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1、青少年数学估计能力的发展特点研究一、简介（一）序言数学能力一般被视为个体的一项重要认知功能和基本素质。青少年阶段是个体数学能力发展的关键时期。估计能力作为数学能力的基础和核心成分在计算工具日益普及的今天发挥着越来越重要的作用。在很多情境下，估计结果与精算结果是同样适用的，甚至比精算结果更可取。数学估计能力的高低已成为衡量个体数学能力的一项重要指标，它是当今数学认知研究的重要组成部分。教育教学改革的实践也对探讨个体的数学估计规律提出了实际要求。如何科学有效地促进个体估计能力的发展已成为当今国际数学教育界高度关注的领域，也是我国在实施素质教育中值得探讨的一个重要问题。然而相对于其它数学能力，目前人
2、们对估计能力的认识还相对比较模糊。在估计能力的发展特点、内部认知机制及其在个体数学能力发展中的作用等基本理论问题上尚缺乏较为系统深入的探讨。对数学估计的系统探讨始于二十世纪七十年代末。Thompson(1979)提出估计是一种受过教育的猜测，它经常是在大量目标的数字、数字计算结果或物体测量结果的背景下进行。Siegler和Booth（2005）认为估计是在两种数量表征之间转换的一个加工过程，这两种数量表征至少有一种是不正确的，数量表征或者是数字化的或者是非数字化的。综合前人的观点，国内学者曾把估计界定为：不经过物理操作而迅速给数学问题提供一个近似答案的心理操作过程（司继伟,2002）。从现有研
3、究看，国外学者主要涉及到了三种估计类型：计算估计（简称估算）、测量估计（简称估测）和数量估计（简称估数）。估算是人们探讨最多的一种数学估计形式。目前人们已在估算的成分及脑基础、估算策略的种类及发展、估算能力的影响因素与促进等方面进行了一些有益探讨（如Reys, et al., 1982; Dehaene, et al., 1999; Hanson & Hogan, 2000; Dowker, 2001等），而对估测和估数则探讨较少。Bright(1976)曾对估测涉及到的知识和技能进行过详细分析。Joram等人(1999)对估测研究进行了全面概括，指出以往研究大都局限在线性估计而且要估计的线段
4、相对较短。Geary(1994)把估数看作个体发展中的一项重要技能。而Baroody 和 Gatzke(1991)则曾对估数的早期研究进行过精彩回顾。国内对数学估计的有限探讨局限在估算上，而且主要是估算的教学与测量（如刘湘川、林彩凤，1995；支毅君，1996等）。仔细分析我们可发现已有研究存在一些缺陷需要弥补：（1）估计策略的确定受到了问题类型的干扰；（2）不同估计策略的有效性需要继续检验；（3）缺乏有效的估计能力评价工具；（4）对估测和估数的探讨严重不足。本课题即针对上述缺陷开展了详细的研究，以期能为科学地认识我国青少年儿童数学估计能力的发展特征，更有效地促进他们数学能力的全面发展提供科学
5、依据，从而以切实推动我国新一轮的数学教育改革。本课题设计的指导思想是以相关学科取得的新突破为基础，以素质教育改革的总要求为指导，综合利用多种研究技术系统深入探讨青少年学生数学估计发展的规律和机制。并采用了多种方法来搜集有关研究的资料，例如调查法、访谈法、测量法、实验法等。（二）摘要对青少年估计能力开展研究有利于了解青少年的一般问题解决能力，也有利于我国数学教学改革的实施，近年来越来越受到国内外学者的重视。本课题即在已有研究的基础上对我国青少年数学估计能力的发展特点及心理机制进行了一系列探讨。我们采用问卷调查、个别访谈、集体测量、实验室实验等多种方法进行了研究。被试包括小学高年级儿童、初中生、高
6、中生及部分大学生。研究结果显示：大学生的估计能力受认知方式的影响，中央执行成分参与估算过程影响估算的准确率；估计准确性的提高明显受到年龄和材料特点的交互影响；青少年估计内在加工的效率逐步提高, 但各年龄段都有其发展的侧重点；数学学业不良儿童的估计能力明显较差；任务材料的呈现方式、数字特点、元认知及数感水平都对估计能力有所影响。这些发现既丰富了青少年估计能力的理论内容，也给如何促进青少年估计能力的发展提供了实践性指导，具有重要的理论和实践意义。诚然本课题的完成尚有许多不足之处，我们对此进行了总结，并将在后续的研究中不断加以完善。（三）结构图数学学业不良儿童估算能力、情感的关系数学学业不良儿童估算
7、能力的研究数学学业不良儿童估算情感特点研究学业不良生与学优生估算能力对比研究大学生认知方式对估算的影响语言转换对数字计算的影响不同干扰刺激对成人数量估计的影响大学生数量估计认知方式差异及ERP研究不同情境状态下数学焦虑对估算的影响工作记忆中央执行成分对估算的影响大学生估计能力的初步研究数学学业不良儿童的估算研究青少年数学估计能力的发展特点及认知机制及认知机制数感对个体估计的影响问题特征对青少年数量估计的影响个体估计能力发展规律及缺陷研究数感水平、锚定信息对小学生数学估计的影响儿童数感的发展与差异研究综述图形排列方式对数量估计的影响任务类型、呈现方式对估测的影响任务情境、题目复杂性对估计的影响青
8、少年测量估计能力的发展状况及相关因素初中生数学估计能力及其与元认知监控的关系小学六年级儿童估算的概念理解小学儿童算术估算能力的发展图1 课题研究主要内容示意图二、主体部分(一）研究问题：1研究目的在科技飞速进步和社会发展促进下，先进的计算工具日益改变着人们计算的方式和观念，数学中的近似理论和合理推理逐渐拓开人们的视野，令世人逐步揭开其神秘面纱。自从Carpenter 等人(1976,1980) 的研究表明学生缺乏基本的、必要的数学估计技能来适应实际需要后，国外便出现了对估计的研究热潮。随着研究的深入展开，估计的重要性越来越受到重视。在很多情况下，估计结果与精算结果是同样适用的，甚至比精算结果更
9、可取。数学估计能力被国内外学者认为是数学认知的重要组成部分，其水平的高低从而成为衡量个体数学能力的一个重要指标。数学估计是指个体对那些无法或不必做出精确的数字处理或数字运算情境的理解和把握，并能够运用相应的数学知识和策略适时给出近似答案的能力。早期研究者认为,数学估计是一种形成数量判断的数学解题形式。具体地说,数学估计是在没有足够时间数出物体的数量、或是要计数的物体数量过大、或是对非静止的物体根本无法做出计数的情况下所做出的一种粗略估计。一般认为估计主要涉及到三种子类型：计算估计（简称为估算）、数量估计（简称为估数）和测量估计（简称为估测）（Hanson & Hogan,2000; Monta
10、gue & Garderen, 2003; Hogan & Brezinski, 2003）。数学估计作为数学认知的重要组成部分,在儿童和成人的日常生活和学习中普遍存在。数学能力是个体的一项重要认知功能和素质。青少年阶段是个体数学能力发展的关键时期，估计能力作为数学能力的基础和核心成分在计算工具日益普及的今天发挥着越来越重要的作用。因此如何科学有效地促进个体估计能力的发展已成为当今国际数学教育界高度关注的领域，也是我国在实施素质教育中值得探讨的一个重要问题。然而相对于其它数学能力，人们对估计能力的认识还比较模糊。在估计能力的内部心理机制、它在个体数学能力发展中的作用、如何有效地干预与促进等问题
11、上还缺乏较为系统深入的探讨。本课题即打算对上述问题进行初步探讨，以期为科学地认识我国青少年儿童的数学估计能力，更有效地促进他们数学能力的全面发展提供科学依据，以切实推进我国新一轮的数学教育改革。并为数字认知领域的研究提供进一步的事实依据，加深人们对个体数学能力获得规律的认识。本课题试图着力解决上述问题，拟从以下几个方面开展探讨： （1）大学生估计能力的初步研究。主要考察我国成年个体估计能力的现状，分析他们所使用的估计策略及缺陷。主要包括大学生的认知方式对其估算能力的影响、大学生数量估计的认知方式差异及ERP研究、语言转换对数字计算的影响、不同情境状态下大学生数学焦虑对估算的影响、工作记忆中央执
12、行成分对大学生估算的影响等内容；（2）青少年儿童估计能力的发展研究。主要考察个体在正常状态下估计能力的发展规律及缺陷，包括初中生的数学估计表现及其与元认知能力的关系、青少年测量估计的特点及其教育干预、小学儿童算术估算能力的发展、小学六年级儿童估算的概念理解等；（3）正常儿童与学业不良儿童数学估计能力的对比。主要揭示儿童学业成就的滞后性对其估计能力的影响，包括数学学业不良儿童的估算特点研究、数学学业不良儿童的估算情感特点研究、数学学业不良儿童的估算能力与估算情感因素的关系等；（4）问题特征对数量估计的影响。主要考察任务材料的呈现方式、数字特点对材料因素的潜在影响，包括不同干扰刺激对成人数量估计的
13、影响等；（5）数感标准化测验的编制，主要利用对现有数感研究的分析编制出适用于我国儿童的数感测评工具；（6）数感对个体估计的影响，主要考察个体所具有不同水平的数字直觉对其数学估计加工的具体影响。包括不同数学水平儿童的数量估计:图形排列方式的影响、数感水平、锚定信息对小学生数学估计的影响等内容。本课题研究者认为，相对于其它数学能力，目前人们对估计能力的认识还比较模糊。对估计能力的发展特点、内部认知加工机制等基本理论问题尚缺乏系统深入的探索，同时由于文化背景的差异，我国青少年在数学估计中是否存在特殊之处还不得而知。研究者提出有必要对我国青少年的数学估计特点和内部加工机制进行探讨。在研究方法上需要综合
14、利用调查、访谈、测量、实验等多种方法；在研究内容上，着重探索当前青少年估计能力的现状和发展特点，考察问题特征、数字感、学业基础等因素对估计能力带来的可能影响，并尝试建立数学估计能力形成的认知机制模型。2研究意义作为个体数学能力的基础和核心成分，数学估计能力对于推动数学教育的生活化和加深对个体数学认知的了解具有重要作用。同时对于我国今后数学教学内容的选择、教材编写和教学也有重要参考价值。因此对我国青少年的数学估计能力开展系统深入的研究无疑具有十分突出的理论价值和现实意义。从理论上看，考察青少年估计能力的心理机制可以深化人们对个体数学能力乃至一般问题解决能力的认识。人们已在不同数学认知领域（如数概
15、念的获得、数数或数学问题解决等）对个体的数学能力进行了研究。在这些领域中研究者已发现个体会运用多种策略来解决数学问题（如Dehaene,1997;Geary, 1994）。但很少有研究涉及到数学估计领域。从现有研究来看，数学估计一般被认为是“为数学问题提供一个足够准确的近似答案（Smart,1982）。学者们认为它是个体数学认知的一个重要成分，它提供了人们对于数学概念、关系和策略的一般理解和个体在数学领域的认知发展规律（如Bestgen,et al.,1980;Dehaene,et al.,1999;Sowder,1992）。美国著名数学教育家Reys(1989)曾明确指出，“估计看来是一个用
16、于研究概念知识及其获得的很好途径“（p.71）。因此对数学估计活动进行考察可以揭示出当个体面临开放式任务时（即不需要或不存在一个精确答案）或者所掌握的相关领域知识不足以获得精确答案时，它们是如何获得未知信息的。它为人们考察个体策略运用的灵活性、多样性和变化性提供了一个全新的视角。而数学认知能力又是人类认知能力的重要组成成分，是我们正确认识和改造客观世界所必须的基本能力，对其加工机制进行研究，可以更深入揭示数学认知能力的起源、结构和机制，同时对语言学习、知识表征及记忆等诸多领域的研究也有重要借鉴意义。从现实实践上看，该课题的研究成果将为我国的数学教育改革提供科学的依据和对策。它们将有助于教育工作
17、者回答如下问题：在不同发展时期，应采用哪些活动来培养估计能力？如何将数学估计思想渗透到实际教学中？应选择哪些作为估计教学内容？如何保证个体数学能力的全面发展？要回答这些问题，就必须清楚青少年儿童是如何进行估计的，他们是如何逐步获得估计能力的，在各阶段上有哪些特点和缺陷，其估计活动的生理机制又是怎样。基于上述认识，课题组认为由于中西方所使用计数系统的文化差异，我国青少年儿童在数学估计领域可能存在一些独特的规律。如何借助当代研究技术将其揭示出来是本课题研究的重点，也是研究的关键所在。3研究假设该课题设计的主要指导思想是以相关学科取得的新突破为基础，以素质教育改革的总要求为指导，综合利用多种研究技术
18、系统深入探讨青少年学生数学估计发展的规律和机制。课题组采用了多种方法来搜集有关研究资料，例如调查法、访谈法、测量法、实验法等。根据国外相关研究结论与发现，课题组对所要开展的研究内容作出了如下假设：（1）估计策略的确定受问题类型的干扰；（2）估计的发展具有明显的年龄特点；（3）元认知、认知方式对估计有显著影响；（4）材料的呈现方式影响到估计的进行；（5）大学生在不同数量估计任务中的估算策略存在不同，脑电活动明显；（6）数学学业不良儿童和学优儿童在估算上存在差异，可能与策略运用有关；（7）数感水平、锚定效应、数学焦虑对数量估算有影响。4核心概念数能力：是个体对刺激的数性质的认知能力。Davis和P
19、erusse等人（1988）曾将数能力分为相对数量判断、感数、计数和估计四大类。数学认知：包括三个成分：（1）数字加工，即个体如何将不同的数字符号如阿拉伯数字编码成为可以理解的认知表征；（2）算术知识，即个体通过学习所获得的各类与计算有关的知识，如乘法知识等；（3）计算，即个体进行计算，尤其是心算的认知操作。数学估计：指的是不经过物理操作而迅速给数学问题提供一个近似答案的心理操作过程。这是一种非常重要的基本数学认知加工。估算：即计算估计是指个体懂得什么情况下无法或不必作准确计算，并应用相关知识和策略给出近似答案的能力，它特别适用于解决日常实际问题。估数：即数量估计，是指个体对那些无法或不必做出
20、精确的数字处理或数字运算情境的理解和把握，并能够运用相应的数学知识和策略适时给出近似答案的能力。估测：即测量估计，是指在不使用一般的测量工具的情况下以某种方法推测出测量结果的一种心理加工过程。估计的准确性：是指被试所给估计答案的精确程度，一般用其偏离精确答案的程度来进行表示（包括绝对误差、相对误差两类指标）。心算：指在没有外界工具（如纸笔、计算器等）的帮助下所进行的算术操作活动。能培养学生迅速的计算技巧，发展学生的注意，记忆和思维能力。精算：主要是指个体依靠数字与数学运算符号，遵循一定的运算规则，按照一定的演算步骤，得出比较精确的计算结果的能力。董奇等人（2002）认为，精算能力主要是一种程序
21、化、精确化、相对更外部化的认知能力，其认知过程表现出较强的线性特点，各步骤之间具有较严格的时间先后顺序，个体往往需要运用纸币或语言帮助计算，所得结果较为精确。数感：目前尚无一致定义。它属于一种对数字的特殊感觉，是一个人对数字和运算的一般性理解，能变通地使用这种理解来做出数学判断，并发展出有用且有效的策略来处理所面对的数字情境。它可能既是一种算术概念，亦是多种基本算术能力的组合，包含了比较数字大小、发展估算、心算、判断数字合理性等多方面的能力。锚定效应：是指当人们需要对某个时间做定量估计时，会将某些特定数值作为起始值，起始值像锚一样制约着估计，使估计值落于某一区域中。如果这些“锚“定的方向有误，
22、估计值就会产生明显偏差。 数学焦虑：一般界定为，个人在学习或接触数学时，所产生的一种令人感觉不愉快的情绪状态，并且常伴随着某些生理及行为上的反应。元认知：是认知主体对认知活动的自我意识和调节，大致可以分为知识和监控两个主要维度，分别指对于自我认知过程的了解，以及对自我认知活动的监控、评价与调整。认知方式：又称认知风格，是一个介于认知和人格之间的一个心理学概念。它指的是人们在对信息和经验进行组织和加工的过程中表现出来的个别差异，是一个人在感知、记忆和思维等过程中经常采取的、受到偏爱的和习惯化了的态度和风格。场依存-场独立认知方式：是指个体在心理活动过程中主要是依靠外部问题情境的参照还是依靠身体内
23、部自我经验的参照的倾向性。学业不良儿童：是指相对性学业不良儿童，即学习成绩未能达到智力所提供的学习潜能者。（二） 研究背景和文献综述数学能力是个体的一项重要认知功能和素质。估计能力作为数学能力的基础和核心成分在计算工具日益普及的今天发挥着越来越重要的作用。1相关概念与数学认知理论模型（1）相关概念关于估计的定义，不同的学者有不同的看法。Thompson（1979）提出估计是一种受过教育的猜测，它经常是在大量目标的数字、数字计算结果或物体测量结果的背景下进行。Smart（1982）曾把估计看作是与近似同义的，他将估计定义为“出于某个具体目的而形成一个足够准确的大小、数量或数字的近似观点”。而Ha
24、ll（1984）则认为估计通常是一种心理练习。国内有学者把估计定义为：不经过物理操作而迅速给数学问题提供一个近似答案的心理操作过程（司继伟，2002）。Siegler 和Booth（2005）则指出估计是在两种数量表征之间转换的一个加工过程，这两种数量表征至少有一种是不正确的，数量表征或者是数字化的或者是非数字化的。目前有关数学估计的研究（O,Daffer,1979; Sowder, 1991等）主要涉及到三种估计类型：计算估计（computational estimation）、数量估计（numerosity estimation）和测量估计（measurement estimation），
25、分别简称为估算、估数和估测。估算或叫做计算的估计能力，是个体未经过精确计算而只借助原有知识对问题提出粗略答案的一种估计形式，是心算、数概念和算术计算技巧之间相互作用的过程（司继伟，2002）。它是最常见的估计形式，需要通过对原始数字的近似值进行一系列心理计算从而找到计算结果的估计值。估算作为一种数学能力，具有下列四个特性：以内在的方式出现，不借用纸笔的计算方式；是快速的粗略心算；估算所呈现的答案不是精确的，而是一个大略的答案，但其结果往往是重大决定的依据；估算能对问题的答案做一个较粗略的演算过程（Reys, Trafton, Reys,1984）。估算作为估计的一种主要类型，在人们的日常生活广
26、泛运用。借助估算，个体不但可以节约认知步骤，提高问题解决的效率，并且可以帮助个体探索问题解决策略、估计结果的合理性与正确性、形成恰当的认知决策，因此在日常生活中使用较为频繁，具有很强的实用性和广泛性。估数被认为是一种导致数字判断的数学解决问题的形式，它表明的是一个集合中物体的数量。数量估计的结果尽管类似于感数和计算，但其表征的过程却是不同的。数量估计反映的是一种高水平的认知加工过程。Geary（1994）把数量估计看作是个体发展上的一种简单技能。我们通常所说的“大约是多少”就属于数量估计，它要求在一种背景中给出一个单位数。Siegler和Booth（2005）在对数量估计的发展回顾中指出，数量
27、估计就是给出一系列离散物体的数量。数量估计需要将一种非数字式数量表征转化成一个数字表征。估测即测量估计，是一种非常实用的日常数学技能。Bright（1976）将估测定义为“在不使用一般的测量工具的情况下，以某种方法推测出测量结果的一种心理加工过程”。估测作为算数估计的主要组成部分之一，被视为个体数量能力早期获得的重要渠道，构成了数学认知的一个重要领域。另外，掌握物理测量的基本规则是基础数学教育阶段的一个中心主题，它是其它基本数学概念的基础，已有研究表明估测可以为物理测量教学提供一个有效途径。估测主要包括长度估计、面积估计、重量估计、温度估计和角度估计等。另外，国外还有学者提出，价格估计实际上也
28、属于估测的一种。（2）数学认知理论模型一般认为，数学认知包含三个基本成分：(1)数字加工，即个体如何将不同的数字符号，如阿拉伯数字编码成为可以理解的认知表征；(2)算术知识，即个体通过学习所获得的各类与计算有关的知识,如乘法知识等；(3)计算，即个体进行计算。然而，上述基本成分之间究竟关系如何，即数学认知具有何种结构，迄今为止仍然是研究者探讨的一个重要问题（董奇，张红川，周新林，2005）。McCloskey等在综合前人研究的基础上，提出了一个较为系统的抽象表征理论模型。该理论认为，数学认知包括数字加工、计算和中心语义系统。数字加工是指输入和输出阿拉伯数字或单词形式数字的认知机制。计算系统包括
29、算术运算符号的理解、算术知识的提取和运算程序的执行。每一步数字和算术加工都必须通过中心语义系统来完成，即对数字数量进行理解和详细说明。McCloskey等认为，个体只存在一个内部的数字抽象表征系统，所有的数学输入，无论其外部形式如何，个体均要将其转化成统一的内部抽象编码；而数学输出则是一个将内部抽象编码转化成外部具体形式的过程（McCloskey, Aliminosa, Sokol, 1991）。Campbell等人认为，个体的数学认知是一个包含了许多成分与层次且随着个体经验的变化而不断发生动态变化的复杂系统。因此，他们在前人研究的基础上提出了编码复杂性模型（Campbell，1988，199
30、2，1994）。此模型主要包括三个假设：数学认知主要基于通道特异性过程（如视觉、听觉等），而非基于单一的抽象编码；不同数字形式对数学认知的编码、加工与策略等多方面过程均有直接影响；每一类数学认知过程均可能包括多种编码，每一类编码也会参与多种数学认知过程。此模型虽赞同存在多种编码系统，但认为编码系统并非相对分离的功能模块，而是与不同认知功能相结合的复杂系统，不同的数学认知过程由基于不同编码的认知功能构成。Campbell(1995)进一步提出算术认知的网络干扰模型(network interference model，NIT)。该模型强调提取过程中干扰的作用，认为加法和乘法事实可以从长时记里由各
31、个结点组成的联结网络中提取，数字在这个联结网络中以语音形式、数字字型形式、数值形式等表征。在长时记忆中不仅存在两个运算数（乘数、被乘数或者加数、被加数）与问题答案之间的连结，而且存在整个问题与问题答案之间的连结(如，10与24都可以作为4和6的答案。对于加法运算来说，10是4和6的正确答案；对于乘法运算来说，24是4和6的正确答案)。问题“56”与“59”更相似与“95”相比，因为前两个问题不仅第一个运算数相同而且位置也一样答案的提取包括两个平行的激活扩散过程，一个来自各个运算数（加数或乘数）一个来自整个问题。答案提取时不仅能激活正确的答案，也能激活许多干扰正确反应的错误答案。这就需要在众多被
32、激活的答案之间进行区分，当其中一个结点的激活水平超过置信标准，则答案被提取。提取答案的难度差异来自于干扰项的干扰程度。Campbell谈到“问题的大小效应”时指出，个体解决大数值问题可能比解决小数值问题会出现更多的错误，大数值问题与邻近结点的相似性更多，因此更易受干扰刺激的影响。Campbell将具有连结性质的问题看作所有问题的一个分支(一个连结性问题的答案可能是其它连结性问题的干扰项)。Dehaene等人则提出了三重编码理论模型（Dehaene, Bossini, Giraux, 1993; Dehaene, 1992），认为个体数学认知能力核心由三种基于不同数字编码的功能模块组成，不同模块
33、间具有相应通道，而且能够进行认知功能的切换。三种编码为：听觉口语编码、视觉数字形式及量的类比编码。第一种编码专门负责口语的输入和输出、计数以及记忆中的加法和乘法知识的提取。模型认为加法和乘法问题是储存在记忆中的口语信息，而视觉的阿拉伯数字形式则是参与了阿拉伯数字的操作，量的类比编码描述了一个数字的量并在比较和求近似值时起作用（Bentin, Kutas, Hillyard, 1993）。Dehaene等认为，数学认知过程主要遵循两个原则：具体功能模块分别与特定编码相联系，如书面与言语数字主要通过基于听觉口语编码的功能模块进行加工；具体功能模块分别与特定数学认知功能相联系，如基于听觉口语编码的功
34、能模块主要负责数数、数学知识的存贮与提取等认知功能。三重编码理论模型基于以下三点基本假设：数字信息以三种形式进行加工：一种是近似于数量的表征(数字以数字线上的活性分布来代表)；一种是口语方式(数字以单词串来表达，如thirty-six)；还有一种是视觉的阿拉伯数字形式的表征（数字以一串数字来表达，如36）。信息可以直接由一种形式的编码转换成另一种形式，如可以将一个阿拉伯数字转换成相对应的数字单词（如从2到two），而不需要经过数量2的语义阶段。这一假设使三重编码理论模型不同于其它的数字加工模块性模型（Connolly, Phillips, 1994），而更符合词语加工的多路径模型。假设每一个数
35、字加工任务都基于一套固定的输入和输出编码。如，假设乘法表是储存在记忆中的由单词串表达的数字之间的语言联系。Dehaene等人提出的三重编码理论目前已得到了不少研究证据的支持，但是，Deloche（2000）、Pesenti（2000）和Natasja（2001）等人却得到了一些与之不符的证据。这说明三重编码模型仍然是一个需要继续完善的理论模型。2研究综述（1）估算研究回顾二十世纪七十年代末学者们开始研究数学估计。人们对估算探讨的较多，已经清楚估算是一种基本的数学技能，并且在日常生活中，和精算相比，人们更多地使用估算。但估算包括哪些加工过程，个体在估算过程中有没有使用策略，若使用策略，具体使用的
36、是哪些策略，以及个体估算能力是如何发展得来的，人们对上述问题还所知甚少。估算的有关理论特征理论：Reys等人（1982）对优秀估算者进行了研究。他们认为这些人能灵活运用重新表述、转译和补偿这三种加工，还能很好地抓住基本事实、位数和算术特性，能熟练进行心算，有自信心和能容忍错误，还能使用不同估计策略并在策略间灵活地进行转换。内容理论：Sowder和Wheeler（1989）提出了估算的内容理论。他们认为估算所涉及到的内容主要包括知识、技能和情感三大部分。发展理论：Case 和 Sowder（1990）根据Case（1985）的一般认知发展理论提出了加法估算的发展理论。Case 认为，学龄阶段儿童
37、的认知发展主要跨越维度和向量两个阶段，每个都有三个亚阶段。处在维度阶段的儿童（5-10岁）在任何时候都只能关注一个成分。而处在向量阶段的儿童（11-18岁）就能同时协调两个或两个以上本质不同的成分。根据这一理论，Case 和 Sowder 认为学龄期儿童的加法估算能力应遵循以下发展路线：（1）在维度阶段的第一个子阶段（约6岁），儿童能心算一位数加法或作出单列接近判断；（2） 在维度阶段第二个子阶段（约8岁），儿童能心算出两位数加法或进行二列接近判断；（3）在维度阶段的第三个子阶段（约10岁），儿童能心算有必要重组或修正的两位数加法，并能进行更复杂的两位数接近判断；（4）在向量阶段的开始时期（约
38、11-12岁），儿童出现能开展真正多位数加法估算；（5）在向量阶段的第二个子阶段（约13-15岁）同时操作正在执行的两个已取整加数的和而不是一个，并能进行某种补偿；（6）在向量阶段的最后阶段（16-19岁），儿童能在两个正在执行中的已取整和能取整的各列数的任意数字之间进行补偿。过程理论：LeFevre等人（1993）根据Siegler 的策略选择模型，提出了估算的过程理论。他们提出了两条基本假设：（1）算术解题中的重要过程都涉及到事实的提取，这可以通过多种尝试来实现。当所提取答案的强度超过个体的确信标准后即代表操作成功。（2）策略提取涉及到多种尝试，并且策略的强度超过置信标准时即为成功的策略提
39、取。该理论认为估计的第一步是尝试提取。个体对于熟悉的数字运算先习惯于自动激活一个已存的精确答案，而不是先重新表述问题。第二步是尝试评价该精确答案。如果自动产生正确答案的可能性过低或没有产生一个具体答案，个体就要通过截取、取整和/或补偿来重新表述问题，从而产生一个中间答案。这是第三步。接下来个体就要利用中间答案通过提取或者心算来产生一个答案。如果提取不成功，或成功计算的概率过低，个体就要尝试另外一种重新表述。最后一步是调整数位和后期补偿。确信标准贯穿于整个估计过程，各个阶段上的标准都得到满足后，才会最终形成一个满意的估计答案。部分知识掌握区理论：Dowker（2001）提出了该理论。他认为，估算
40、不单纯是个体的一个特点，而是个体和领域之间相互作用的产物。他参照维果斯基的最近发展区思想提出了“部分知识掌握区”概念，它反映了儿童能独立掌握的难度水平和他们不能掌握的水平之间的中间区域，而不是一个分界点。该理论认为，任务在部分知识和理解区之内时，问题的确切答案能根据已掌握良好的事实和程序来计算或提取。此时，儿童倾向于在估计时进行精确计算和回忆答案。而在这种区域边缘时，儿童拥有一些关于数和算术策略的知识，但很不充分。估算可以看作处理不同程度部分算术知识的系统。估算能力的研究体会到估算对获得所需信息是一种重要策略的个体，更可能熟练运用估算并且使用非常频繁。他们非常重视估算，相信估算是有用的。这种观
41、念并不是自然获得的。在Sowder和Wheeler（1989) 的研究中，七、九年级的学生宁愿通过做精确计算然后修饰所得结果。这些学生关心的往往是估计值的准确性，而不是精确答案的准确性。相信估算有用依赖于个体对估算本质的理解。Morgan（1988）在研究中发现她所访谈的绝大多数儿童对估算的目的或实质并没有一个清晰的概念。个体对数学所持的情感态度同其估算能力之间也有密切关系。Reys 等人（1982）的研究发现优秀的估算者对自己的估算能力更有信心。另一个影响估算的情感因素是个体对错误/误差的容忍。Reys 等人（1980）相信对估算概念的理解使优秀估算者能容忍一些错误/误差。 司继伟（2002
42、）也曾对小学儿童的估算能力进行了具体考察。他发现，儿童的估算能力有着非常明显的题型差异和年级差异。低年级儿童的小数估计能力明显强于整数和分数，而到了中年级，整数和小数估算能力得到了迅速提高，到了高年级则呈现出了整数估算能力明显好于小数估算、小数估算能力明显好于分数估算的趋势。估算能力的发展也存在一个关键期问题，整数估算和小数估算的关键期在三年级，分数估算则在五年级。估算成分的探讨Reys等人（1982）对良好估算者的估算过程进行了研究。他们从1200多名被试中挑选了具有良好估算技能的个体，对59名学生（7-12年级）和一些成人进行了个体结构性访谈。访谈数据表明在估算中存在并使用了几个重要的成分
43、：重新表述，即更改数字资料以产生一个从心理上更容易管理的形式但保留问题结构不受损伤的过程；转译，将问题的数字结构变成心理上更容易管理的形式。补偿，指的是作出调整是为了反映作为转译或重新明确表述问题的结果而出现的数字变异。LeFevre，Greeham 和Waheed（1993）也指出估算过程包括以下三个成份：事实提取、心算和重新表述。Case 和 Sowder（1990）认为估算“需要从质上不同成分活动种类的协调：（1）使用近似判断为加数挑选出合适的代替值；（2）从心理上计算代替数字的和”。Dowker（1997）对较年长儿童和成人的研究结果也支持了“估算是由多种成分构成”这一判断。估算策略的
44、研究目前在多项研究中人们已发现在估算过程中个体使用了多种策略。Levine（1982）最早发现大学生在估算中使用了八种基本策略：（1）使用分数关系；（2）将数字重新写成代表性成分；（3）将两个数字凑整为一个10的倍数；（4）只将一个数字凑整为10的倍数；（5）用10的指数代替一个数字；（6）用已知的数字代替数字，加已知的关于积的数字；（7）给熟悉的一部分配对；（8）使用标准算法来粗略计算并合并部分答案。Reys（1982）注意到优秀的成人估计者在估算中也使用了不同策略。最常用的策略就是注意最左边的一位数或几位数，通常称为“首位策略”。这一策略有四种形式：操作经过凑整并有同样多位数的数字，操作经
45、过凑整的数字的被抽取部分，截取并填充零，只截取。但是他们没有考虑到估算领域也有特殊策略，因此得到了一些比较抽象的策略，而且没有考虑到这种策略可能只适用于成人。Dowker（1992）也考察了职业数学家的估算情况，发现数学家在估算时不仅准确性高，而且也采用了范围广泛的策略。Lemaire，Lecacheur 和 Farioli（2000）对十岁儿童估算时所运用的策略进行了考察，发现他们在估算时使用了以下四种策略：带分解的调整整数、不带分解的调整整数、截掉零数和构成互补。Hanson 和 Hogan（2000）曾考察了大学生在估算过程中所使用的策略，发现了一般使用23种策略，而且策略的使用与问题的
46、类型紧密相关。在整数问题中，经常使用的策略是凑整成整10数、试图精确计算和最后补充。在分数问题中最常用的策略是将一个分数转变成另一个更容易解决的分数和将一个或两个分数改变以使它们分母相同。在小数问题中，所使用的策略包括凑整成整10数、将所给小数变成更容易解决的小数和替代三种。百分比问题中最常用的策略是将一个数字凑整成整10数、代替、最后补偿、将一个百分数筹整成另一个更容易解决的百分数和找到一个数字凑整为整10数。司继伟（2002）对我国小学儿童的估算策略使用状况进行了初步研究。他指出儿童具体运用了13种估算策略，大致上可以分为4类：一般策略，主要包括粗略心算、结果凑整等两种策略；整数策略，包括
47、取整、截取、调整并修饰结果等三种策略；小数策略，包括忽略小数部分、改变数位和将小数调整为容易解决的小数等三种策略；分数策略，包括采用共同分母、看作单位数“1”、化为易处理小数、加减分子分母和将分数调整为容易解决的分数等五种策略。各种估算策略的使用频率差异明显。整数策略中的取整和截取、小数策略中的忽略小数部分、分数策略中的采用共同分母、看作单位数“1”和将分数化为易处理分数是使用相对比较频繁的策略。（2）估测研究回顾估测能力的发展状况皮亚杰（1960）对儿童完成物理测量任务的教育研究结果显示，虽然儿童学习测量概念的认知过程已经发育成熟，但是他们要掌握这些概念仍是相当困难的。直到四年级，学生才能很
48、好的完成“低水平”的任务，例如认识单位和使用尺子用惯用的单位测量。然而，当呈现较为困难的任务时，很多六、七年级的学生仍会给出错误的答案（Carpenter, Kepner & Corbitt, 1980；Hiebert, 1981）。国内台湾学者陈玟颖（2002）也通过对国小学生的研究发现，学生在长度概念与长度测量能力的整体表现不佳，大部份的学生（92.1%）无法通过半数的题目。Hiebert（1981）发现仅有50%的四年级学生和62%的六年级学生能够正确回答覆盖一条歪曲线段的长度的纸夹的数量。Carpenter等（1980）和Hiebert（1981）把这种错误解释为学生对长度估计的基本概念存在着理解缺陷。随着年龄的增长，个体估测的精确度会有所提高，但总体表现并不明显，且使用的估测策略比较单一。Sowder（1992）的研究即表明，儿童和成人中都有接近一半的被试在研究使用的估测任务中均未达到精确性水平。已有研究初步揭示出个体估测能力的发展趋势。Corle（1960）在其早期研究中，曾考察了小学五、六年级学生的估测能力。研究者给儿童提供包括对重量、长度、时间、（球的）直径、温度、厚度、时间和液体量等在内的估计任
