变换的定义，有,注：在实际应用中，常常只需要计算有限的几项就够了，是开放形式。,8.4 线性离散系统的数学模型,一、脉冲传递函数的概念 定义：线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号 的Z变换与输入信号的Z变换之比。用式子为,二、开环脉冲传递函数的求法 系统由串联环
11、节组成时，脉冲传递函数与采样开关的位置和数目有关。1.串联环节之间有采样开关(图a),G(Z)=G1(Z)G2(Z),2.串联环节间无采样开关(图b),G(Z)=ZG1(s)G2(s)=G1G2(z),3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函,解：,例.求下图所示二环节串联的脉冲传函,其中,结论:有采样开关断开的线性环节串联时，系统脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的积；无采样开关断开的线性环节串联时，系统其脉冲传递函数等于两个连续环节串联之后的Z变换。本结论可推广到n个环节。,例：设G(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),分别求上述两种连接时的脉冲传递数。,解：(1)二环节间有采样器 G(z
12、)=G1(Z)G2(z)=Z1/sZ1/(s+1)=,(2)二环节间无采样器,三、闭环脉冲转递函数 由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置的可能性，故闭环离散系统没有唯一的结构形式，通常须采用列出方程式，再消去中间信号变量求出闭环转递函数。,1.采样开关位于误差通道,由图,取Z 变换有,又由图有,由以上三式，消去中间变量可得该系统的闭环传递函数：,2采样开关不位于误差通道,G(s),H(s),r(t),Ts,y(t),m(t),-,b(t),G1(s),e,3扰动输入时的脉冲传函,H(s),r(t),Ts,y(t),e(t),-,b(t),G1,G2,n(t),G2(s),H(s),G1(s)
13、,n(t),-,m*,m(t),y(t),H(S),D(S),G(S),R(S),X(S),Y(S),-,例1.试求右图所示系统的闭环传函,解：,Y(s),例2.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函,解:,注：1、典型系统的传递函数或输出表达式见表8.1 2、元部件相同但采样开关的位置或个数不同，系统的传递 函数不同；3、有些结构的系统只有输出表达式但求不出闭环传递函数。,8.5 离散控制系统稳定性分析,典型的离散控制系统如右图所示,其闭环传递函数为：,分析系统的稳定性能，需对其特征方程的根的分布情况进行分析,其特征方程为：D(z)=1+GH(z)=0,由z变换的定义可知，这里的z与s的关系为
14、：,一、S平面与Z平面的对应(映射)关系,注：S平面上的左半平面，相当于Z 平面上的单位园内；S平面的虚轴，相当于Z 平面上的单位园上；S平面上的右半平面，相当于Z 平面上的单位园外。,二、离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件,离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件是，系统的特征方程的根全部位于Z平面以原点为园心的单位园内。,例 某离散控制系统如右图所示，采样周期为1s，系统能否稳定工作？,解：系统的开环脉冲传递函数为,系统的闭环脉冲传递函数为,特征方程,=0,特征方程根,由于,，在 Z 平面的单位园外，所以该系统是不稳定。,三、离散系统的稳定性判据,劳斯判据。具体方法、步骤；1、求出特征方程式
15、，2、Z W 变换：令特征方程式中的，得到 3、用第三章劳斯判据的方法判稳。,例1.设闭环采样系统的特征方程为D(z)=45z3-117z2+119z-39=0判断其稳定性.,解：,例2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期Ts=0.2(秒),解:,例3.设采样系统的方框图如图所示,其中 采样周期T=0.25s,求能使系统稳定的K1值范围,解:,8.6 离散控制系统的稳态误差分析,离散系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差脉冲序列。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数的计算公式,其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。离散系统稳态
16、误差的分析、计算与连续系统的相类拟，计算方法主要两种。,一、用Z变换的终值定理计算 若系统稳定,即全部极点位于z平面单位图内,则可用z变换终值定理求出采样瞬时终值误差。方法、步骤如下：,1、求出误差传递函数 2、求出误差Z变换式3、终值定理计算,二、误差系数方法,其中 含有的积分环节个数N，表征系统的无差度。N=0,0阶无差系统；N=1一阶无差系统；N=2 二阶无差系统,称为位置误差系数。且有,设单位反馈系统，开环传递函数为,（1）阶跃输入时,由终值定理有,令,(2)斜坡输入,，速度误差系数,当N=0 时，,当N=1 时，,有限值，,当N=2 时，,(3)加速度输入,，称为加速度误差系数。,例
17、1,求下列系统单位斜波信号作用下的稳态误差。,y(t),当N=0,1 时,当N=2 时,解,I 型系统。,注：引入保持器，并不会改变系统开环脉冲传递函数极点的个数，系统仍是一阶无差系统。,例2.右图所示系统中的采样周期Ts=0.2s,试求在时的稳态误差.,解:,8.7 离散控制系统的动态性能分析,一闭环特征根与暂态响应之间的关系,设闭环脉冲传函为,在单位阶跃输入信号的作用下，输出的变换为,对其进行反变换，得输出的时间响应,当特征根在单位圆内的不同位置时，分析系统的暂态过程,为正实数，暂态分量为，单调衰减，并且越小，衰减得越快,为负实数，暂态分量为，暂态过程呈正、负交替的衰减振荡，极点越靠近原点
18、，衰减得越快,原点为一对共轭的复数设共轭复数的两个极点为,对应的暂态分量为,为使离散控制系统具有较好的动态性能，闭环极点应尽量避免分布在平面单位圆内的左半部，并且不要靠近负实轴，闭环极点最好分布在单位圆内右部正实轴上并靠近原点的位置。,二、离散控制系统的动态性能估算,设最靠近单位圆周的一对极点为（称为闭环主导极点），则可以根据这一对主导极点及其他闭环零、极点，估算出系统的超调量和峰值时间。具做的处理公式为,当由（）计算出的p不是整数时，可令,例求下图所示的系统的单位阶跃响应的峰值时间和超调量,1/s,ZOH,0.2/(s+0.1),r,-,2s,2s,y,解系统的开环脉冲传函（）（）（）,其中
19、,系统的闭环传函为,系统有一对共轭复数极点和一个零点。主导极点,进一步可求得,取,求得峰值时间,进一步求得,于是超调量可求得为,8.8 数字控制器的模拟化设计,c(z),ZOH,G(s),-,s,s,R(s),e(s),e(k),u(k),u(s),a)典型离散控制系统结构图,c(s),G(s),-,e(s),u(s),R(s),b)相似连续系统结构图,数字控制器设计方法有：模拟化设计（间接、连续设计方法）；离散化设计（直接设计方法）,一、模拟调节器的离散化方法,直接差分法（后向差分法）,双线性变换法,二、离散系统模拟化设计的方法与步骤,设计模拟调节器：根据被控制对象的传函和系统性能指标要求，
20、用连续系统的校正、综合方法求出模拟化校正装置,选择采样频率,离散化处理：由求,性能检验：不满足要求则返回第一步。,求调节器的差分方程,编写程序：依差分方程编制控制算法的计算机程序,c(z),ZOH,-,s,s,e(s),u(k),u(s),例某计算机控制系统如下图示，设计数字控制器，使系统的开环截止频率，相角裕度，开环增益（控制精度）,R(s),解（）设计模拟校正装置,取k=30,将零阶保持器看成是一个惯性环节：，校正前的开环传函为,并预选采样周期,于是可画出开环对数对数频率特性，可求得未校正前系统的开环截止频率和相角裕度,选取串校超前校正装置，其中,校正后的系统满足性能要求,（）选取采样频率
21、，已知，相应的采样频率为,（）离散化，求,采用双线性变换法，令中的有,（）化为差分方程,记,为可调参数,8.9 数字控制器的离散化设计,离散化设计是将系统中的连续部分先进行离散化，在整个系统都具有离散化的模型下进行校正和综合的方法有平面上的根轨迹法、平面的上的博德图法、解析法（最少拍）等。,博德图法是先将未校正前的系统开环脉冲传函进行变换，并令jwp,wp为虚拟频率，然后在虚拟频率域内用博德图进行校正、综合求出校正装置，再对该校正装置进行反变换，便得到校正装置的脉冲传函。具体方法如下：,（）求出被控对象（带零阶保持器）的变换,（）进行域变换（域到域），将变为即,（）令w=jwp(wp为虚拟频率
22、)，画出的博德图,对数幅频特性，,相频特性为,（）从的博德图上确定校正前系统的性能是否满足要求。若不满足，则需对系统进行校正，转第（）步。,（）根据提出的性能指标，确定出域的校正装置（调节器）的传递函数；并画出校正后系统的开环传递函数的博德图,（）对进行域的反变换，得到调节器的脉冲传函，即,（）的计算机实现,例系统的结构图如下图，采样周期要求系统具有性能：,幅值裕度,相位裕度，静态速度误差系数，开环截止频率，设计一数字调节器,c(z),ZOH,-,s,s,e(s),u(k),u(s),R(s),解,（）求未校正系统的开环脉冲传函,求变换得,由稳态指标要求,取,（）对进行域变换，令，代入，则,（）令，求出未校系统的开环虚拟频率特，画出博德图，,系统不稳定,（）采用串联滞后校正，当采用域的校正传函,则校正后的域的系统的开环传函为,绘制校正后的域上的博德图，符合指标要求,（）进行的域反变换，求出校正装置的脉冲传函,将,代入,得,
