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1、,中学数学教学论青岛大学师范学院数学系 李明兰,第八讲 数学技能与数学能力,数学技能数学能力,8.1 数学技能,1、技能：顺利完成某种任务的一种活动方式或心智活动方式，它是通过练习获得的。2、数学技能：顺利完成数学活动任务的一种活动方式或心智活动方式。或数学技能是通过练习而形成的完成数学活动所必需的活动方式或步骤。或定义为：迅速而正确地完成数学活动的步骤或程序。,数学技能在形式上可分为外部操作技能和内部心智技能两类。在完成某一活动时，涉及一系列外部可见的实际动作，这些动作有顺序地组织起来并顺利地进行时，就称为外部操作技能。比如，作图的技能，操作计算机的技能等。内部心智技能是顺利完成某一项数学活
2、动的心智活动方式，是指借助内部言语在头脑中进行的认知活动，它包括感觉、直觉、想象、思维等。,3、数学技能的形成过程一般认为数学技能的形成过程包括四个阶段：认知、示例模仿、外部言语、自动化。（1）认知阶段（奠定基础阶段）：理解、掌握与数学活动有关的数学知识，理解操作的条件和操作的结果。,（2）示例模仿阶段教师示范，在这一过程中，教师不仅要示范操作过程，而且要用精练的语言解释执行操作的条件。注意及时反馈，使学生注意到操作过程中的错误原因，及时纠正错误。,（3）外部言语阶段学生不再依靠范例的指引而是依靠数学活动经验的指引就能进行相应的活动。边说边做。（4）自动化阶段 学生可以自觉地、无意识地进行数学
3、活动，遇到类似的数学活动就能立即正确地完成。,4、数学技能教学设计中应注意的几个问题（1）应注意使学生理解、掌握与数学技能有关的知识.（2)应注意练习的效率.（3）注意发展学生的数学能力,5、数学技能训练的途径数学技能是通过课内外的练习而获得的。（1）对练习要加强指导，提供有效练习的条件。这些条件包括：明确练习的目的和要求；练习必须有计划、有步骤地进行；练习要抓住关键；练习方式要多样化。（2）外部操作技能的训练要使学生形成正确动作的视觉形象与动觉表象的结合，并促进其转化。（3）培养学生良好的思维方法和思维品质，促进内部心智技能的形成和提高。,培养学生认真思考和独立思考的能力；通过讲解和示范，引
4、导学生掌握解决数学问题的原则、方法、途径和步骤，培养学生思维的逻辑性和推理的严密性；要注意形成学生概括性等多种联想，培养学生的概括能力和思维的灵活性品质，使他们的技能能够广泛迁移。,8.2 数学能力,一、能力 能力是指完成某种活动的本领，包括完成某种活动的具体方式以及顺利成功地完成某种活动所必需的个性心理特征。传统心理学把能力分为一般能力和特殊能力.一般能力是指在各种活动中所表现出来的基本能力，如观察力、注意力、记忆力等.特殊能力是在某种专业活动中表现出来的能力.,二、数学能力,几种具有代表性的观点：瑞典心理学家魏德林（Werdelin)在数学能力一书中曾给数学能力下过这样的定义：“数学能力是
5、理解数学的(以及类似的)问题、符号、方法和证明本质的能力,是学会它们、在记忆中保持和再现它们的能力;是把它们同其它问题、符号、方法和证明结合起来的能力;也是在解数学的(或类似的)课题时应用它们的能力。”,前苏联教育心理学家克鲁捷茨基提出中小学数学能力结构大致为：1)概括数学材料的能力;2)使数学材料形式化的能力;3)运用数学和其它符号进行运算的能力;4)“连续而有节奏的逻辑推理”的能力;5)简缩数学推理过程和相应的运算系统的能力;6)从正向思维序列转到逆向思维序列的能力;7)思维的灵活性;8)对典型的推理的运算模式的概括和记忆能力;9)形成空间概念的能力;,德国一些学者认为中小学学生的数学能力
6、是由六个方面组成的:一是发现特征的能力;二是比较区别的能力;三是对应能力;四是按规定代换与变化的能力;五是分类与综合能力;六是排列能力。,我国学者林崇德教授，从思维角度分析数学能力的结构：数学能力是以概括为基础，将运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力与思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性所组成的开放动态系统结构.,李镜流在教育心理学新探一书中认为数学能力结构分为三个方面。1)认识:包括对数的概念、符号、图形、数量关系以及空间形式的认识。2)操作:包括对解题思路、解题程序和表达及逆运算的操作。3)策略:包括解题直觉、解题方式方法、解题速度及准确性、创造性、自我检查、评定等。,数学能力是指
7、顺利完成数学活动所具备的、直接影响其活动效率的个性心理特征。观察力、注意力、记忆力是数学能力的必要成分，称为数学一般能力；运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力与非逻辑思维能力、数学语言能力、解决实际问题的能力称为数学特殊能力.它们是构成数学能力的主要成分.,数学特殊能力:1、数学运算能力是指能根据运算法则和性质,合理、简捷、灵活、正确地完成数学运算的能力。(中学数学运算及运算能力P24),数学运算能力的特点（1）综合性 它不能单独存在，而与观察能力、记忆能力、推理能力、表达能力以及空间想象能力等相互联系。（2）层次性 运算能力的发展总是从简单到复杂、从低级到高级，从具体到抽象有层次地逐步发展。
8、,培养数学运算能力的要求：（1）要掌握有关运算的知识；（2）要善于分析运算对象的特点和性质；（3）要善于运用运算规律和法则，灵活地变换运算程序，选择最优的运算方法；（4）具备熟练的运算技巧，准确、迅速地进行运算；（5）在运算过程中要善于思考，正确运用逻辑方法进行推理，保证运算的合理性。,2、空间想象能力数学中的空间想象力,是指对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的思维能力。初高中空间想象能力要求(P24-25),全日制义务教育数学课程标准中对空间观念的解释：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能
9、从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。,普通高中数学课程标准中对空间想象能力的解释：能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状；能够想象几何图形的运动与变化；能从复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能够根据条件作出或画出图形；会形象地揭示问题本质。,对空间想象能力有下面三个方面的要求1）对基本的几何图形(平面与立体)必须非常熟悉,能正确画图,能分析出基本图形的基本结构和度量关系。2）根据题意想象出形体的形状、大小、
10、内部结构,从而正确画出直观图。3）根据给出的立体图形,想象出物体的真实形状、几何元素在空间的实际位置关系和度量关系,并能用语言符号或式子表达出来,从而正确解题。,培养空间想象能力的途径：(1)运用实物模型进行直观教学；(2)准确地讲清概念、图形结构；(3)加强识图和画图训练；直观图是发展空间想象力的关键，比如对初学立体几何者来讲能否正确画出直观图,是学生空间概念的重要指标。教学时应注意以下几点:1）教师画图一定要按照画图的法则,作出示范,使学生掌握画直观图的方法和要领。2）画图要根据具体问题去构思想象作图。(4)运用形数结合方法丰富学生空间能力。数具有概括和抽象的特征，形具有具体化和形式化的特
11、点。数形结合是直观与抽象，感知与思维的结合。,3、逻辑思维能力与非逻辑思维能力：中学数学中的逻辑思维能力，是指根据正确的思维规律和形式，对数学对象的属性进行分析综合，抽象概括，推理论证的能力。逻辑思维能力是数学诸能力的核心。,逻辑思维能力的培养：(1)重视数学概念教学,正确理解数学概念；(2)要重视逻辑初步知识的教学；(3)通过解题训练,培养学生的逻辑思维能力。首先,要让学生熟悉演绎推理的基本模式三段论(大前提小前提结论)。其次初学平面几何,要训练学生语言表达的准确性,严格按照三段论式进行基本的推理训练,并逐步过渡到通常使用的省略三段论式。,非逻辑思维能力：是指不按固定的逻辑程序进行，不受特定
12、的逻辑规则约束，对思考对象的属性与关系直接做出判断的思维方式。非逻辑思维主要是指形象思维与直觉思维。,三、知识、技能、能力之间的关系区别：涵义不同（略），概括的对象也不同。知识是经验的概括，技能是一系列行为方式的概括，能力则是对思想材料进行加工的活动过程的概括。联系：三者之间紧密相关、互相依存、互相促进。掌握一定的数学知识，是学好基本技能的前提，而数学基础知识只有通过训练转化为技能，才能得到巩固和应用，并且一定的基本技能又为获得新的知识提供基础。能力是在知识的学习和技能的训练过程中通过有意识的培养而得到发展的。同时，能力的提高又会促进知识的深刻理解和技能的迅速掌握。,数学解题,解题是使学生牢固
13、掌握数学知识和基本技能,发展数学能力的基本途径.,一、数学问题的分类：1、按数学问题提出时的背景及问题本身对数学的影响,数学问题可分为两大类,即常规问题和非常规问题。所谓常规问题是指那些在已有理论框架内可以解决的问题。如教科书里的定理、公式及例题、习题都是常规问题。而非常规问题则是指按照原有理论框架已无法解决的问题,它的解决常伴随着新方法、新理论、新思想的产生。,2、按其内容和解法的不同可分为运算题、证明题、作图题和应用题;3、按其在教学中的形式和作用可分为例题、练习题、复习题、提问题、思考题、讨论题、研究题、游戏题和竞赛题等。,4、按解题者形成的问题空间类型划分数学问题：（1）标准题：如果解
14、题者明确某个数学题的起始状态、目标状态和达到目标状态的途径，那么相对于解题者而言，这个数学问题称为标准题。（2）变式题：如果解题者明确某个数学题的起始状态、目标状态和达到目标状态的途径，但是解题者还需要从两种或两种以上达到目标状态的途径中进行选择，那么相对于解题者而言，这个数学问题称为变式题。,（3）探究题：如果解题者明确某个数学题的起始状态和目标状态但不知如何达到目标，那么相对于解题者而言，这个数学问题称为探究题。（4）开放题：如果解题者只明确数学题的起始状态，或目标状态，或达到目标状态的途径而且只明确一个，那么相对于解题者而言，这个数学问题称为开放题。,二、数学解题过程 包括审题、解题计划
15、的制定、解答的表达和解题后的反思。,介绍美籍匈牙利数学家、教育家乔治波利亚（George Polya)的“解题表”弄清问题；拟订计划；实施计划；回顾.,弄清问题：（1）已知是什么？未知是什么？（2）条件是什么？结论是什么？（3）画个草图，引入适当的符号。,拟订计划：（1）你见过这道题或与之类似的题吗？（2）你能联想起有关的定理或公式吗？（3）再看看未知数！（4）换一个方式来叙述这道题。（5）回到定义看看！（6）先解决一个特例试试。（7）这个问题的一般形式是什么？（8）你能解决问题的一部分吗？（9）你用了全部条件吗？,实施计划：（1）实现你的解题计划并检验每一步骤。（2）证明你的每一步都是正确的。回顾：（1）检查结果并检验其正确性。（2）换一个方法做做这道题。（3）尝试把你的结果和方法用到其他问题上去。,三、数学解题能力的培养1、使学生明确解题要求2、使学生熟悉解题步骤 审题、探索解法、整理叙述、检查验算3、使学生掌握解题原则 一般认为，数学解题应遵循四条基本原则：简单化原则、熟悉化原则、直观性原则和间接性原则4、使学生学会引申拓广5、使学生积累解题经验,四、解题教学设计中应该注意的几个问题 详见P143,
