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1、花蓮師院學報民90 , 12期173-199頁國小二年級學童乘法問題解題策略之變化以三位學童為例許美華 台南市安南區安慶國小教師（收稿日期：2000年11日15日；接受刊登日期：2001年3日08日 摘 要本研究的目的在深入探討國小二年級學童正整數乘法問題解題策略之變化。資料蒐集以訪談為主，資料分析則以文件分析法為主。筆者以三位分屬高、中、低分組的二年級學童為訪談個案，以自編的訪談問卷為工具，來蒐集學童在六個不同階段（教學前、第三單元教學後、第五單元教學後、第七單元教學後、總結教學表現階段與確認期）的乘法解題策略和想法，並探討學習能力對學童解題策略變化的影響。此外，乘法問題的類型與數字大小對學
2、童解題策略之選用的影響，也是本文的探討重點之一。從蒐集到的資料中發現：（1）不同學習能力的學童都是從最初使用加法來解決乘法問題轉變成使用乘法來解題。（2）每一位學童從使用加法轉變成使用乘法的歷程並不相同，變化速度的快慢也因人而異。而比較三位學童不同階段的解題表現後發現，學童解題策略的改變歷程與變化速度不同主要是受到學童學習能力的影響。（3）不同類型的乘法問題與不同大小的數字範圍也會對學童解題策略的選用造成影響。關鍵詞：國小二年級學童、乘法問題策略之變化、個案研就關鍵詞：國小二年級學童、乘法問題解題策略之變化、個案研究壹、前言一、研究動機筆者在八十學年度與八十四學年度數學舊課程（根據六十四年課程
3、標準施行之課程）的乘法單元教學時，發現二年級學童在學習乘法時有：（1）在乘法教學初期，大多數學童僅能以連加法來解題，九九乘法表教學以後，則改為用乘法來解題，少有其他的解題方法；（2）機械性的背誦九九乘法表，並沒有真正的瞭解乘法的意義與使用時機；（3）不了解倍數的概念，無法正確表徵出倍數的意義；（4）乘數超過九時，常會有多算或少算的情形發生；以及（5）使用乘法來解決乘法問題時，被乘數和乘數常常會混淆，也就是將被乘數與乘數的位置對調等五種明顯的情形發生。在八十六學年度教學數學新課程（根據八十二年課程標準施行之課程）的乘法單元時，筆者曾利用自己與同事的班級（使用南一版的教材），共80位二年級學童為樣
4、本，以取自課本、習作的乘法問題來蒐集學童的解題策略。筆者以同一份試卷在乘法啟蒙教學前與教學後，各讓學童填寫一次，而從教學前、後所蒐集到的資料中發現：（1）學童除了連加法之外，還有其他的加法解題策略；（2）學童使用一些過渡型解法來解決還沒教過的乘法問題，例如二位數乘以二位數的問題。除此之外，筆者也發現自己班級的學童，並非只是從加法轉而使用乘法這麼簡單的來學會解決乘法問題而已，而是有許多互不相同的表現，例如有些學童很快便從使用加法轉而使用乘法，但有些學童直到教學後仍無法使用乘法，或是在面對不熟悉的乘法問題時會改以加法來解題。從文獻中發現，正整數乘法雖然被視為是最簡單的乘法運算（林原宏，民83；Be
5、ll, Greer, Grimison, & Mangan, 1989），但是有不少學童在乘法教學以後仍然無法理解與應用乘法。此外，在國內有關乘法的研究中，研究對象全都是中、高年級的學童（吳仁俊，民85；李光榮，民86；林原宏，民83；林碧珍，民80），研究的重點大多是乘、除法並進（李光榮，民86；林原宏，民83；林碧珍，民80），而研究方法則多是以教學晤談（teaching interview）的方式（吳仁俊，民85；李光榮，民86），來理解學童在某一段時間、某一數概念下的乘法解題策略。至於國外的研究（Bell et al., 1989; De Corte, Debaere, & Versc
6、haffel, 1994; Greer, 1992; Nesher, 1988; Schwartz, 1988; Usiskin & Bell, 1983; Vergnaud, 1988），則多數是探討乘、除法問題的數學結構與學童對乘、除法的迷失概念，二者皆缺少對低年級學童乘法解題策略的變化做深入的探討與研究。基於二年級學童在學習過程中有明顯的時間差和路徑差，以及缺乏低年級學童乘法研究的發現，筆者以國小二年級的學童為對象、以正整數的乘法問題為範圍，來探討國小二年級學童乘法問題解題策略的變化歷程，希望經由本研究的進行，能夠深入了解此一較少被探討的重要階段，一來讓國小的數學教育者能有一完整且連貫的
7、參考資料，二來對乘法啟蒙教材之編寫與教師教學方法之改進有所貢獻。二、研究目的本研究的主要目的在深入探討國小二年級學童正整數乘法問題解題策略的變化歷程，因為學童解題策略的使用受學習能力的影響，故筆者以不同的學習能力為考量來探討學童解題策略的變化。此外，由於乘法問題的設計牽涉到問題的類型與數字的大小，所以本研究也會連帶的探討問題類型與數字大小對學童解題策略變化的影響。三、名詞釋義1.學習能力：所謂的學習能力，就是從事行為改變或獲取知識、技能的能力（楊憲明，民85）。故學習能力應包括學童的各種能力，但在本研究中，筆者以學童的數學學習能力為主要考量來探討學童的解題策略變化，所以在學習能力的分類上，是以
8、學童國小一年級上、下學期以及二年級上學期之數學學期成績為主，並不包括其他科目之表現情形。2.乘法問題：本研究所呈現的乘法問題，包括等組型、直積型與比較型乘法問題，並不限於乘法啟蒙教材中所提及的單位轉換問題（大多數是等組型問題）與倍的問題（大多數是比較型問題）。3.變化：筆者從教學經驗中發現，學童在不同學習階段所使用的乘法解題策略不同，有些學童甚至在整個過程中都未曾使用某一種解題策略，因此，本研究所謂的變化是指學童從某一解題策略轉變成另一解題策略的過程。 四、研究限制本研究所涉及的教材範圍是國小二年級的乘法啟蒙教材，並未包括其他年級的乘法教材，也不包含二年級數學教材中的其他單元。此外，因為研究方
9、法與筆者時間、能力的限制，僅隨機挑選一個班級，然後從這個班級的高分組、中分組和低分組中各挑出一位學童做為深度訪談的個案，所以本研究的研究結果不宜過度推論。貳、文獻探討一、乘法問題解題策略的分類與發展順序Anghileri(1989)以訪談和觀察來分別蒐集4到12歲學童的乘法解題策略，然後按照計數程序的複雜程度，將學童的乘法解題策略歸納、整理成以下四種：單一式計數（unitary counting）、節奏式數數（rhythmic counting in groups）、數字模式（use of number pattern）和乘法事實的使用（use of multiplication facts）
10、，並在研究結果中發現，學童應該是從單一式計數、節奏式數數，發展到乘法事實的使用。Kouba(1989) 以乘法和除法問題來分別蒐集一到三年級國小學童的解題策略，並從資料中發現，學童的乘法文字題解題策略依據抽象程度可分成：直接表徵法（direct representation）、過渡型數數法（transitional counting）、加法（additive）和背誦乘法事實（recalled number fact），並從統計結果中發現，越低年級的學童使用的策略就越具體，因而策略的發展順序應該是從直接表徵法、過渡型數數法、加法，發展到背誦乘法事實。Mulligan(1992) 從70位國小二年
11、級學童長達二年的訪談中發現，學童乘法解題策略的表現層次有三：直接表徵後點數、無直接表徵之計數或相加、使用已知或推論出的加法或乘法事實。此外，Mulligan進一步將學童所使用的解題策略細分成九種：全數（counting all）、兩數同數（double counting）、跳數（skip counting）、連加法（repeated addition）、重複相加（additive doubling）、折半相加（additive halving）、已知的加法事實（known addition fact）、已知的乘法事實（known multiplication fact）和推論出的乘法事實（de
12、rived multiplication fact）。Mulligan 和Mitchelmore(1997)先按照計算策略（或稱抽象程度）將其他研究者所提出的乘法解題策略分成五種，並形成發展的順序為直接計數、節奏式計數、跳數、加法式計數和乘法式計數。然後以70位國小二年級學童做長達二年的訪談，而從研究結果中發現，學童的解題策略有七：單一式計數（unitary counting）、向前節奏式數數（rhythmic counting forward）、向前跳數（skip counting forward）、連加（repeated addition）、重複相加（additive doubling）、
13、已知之乘法事實（known multiplication fact）與推論之乘法事實（derived multiplication fact）。林慧麗（民80）以訪談法來分別蒐集幼稚園到國小二年級幼兒的乘法解題策略，然後依據抽象程度，將幼兒的乘法解題策略分成六種：直接表徵法、加法、跳數法、回憶法、數數法和未知法，並從不同年紀學童的表現中發現，解題策略的發展順序為直接表徵法、數數法、跳數法、加法和回憶法（未知法因學童不能清楚說明解答產生的歷程，因而無法決定其發展順序）。筆者從上述五個研究中發現，有多位研究者（林慧麗，民80； Anghileri, 1989; Kouba, 1989）是以橫斷研究
14、法（cross-sectional approach）來歸納出學童解題策略的發展順序，而用這種方法發展出的變化順序，頗令人質疑是否能適切代表學童的乘法解題策略之變化。因此，筆者以Mulligan(1992)以及Mulligan 和Mitchelmore(1997)兩個研究中所提出的發展順序為主，將乘法解題策略依據直接表徵（計數方法常是一一計數，包括使用手指來輔助的節奏式數數與跳數）、不需利用手指輔助的節奏式數數與跳數、加法運思、乘法運思、過渡型解法（利用已知的乘法事實來推演出問題的答數）等五種不同的認知階層來加以分類（如表2-1），並以此發展順序（直接表徵、節奏式數數、加法、乘法、過渡型解法）
15、作為本研究分析資料與詮釋結果的依據之一。二、乘法問題之情境模式乘法問題可以依據不同的參數來加以分類（許美華，民89b），但因國小二年級乘法啟蒙教材中文字題所使用的數字都是正整數，所以依據Greer（1992）的分類，將正整數乘法文字題分成以下四種：表2-1 乘法問題解題策略之分類與發展順序解題策略之提出者 分類（時間）解題策略之階層（以底線標出者為橫跨二個階段的解題策略）直接表徵節奏式數數與跳數加法運思乘法運思過渡型解法Anghileri(1989)1.單一式計數2.節奏式數數數字模式使用乘法事實使用乘法事實Kouba(1989)直接表徵法過渡型數數法加法背誦乘法事實背誦乘法事實Mulliga
16、n(1992)1.全數2.兩數同數3.跳數1.全數2.跳數3.兩數同數1.連加法2.重複相加3.折半相加4.已知的加法事實已知的乘法事實推論的乘法事實Mulligan & Mitchelmore(1997)單一式計數1.向前節奏式數數2.向前跳數1.連加法2.重複相加法已知的乘法事實推論的乘法事實林慧麗（民80）1.直接表徵法2.數數法1.數數法2.跳數法加法回憶法回憶法1.等組型問題（equal groups）是由一些內含有相同個數之物體的集合所構成的情境，等組情境以不同的方式出現，有些例子是自然重複的情形（如n個人有5n根手指頭）；重做一連串的動作（如一次走3步，要走4次）；和人們的習慣，
17、就如同將相同數目的東西給予一些人（如老師發給4個小朋友，每人5顆糖果）。等組情境的另外一種變化方式是比率的乘法（如每個人有4塊餅乾，3個人共有幾塊餅乾？），3個人是一個人的3倍，所以餅乾數也會增為3倍。2.直積（Cartesian product）是描述一種有序對（ordered pair）關係，每一個有序對都是由一個集合的每一個元素與另一個集合的所有元素有順序的結合而成。例如，小明有4件不同顏色的上衣和5條不同款式的長褲，可以用來搭配成不同的外出服，請問小明的外出服有幾種不同的搭配方式？在這個問題中，外出服是由上衣與長褲二個集合所合成的。直積問題除了上述的外出服組合問題（新集合是由二個已知集
18、合中的所有元素按照順序所合成的一種問題）之外，還包括陣列問題（問題中的物件是呈方陣排列的一種乘法問題）。例如，牆上的磁磚橫看有5列，直看有6排，請問牆上共有幾塊磁磚？這個問題可以利用直排的數目乘以橫列的數目來求出圖中的總數。3. 長方形面積（rectangular area）是將長方形任一邊和相鄰一邊的長度相乘，也可以把長方形分割成邊長為1公分的正方形，於是，長方形面積可以用正方形的個數來計數，這樣一個圖示和由m行和n列所形成的棋盤圖（就像上述的陣列問題）很類似。例如，長4公尺，寬5公尺的長方形，其面積為多少平方公尺？可以長度乘以寬度來求得長方形的面積，也可以用將長分成4個1公尺與將寬分成5個
19、1公尺所構成的棋盤圖，來求出面積。在直積問題和長方形面積問題的運算中，上衣和長褲、直排的數目和橫列的數目、長和寬、m和n等二個數字都被視為等價，也就是說，這二個數字都可以是被乘數，而不影響其運算結果。而在本研究中，考量二年級學童能力，長方形面積問題將以棋盤圖的形式呈現，其運算與直積型的陣列問題一樣，所以筆者將長方形面積問題和直積問題合成一類，稱為直積型乘法問題。4. 比較型乘法（multiplicative comparison）是一種常被以n倍是多少？來敘述的情境，例如，小華的蘋果是小明的3倍，如果小明有4個蘋果，小華有幾個蘋果？乘法因子（multiplicative factor，也就是3
20、倍）則被視為是乘數。此種比較型問題牽涉到二個量，小明的蘋果數是基準量，而我們則是利用基準量來求小華的蘋果數目（比較量）。除此之外，比較型乘法問題也可以被視為是多與一的對應（many-one correspondence），亦即小華的3個蘋果相當於小明的1個蘋果。依據上述的說明，筆者將乘法問題的分類以圖2-1呈現如下，而筆者將以此分類作為設計訪談問題的依據之一。乘法問題等組型問題 直積型問題 比較型問題圖2-1 乘法問題之分類三、相關教材之分析為了解各種版本所設計的教學內容，筆者依據乘法問題的分類（見圖2-1），將課本與習作中的例題和練習題，以一題為分類、統計的單位，將等組型、直積型和比較型三種
21、乘法問題的出現次數統計如表2-2。從表2-2中發現，在六種版本之乘法啟蒙教材中所設計的乘法問題，以等組型問題佔了絕大多數，約佔了教材總數的90；而直積型乘法問題則佔了7左右；比較型乘法問題所佔的份量最少，僅有3。教材的分析除了了解學童的學習內容，亦幫助訪談問題的編製與題數安排。受訪學童在研究期間使用南一書局版本的數學教材，而南一書局版本的乘法啟蒙教材共有三個單元，每個單元都各有其教學重點，筆者現在將各單元的教學重點以表2-3呈現如下。除南一版之外，筆者也參考國立編譯館版本的數學教材，所以本研究中乘法問題的數字大小範圍還包括了二位數乘以一位數的乘法問題，共有一位數乘以一位數、一位數乘以二位數與二
22、位數乘以一位數三種數字範圍的乘法問題。表2-2 六種版本中各類型乘法問題之出現次數表 問題情境出現版本 次數()等組型問題直積型問題比較型問題總計國立編譯館62 （98）1 （2）063南一書局110（95）5 （4）1（1）116康軒出版社65 （88）2 （3）7（9）74明倫翰林出版社76 （96）3 （4）0 79新學友書局66 （93）5 （7）071牛頓出版社10 （32）15（48）6（19）31總計389（90)31（7）14（3）434表2-3 南一書局版本乘法啟蒙教材的教學重點單元（名稱）教 學 重 點第三單元（有幾根手指頭）（1）一位數乘以一位數與一位數乘以二位數（2）以
23、加法來解決乘法問題（3）問題類型多是等組型問題（習作出現1題陣列問題）第五單元（有幾倍）（1）一位數乘以一位數與一位數乘以二位數（2）加法與乘法的連結（3）問題類型都是等組型問題第七單元（乘法）（1）一位數乘以一位數與一位數乘以二位數（2）用有的解題記錄來解決乘法問題（3）除了4題陣列和1題倍數問題外，大部分是等組型乘法問題參、研究方法一、研究對象考量筆者的時間和精力無法深入了解所有二年級學童之乘法解題策略的變化，於是筆者從服務學校內二年級十三個班級中，隨機選取一班，先將這個班級中的所有學童，依據一年級上、下學期及二年級上學期之數學學期成績，分別分成高分組（前27%的學童）、中分組（中間46%
24、的學童）、和低分組（後27%的學童），從三個學期都是高、中、低分組的學童中各挑出一位口齒較為伶俐的學童做為深度訪談的個案，因此共有三位接受訪談的個案。在訪談學童的挑選上，因為學童三個學期的數學成績彼此間的差距不大，為避免挑選出的三個學童能力太過相近，無法真正得知學習能力對解題策略的影響，因此筆者選取三個學期都是班級中表現最好的學童為高分組的訪談學童；數學學期成績接近班級平均數的學童為中分組的訪談學童；數學學期成績皆是最低的學童為低分組的訪談學童，以期所蒐集到的資料能夠適切的代表學習能力不同的學童。二、研究工具筆者參考數學課本、習作、教師手冊、國內外相關研究，以及乘法問題的分類（見圖2-1），分
25、別設計相關的乘法問題，經過二次預試，發展成正式的訪談問題。正式的訪談問題共有22題，包括等組型乘法問題12題、直積型乘法問題4題與比較型乘法問題6題。訪談問題的隔週重測信度（Pearson積差相關）為.824，而筆者依據乘法問題的分類，參考課本、習作、教師手冊以及國內外相關的研究報告，編製成試題，再經二次預試，才發展成正式的訪談問題，每次預試的結果都與師院教授和國小老師討論，並將討論的意見作為編選及修正問題的依據，所以訪談問題應有不錯的內容效度。此外，本研究為理解學童乘法解題策略的變化，將會以訪談問題於不同的時間來蒐集學童的解題策略。為求了解同類型乘法問題之解題策略的變化，不同時間所使用之乘法
26、問題的敘述將不予改變，只是將題目出現的順序改變，及改變問題所涉及之事物及數值，以避免學童記憶力的影響。三、資料蒐集筆者以晤談法來蒐集三位受訪學童的訪談資料，訪談的進行方式是先讓三位學童利用紙筆填寫訪談問題（每次11題），然後從學童的表現中挑選題型特殊、解法與學童平時的表現不同或是答錯的問題來問學童，請學童解釋自己的做法。當學童答完這些題目以後，筆者再從答對的題目中挑選各類型或題意特殊的問題來問學童，在每一階段的訪談中，各類型的問題最少要有一題。此外，因為南一版的乘法啟蒙教材分布在第四冊的三、五、七單元，每個單元各有其教學重點（見表2-3），為確實了解學童在每個乘法單元教學後解題策略的改變，本研
27、究的訪談分成教學前、第三單元教學後、第五單元教學後、第七單元教學後、總結教學表現（二年級下學期期末）和確認期（三年級上學期）六個階段實施。每一位訪談個案在每一階段有一到二次的訪談機會，每次訪談的時間為30至40分鐘。再者，為減少筆者分析資料時受個人主觀想法影響所產生的誤差，除了學童的訪談資料外，筆者商借三位受訪學童的課本、習作和月考試卷等資料，以增加深入探討學童乘法解題策略之變化的資料，並且可以和訪談資料交互檢驗。四、資料分析本研究所蒐集到的資料以文件分析法（document analysis）來加以分析。所謂的文件分析法是透過量化的技巧及質化的分析，以客觀和系統的態度對文件內容進行研究、分析
28、、與檢核，以作為資料的來源，或增強其他資料來源的證據（王文科，1993；黃瑞琴，民80；歐用生，民80）。文件分析的程序依序為：蒐集提供分析的資料；界定分析的類別（classes）；決定分析的單位（units）；確定分析的範圍；決定陳列的方式；然後再進行分析（吳明清，民80）。在本研究中，文件分析的單位是一題，而分析的類別是學童解題策略的類型。根據乘法解題策略的分類與發展順序（見表2-1），筆者將舊課程、實驗課程、新課程之各種版本（國立編譯館，民81、民86、民87；教師研習會，民82、民83；南一書局，民87；新學友書局，民86、民87；明倫翰林出版社，民87；康軒出版社，民86、民87）的
29、教學指引中所發現之學童可能的做法與八十六學年度所發現的學童解題策略合併、歸納成以下十二種（詳見表3-1）。資料分析的步驟是先將個別學童的訪談資料按照階段來整理，然後再加以分析，而資料分析的內容是學童的整體表現、問題類型的影響與數字大小的影響。接著將三位學童各個階段的表現加以比較，從中發現學習能力對解題策略變化的影響。表3-1 學童之乘法解題策略解題策略之名稱解 題 記 錄 （例題：68）實物式直接表徵以花片或教具呈現出題目的意義。圖畫式直接表徵000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 ，或是 6 6 6 6 6 6 6 6
30、全數1、2、3、4、5、6（暫停）；7、8、9、10、11、12（暫停）；43、44、45、46、47、48。跳數6（1）、12（2）、18（3）、24（4）、30（5）、36（6）、42（7）、48（8），或是6、12、18、24、30、36、42、48連加法6+6+6+6+6+6+6+6=48，或是6+6=12 12+6=18 18+6=24 24+6=30 30+6=36 36+6=42 42+6=48兩兩相加法6+6=12 （6+6=12 6+6=12 6+6=12） 12+12+12+12=48，或是12+12=24 24+12=36 36+12=48重複相加法6+6=12 （6+6
31、=12 6+6=12 6+6=12） 12+12=24 24+24=48序列乘法61=6 62=12 63=18 64=24 65=30 66=36 67=42 68=48直接乘法68=48先乘再加法（以412=48為例）49=36 3640 4144 4548，或是49=36 36+4=40 40+4=44 44+4=48，或是49=36 36+4+4+4=48，或是49=36 4+4+4=12 36+12=48接續乘法表之序列乘法（以412=48為例）49=36 410=40 411=44 412=48二堆乘法（以412=48為例）49=36 43=12 36+12=48肆、研究結果與討論
32、在本研究中，接受訪談的學童共有三位，其中云云（假名）是高分組的受訪學童；曉千（假名）是中分組的受訪學童；而玉真（假名）則是低分組的受訪學童。教師的教學方法與學童乘法解題策略的變化有非常密切的關係，因此在資料分析之前先呈現教師的教學方法，以避免解釋資料時將教學的影響排除在外。美華：郝老師，你平常上數學課時是以什麼樣的方式來進行的？你的流程是怎樣的？郝師：我會利用課本的範例，以請小朋友表演或讓學生遊戲的方式，來讓學生了解題意。然後學生利用小白板個別解題，解完題後每組比賽，我會請每一組的某號出來把解題方法寫在黑板上，只要方法正確，即給予獎勵，然後我會稍加講解。（88年12月9日之訪問談話）由上面的訪
33、談中可以發現，郝老師的教法很活潑，上課方式則以討論法為主。此外，筆者在訪談過程中發現三位訪談學童第三單元教學後的訪談表現與教學前幾乎一樣，第七單元的表現與總結教學表現階段的表現也相差不多。為求學童解題策略的變化更為明顯，在以下的資料分析中，筆者將第三單元教學後的訪談資料與教學前的資料合併，將第七單元與總結教學表現階段的資料合併分析。一、云云（一）教學前和第三單元教學後從云云此階段的資料中可以明顯的看出，云云習慣使用兩兩相加法（兩個、兩個相加後再全部加起來）來解決乘法問題。除兩兩相加法之外，云云還使用連加法（一個、一個慢慢累加起來）和重複相加法（以上一次運算的答數重複再加一次）來解決乘法問題。在
34、此時，對於等組型乘法問題，云云使用兩兩相加法、連加法和重複相加法來解題；對於直積型乘法問題，則以兩兩相加法和連加法為主；而解決比較型問題時，云云幾乎都是使用兩兩相加法。在此階段，云云絕大多數是以兩兩相加法來解決一位數乘以一位數的問題，但是連加法的使用也不少；解決一位數乘以二位數的問題，則以重複相加法為主；而解決二位數乘以一位數的問題，則以連加法為主，使用兩兩相加法的次數也不少。從上面的說明中，筆者發現數字大小並沒有造成云云解題的困難，但是云云對於解決一位數乘以二位數的問題與二位數乘以一位數的問題所使用的解題策略壁壘分明，云云對於第一種問題因為要加的次數太多，所以使用重複相加法，以縮短運算的時間
35、；但是對於第二種問題則沒有這樣的需要，或是因為數字大相加時容易犯錯，所以使用兩兩相加法來進行。（二）第五單元教學後在第五單元教學後的訪談中，云云開始使用直接乘法來解題，而且馬上成為解題的主要活動類型；但在此同時云云也使用重複相加法與兩兩相加法來解題。從云云的表現中可以發現，云云解決問題時都是先以直接乘法來解題，然後在筆者要求再想一想其他的做法時才出現其他的解法，筆者認為這應該是受到乘法較為簡易，而且可以查出答數，以及老師和考試時給分的標準是只要有一種正確解答即可所影響。在此時，對於等組型乘法問題，除了直接乘法以外，云云也使用重複相加法；對於直積型乘法問題，以使用直接乘法的次數最多，兩兩相加法次
36、之；而解決比較型問題時，云云幾乎都是使用直接乘法。由云云的表現中可以發現，云云雖然能夠解決比較型問題，但可能是因為不熟悉比較型問題，所以解題策略無法多樣化。此外，筆者發現云云在解決一位數乘以一位數的問題時，是以背誦九九乘法表或查乘法表來找出答數的。但是在解決一位數乘以二位數或二位數乘以一位數的問題時，則分別將一位數乘以二位數的十位與個位，得到2個數，然後將這2個數一個在十位，一個在個位（若這個數是二位數，則將此數的十位與第1個數對齊）的加起來，以求出答案，但是追問為何第1個數要放在十位，則無法給予合理的理由。在第五單元教學後的訪談中，發現云云對於一位數乘以一位數、一位數乘以二位數、二位數乘以一
37、位數的問題，都能正確、快速的解決。為了探索云云對於數字更大的問題的解題策略，筆者在訪談中加入二位數乘以二位數的問題（筆者考慮到低分組的玉真常常算錯答數太大的題目，因此沒有讓玉真回答這種問題）。而當云云面對二位數乘以二位數的問題時，會嘗試以直接乘法來解決問題，但是通常直接乘法無法順利解決問題，所以云云放棄使用直接乘法，回復到使用重複相加法來解題。（三）第七單元教學後與總結教學表現階段在此階段的訪談中，云云仍然是以直接乘法為主要的解題策略，但也有一些題目是使用兩兩相加法、重複相加法和二堆乘法來解題的。在此時的訪談中也可以發現教師的教學對學童的影響。在第七單元教學後的訪談中，云云利用以被乘數的十位和
38、個位數字分別乘以乘數後，再加起來的方式來解題，但是云云是以記憶老師給的答案為求得答數的方法。而在總結教學表現階段的訪談中，筆者卻發現云云對乘法的使用方式開始多了起來，例如云云以二堆乘法（平分或分成幾堆後，分別乘出再相加）來解決一位數乘以二位數的乘法問題，也利用這種方法來解決二位數乘以一位數的問題。在此階段，對於等組型乘法問題，云云大多數是以直接乘法來解決，但是兩兩相加法、重複相加法和二堆乘法也不在少數；而對於直積型與比較型二種不同類型的乘法問題，云云是以直接乘法為主要的解題策略。在第七單元教學後，云云仍然無法解釋為何一位數乘以二位數或二位數乘以一位數後所得到的2個數，1個要放在十位，1個要放在
39、個位。但是在總結教學表現階段的訪談中，云云已經可以解釋為何一位數乘以二位數後所得到的2個數，1個要放在十位，1個要放在個位。在此同時，云云對於二位數乘以二位數的問題仍無法掌握得很好，即使學童寫出乘式，答數依然是用重複相加法或二堆乘法來求出的。但是云云對於10乘以10的問題則掌握的很好，可以利用直接乘法來解題。這種情形的發生可能是因為云云對12與10的掌握能力不同所致，因為10個、10個一數的方法，從一年級起就有持續教學的情形（國立編譯館版本第二冊第四、第五和第七單元，民86；南一書局版本第三冊第二單元，民87），所以云云能夠經由10個一數的想法來解題；而12則因為數字太大而無法順利解題，而需藉
40、助加法。（四）確認期筆者為確定學童經過一段時間的延宕之後，選用乘法解題策略的情形有無變化？若有變化，變化情形為何？所以在學童三年級剛開學，新的乘法單元未教學前，再實施一次訪談，來獲得學童經過一個暑假後對乘法問題所使用的解題策略。在云云確認期的訪談中，可以發現云云對各種問題皆能以直接乘法來解決，解題策略很固定。此外，在確認期的訪談中也可以發現，云云對於一位數與二位數的乘法問題沒有再以二堆乘法的方式來解題，而是以直接乘法來解題，所以二堆乘法可能是云云在學習過程中模仿他人的做法而來。而云云在使用直接乘法來解決一位數與二位數的乘法問題時，已經能夠將位值掌握得很好了。從上面四個階段的說明中可以發現，云云
41、在整個乘法學習的過程中，解題策略的變化速度相當快，犯錯率也最低，一路非常順利的從連加法、兩兩相加法、重複相加法，一位數直接乘法發展到二位數直接乘法。二、曉千（一）教學前與第三單元教學後從曉千此階段的資料中，可以清楚的發現曉千是以連加法來解決乘法問題的。但是對於較不熟悉的倍數問題（教學前尚未學過這種問題），曉千會先以圖畫來表徵題意，然後再以一一點數、節奏式數數或是連加法來算出答數。在此時，曉千對於等組型、直積型和比較型乘法問題，都是以連加法為主要的解題策略，而曉千在解決比較型問題時，除了使用連加法之外，圖畫式直接表徵也是重要的解題策略；在解決組合問題時，則依賴代替物來幫助解題。在此階段，對於一位
42、數乘以一位數、一位數乘以二位數和二位數乘以一位數的問題，曉千都以連加法來解決，而除了少數的圖畫式解法之外，幾乎沒有其他解法的出現。（二）第五單元教學後曉千在第五單元教學後，仍是以連加法為主要解題策略，但是除了連加法之外，曉千也開始使用直接乘法來記錄了。在此時，曉千只在數字不超過9的乘法問題上，才使用直接乘法，如果數字超過10，曉千就無法使用直接乘法了，這是因為曉千需要利用查乘法表的方式，才能知道乘式的答數。此外，雖然曉千說超過10的乘法，就不會用乘法了，但是在訪談過程中，筆者發現曉千還是有利用乘法來記錄被乘數或乘數超過10的題目，不過其答數是經由加法算出的。在此時的訪談中，曉千對於等組型、直積
43、型和比較型乘法問題，都是以連加法為主要的解題策略，曉千解決等組型問題時，除了使用連加法之外，直接乘法也是重要的解題策略，使用次數不少。對於一位數乘以一位數、一位數乘以二位數和二位數乘以一位數的問題，曉千仍然是以連加法為主要策略來解題，同時曉千也以乘法來解決問題，但是求答的方式各有不同，對於一位數乘以一位數的問題，曉千是用查表的方式來完成乘式的；而對於一位數乘以二位數的問題，則是以先乘再加法：利用乘法表的最後一條乘式（例如49=36），再往上加幾個、加幾個的方式來得到答數的。曉千對於二位數乘以一位數的問題則大都以連加法來得到答數。（三）第七單元教學後與總結教學表現階段曉千在此時是以直接乘法和連加
44、法為最常使用的策略，但是使用兩兩相加法的次數也不少。在此時的訪談中也可發現，曉千對於等組型、直積型和比較型乘法問題，都是以直接乘法和連加法為主要的解題策略。曉千在此階段面對一位數乘以二位數的乘法問題時，是以直接乘法來記錄，然後再利用先乘再加法來計數出答數的。而在面對二位數乘以一位數的問題時，曉千雖然能夠寫出乘式記錄，但是因為乘法表上並沒有超過10的被乘數，所以曉千是以連加法來算出答數的。但是當曉千面對10與12的問題時，會自己從101與121開始做10和12的乘法表（甚至可以做到1212），以求出答數，而這種接續乘法表的序列乘法就變成曉千解決二位數乘以一位數的主要方法。從教師的訪問與曉千自己的
45、說明中發現，曉千可以做出10的乘法表應該是郝老師教學和媽媽複習的結果，但是曉千會作12的乘法，就很有可能是他從10的乘法表與先乘再加法類推而學來的。曉千在此時對於二位數乘以二位數的題目，通常是以兩兩相加法來求出答數的，雖然在筆者的鼓勵下可以寫出乘式來，但是答數是參考加法的答案的。（四）確認期曉千在確認期的訪談中最常使用的解題策略是直接乘法，但是卻忘了連加法應該如何記錄，而這種遺忘記錄方法的情形在其他訪談學童的資料中並沒有發現。曉千遺忘連加法記錄方法的理由應該是她已經熟悉較抽象、步驟較少的乘法，不需再花費太多時間來使用較具體、步驟較多的連加法。從上面四個階段的說明中可以發現，曉千在整個學習過程中
46、，乘法解題策略的類型比起云云，相對的少了不少，變化速度也較慢，而且在一位數直接乘法與二位數直接乘法的轉換時發生較多的問題。從上面四個時期的說明中可以發現，曉千是從連加法、一位數直接乘法、先乘再加法發展到二位數直接乘法的。三、玉真（一）教學前與第三單元教學後玉真在此階段是以連加法來解決各種乘法問題。在紙筆測驗中，因為沒有花片可以使用，所以答對的題目很少，在訪談中，玉真則利用花片，配合連加法來成功的解決許多乘法問題。在紙筆測驗中，玉真以一種奇怪、有規律的錯誤方法，也就是以被乘數加乘數個乘數（例如84，以8+4=12、12+4=16、16+4=20、20+4=24來解題）的方式來解題的，所以筆者認為玉真應該了解乘法有等數連加的特性，但是對單位數與單位量兩個數不夠理解，無法把二者分清楚，因此以這種方法來解題。除此之外，從玉真第三單元教學後的資料中，可以發現：玉真無法解決單位轉換的問題（星期換成天，打與枝的互換）。雖然到訪談的最後，玉真做對了單位轉換的問題，但極有可能是經由其他類型之乘法問題的成功解答方式，複製到此類問題上，因而成功之故。因為當筆者在第五單元教學後再次問及單位轉換的問題時，玉真仍然無法正確解題。在此階段，玉真對於三種不同類型的乘法問題都是以連加法為主要解題策略，由此可知，乘法問
