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1、文化小学CMT,文化小学CMT,序言：“你知道吗？”,文化小学CMT,人教版中的“你知道吗？”,文化小学CMT,北师版中的“你知道吗？”,文化小学CMT,苏教版中的“你知道吗？”,文化小学CMT,进入21世纪之后，数学文化的研究 更加深入。一个重要的标志是数学文化 走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到 文化感染，产生文化共鸣，体会数学的 文化品位，体察社会文化和数学文化之 间的互动。,文化小学CMT,一、奇妙无穷的数,文化小学CMT,他不仅知道把数划分为奇数、偶数、质数、合数；还把自然数分成了亲和数、亏数、完全数等等。,他分类的方法很奇特，其中，最有趣的是“形数
2、”。,有形状的数,文化小学CMT,当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数。,当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数。,当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做五边形数。,引 出 猜 想,文化小学CMT,连续自然数的和都是三角形数：12 3 n 的和正好就是第 n 个三角形数。,第 n 个正方形数等于 n2；第 n 个五边形数等于 n（3 n 1）/2,简捷的计算方法：12 3 n 1/2n（n 1）。,文化小学CMT,纯几何方法证明数学定理,文化小学CMT,神奇
3、的筛子,质数是自然数的一部分。有趣的是，它却与自然 数的个数一样多，也有无穷多个。2000多年前，古希腊数学家就从理论上证明了这一点。,质数看上去要比自然数少得多：在1到1000之间，有168个质数；在1000到2000之间，有135个质数；在2000到3000之间，有127个质数；而在3000到4000之间，就只有120个质数了。,怎样从自然数里把质数找出来呢？,文化小学CMT,神奇的筛子,文化小学CMT,费尔马小定理,费尔马(Pierre de Fermat，16011665）法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。,文化小学CMT,费尔马小定理,1640年，费尔马发现了一个有趣的现象：
4、当n1时，22n1 221 1 5;当n2时，22n1 222 1 17;当n3时，22n1 223 1 257;当n4时，22n1 2241 65537。,费尔马没有继续算下去，他猜测说：只要n是自然数，由这个公式算出的数一定都是质数。,文化小学CMT,费尔马小定理,莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler，1707年4月5日1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔弗里德里克高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y=F(x)(函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。他是把微积分应用于物
5、理学的先驱者之一。,文化小学CMT,费尔马小定理,文化小学CMT,费尔马小定理,几千年来，数学家们一直在寻找一个能求出所有质数 的公式。但直到现在，谁也未能找到这样一个公式。,谁也未能找到证据，说这样的公式就一定不存在。,这样的公式究竟存在不存在，成了一个著名的数学难题。,文化小学CMT,费尔马小定理,费尔马有心找出一个求质数的公式，未能成功。倒是 他无意提出的另一个猜想，对寻找质数很有用处。,费尔马猜测说：如果p是一个质数，那么，对于任何自然数n，npn一定能够被p整除。这个猜想被人称做费尔马小定理。,费尔马猜对了。例如11是一个质数，2是自然数，2112一定能够被11整除。,文化小学CMT
6、,费尔马小定理,若n能够整除2n2，n是否一定就是质数呢？,答案是否定的。但人们发现，由这个公式算出的数绝大多数是质数。有人统计过，在1010以内，只要n能整除（2n2），则n有99.9967%的可能是质数。,利用费尔马小定理，这是目前最有效的鉴定质数的方法。,文化小学CMT,奇妙的完全数,古时候，自然数6是一个备受宠爱的数。,6是一个非常“完善”的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系。,6的因数共有4个：1、2、3、6。出了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数。,数学家们发现：把6的所有真因数都加起来，正好等于自然数6本身。数学上，具有这种性质的数叫做完全数。,28也是一个完全数，它的
7、真因数共有4个：1、2、4、7、14。而12 4 7 1428.,文化小学CMT,奇妙的完全数,公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得发现了一个计算完全数的公式：如果2n1是一个质数，那么，由公式N 2n1（2n1）算出的数一定是一个完全数。,18世纪，大数学家欧拉又从理论上证明，每一个偶完全数必定是由这种公式算出的。,文化小学CMT,奇妙的完全数,到1985年，人们找出了30个完全数。,到2004年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找出了40个完全数。,曾经有人验证过位数少于36位的所有自然数，始终也没有发现奇完全数的踪迹。奇完全数是否存在，这还是一个尚待解决的著名数学问题。,文化小学CMT,
8、破碎的数,在拉丁文里，分数一词源于frangere，是打破、断裂的意 思，因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。,在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族 最古老的文献里，都能找到有关分数的记载。然而，分数在 数学中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。,在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途。7世纪时，有个数学家算出了一道8个分数相加的习题，竟 被视为是干了一件了不起的大事情。,一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数 的比”。,文化小学CMT,破碎的数,单分子分数,文化小学CMT,破碎的数,古埃及,单分子分数,文化小学CMT,破碎的数,文化小学CMT,破碎的数,
9、文化小学CMT,破碎的数,文化小学CMT,破碎的数,文化小学CMT,天外来客,文化小学CMT,宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比，除此之外，就不在有别的什么东西。,文化小学CMT,希伯斯,文化小学CMT,毕达哥拉斯：下令封锁消息，警告希伯斯，不要忘记入学时立下的誓言。,希伯斯：不承认这个数，岂不等于是说正方形的 对角线没有长度吗？简直是睁着眼说睛 瞎话。他将自己的发现传扬了出去。,文化小学CMT,学派的光荣可悲的角色,文化小学CMT,文明的标志,圆周率,历史上，各国人民为揭示 的神奇性质，都曾进行过艰苦卓绝的探索。有关 的研究成果，在一定程度上反映了一个民族的数学水平，有人甚至认为
10、它是科学发展的里程碑。在日本的一本高中教材上，就郑重其事地写着：“是文明的标志”。,文化小学CMT,文明的标志,文化小学CMT,文明的标志,1596年，德国数学家鲁道夫又创造了一个奇迹。他耗费 一生大部分的生命，算出的35位小数。人们为了纪念 他，将这一数值铭刻在他的墓碑上，称之为“鲁道夫数”。,1767年，德国数学家兰伯特通过证明 是无理数，从理 论上彻底解决了 的精确值问题。他指出：的小数部 分一定是无限而又不循环的。,1841年，英国的卢瑟福将算到208位小数，其中152位是 正确的；1844年，杰出计算家达瑟将 算到200位小数；9 年之后，卢瑟福重新计算 值，又将 算到了400位小数
11、。,文明的标志,1873年，英国学者威廉欣克采用无穷级数的方法，经过 30年坚持不懈的努力，又将 算到707位小数。在电子计 算机问世之前，这可算得上是一项空前的记录。人们将这 一凝聚着欣克毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂 扬他顽强的意志和坚忍不拔的毅力。,1949年，在世界第一台电子计算机上，几个美国小伙子工 作了70个小时，把 算到2037位数。,1973年，两位法国女数学家利用计算机把圆周率精确到 100万位小数。,1978年，两位日本专家利用更先进的计算机把圆周率 精确到800万位小数。,文化小学CMT,文明的标志,圆周率,计算如此精确的圆周率，对计算圆的面积已没有实际的意义。在
12、实际生活中，把取作3.1416也就足够了。因此，有些数学家认为，这种计算纯粹是一种数学游戏，而另一些科学家则认为，可以由此研究小数出现的规律性，更重要的是，它可以说明人类对自然的认识是无穷无尽的。,文化小学CMT,神秘的两栖物,文化小学CMT,神秘的两栖物,卡当（15011576）意大利数学家,两个数的和是10，积是40，问这两个数各是多少？,解：设第一个数是X。,X（10 X）40,即 X 2 10 X 40 0,文化小学CMT,神秘的两栖物,卡当（15011576）意大利数学家,这两个怪东西正好是题目要求的数！,这两个怪东西应该是一种数。可是，这是一种什么样的数呢？卡当没有弄清楚，17世纪
13、的数学家们也没有弄清楚，他们觉得这种数不像其他的数那样实在。有一种虚无缥缈的味道，于是就取了个名字叫“虚数”。,文化小学CMT,神秘的两栖物,尽管虚数有了数的名称，许多数学家仍然拒绝承认它。例如大数学家牛顿就曾严厉指责虚数缺乏“实在”的物理意义。大数学家莱布尼兹更有趣，他说：虚数是“理想世界的奇异创造”，是一个“介于存在和不存在之间的两栖物”。,文化小学CMT,神秘的两栖物,i,文化小学CMT,神秘的两栖物,其实，虚数并不是虚构的数，其中的秘密，数学家们直到19世纪才弄清楚。,有了虚数之后，整个数系也就完备了。除了0不能做分母以外，任何两个数都可以相加、相减、相乘、相除，以及乘方和开方了。,文
14、化小学CMT,神秘的两栖物,普通人生活中是不会直接用到虚数的，所以大家觉得他没用。但是深入学习之后会发现，没有虚数，就没有现在的生活，虚数是交流电路分析的基础，是电磁波分析的基础，假如没有交流电，电就不可能传输，也就是说几乎没有人能用上电，而没有电磁波，那电话电视手机宽带这一切统统没有,文化小学CMT,奇怪的旅社,milli-million,表示一个大得令人目眩的数:106000000000,形象地介绍了无穷大数的奇异性质：部分可以等于全体！,文化小学CMT,奇怪的旅社,并不是所有的无穷大数都一样大，部分也不是总等于全体的。,为了区分不同的无穷大数，数学家们把无穷大数分成了3个等级。,文化小学
15、CMT,二、变化多端的形,文化小学CMT,度天下之方圆,大禹“左准绳，右规矩”。,“望山川之形，定高下之势”。,文化小学CMT,度天下之方圆,文化小学CMT,度天下之方圆,文化小学CMT,度天下之方圆,公元前11世纪，有位叫商高的古代数学家，详细介绍了用矩的方法：“把矩平放在地上，可以定出绳子的垂直；把矩竖立起来，可以测量物体的高度；把矩倒立过来，可以测量物体的深度；把矩平卧在地上，可以测量两地之间的距离。矩旋转一周，就形成了一个圆形，两个矩合拢起来，就形成了一个方形。”“知天文识地理的人是很有学问的，而这种学问就来自勾股测量，勾股测量又依赖于矩的应用。矩与数结合起来，就可以设计和制作天下的万
16、物。”,文化小学CMT,度天下之方圆,文化小学CMT,测算地球周长,阿基米德曾解决“砂粒问题”。,埃拉托斯芬也回答了一个令人望而生畏的难题：地球有多大？,测算地球周长。,文化小学CMT,测算地球周长,离亚历山大城正南方785千米的塞尼，夏日正午的阳光可以一直照到井底。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。埃拉托斯芬测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的1/50，推算地球的周长为39250万千米，这与实际地球周长40076万千米相差无几。这充分反映了埃拉托斯芬的学说和智慧。,文化小学CMT,几何学的一大宝藏,文化
17、小学CMT,几何学的一大宝藏,黄金分割律,文化小学CMT,几何学的一大宝藏,公元前4世纪，古希腊数学家攸多克萨斯，曾经研究过这样一个问题：“如何在线段AB上选一点C，使得 AB：ACAC：CB”,1：XX：（1X）舍去负值，得 X0.618,“0.618”是唯一满足黄金分割的点，叫做黄金分割点。,文化小学CMT,逻辑体系的奇迹,“陛下，几何学里可没有专门为您开辟的大道！”欧几里得,文化小学CMT,逻辑体系的奇迹,几何原本是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系几何学。,文
18、化小学CMT,逻辑体系的奇迹,什么叫做点？“点是没有部分的。”,什么叫做线？“线有长度但没有宽度。”,文化小学CMT,逻辑体系的奇迹,五条公理,2.等量加等量，其和相等；,3.等量减等量，其差相等；,4.彼此重合的东西彼此是相等的；,5.整体大于部分。,1.等于同量的量彼此相等；,文化小学CMT,逻辑体系的奇迹,五条公设,2.直线可以无限地延长；,3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；,4.所有的直角都相等；,5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在 直线同侧的两个内角之和小于180，则这两条 直线经无限延长后在这一侧一定相交。,1.过两点能且只能作一条直线；,文化小学CMT,逻辑体
19、系的奇迹,欧几里得把公理作为数学推理的基础，用它们作理论依据去证明数学定理。用一根逻辑的链条，把所有的定理都串联起来，让每一个环节都衔接得丝丝入扣，无懈可击。,在几何原本里，欧几里得用这种方式，有条不紊地证明了467个最重要的数学定理。,文化小学CMT,逻辑体系的奇迹,几何原本是欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。除圣经之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与几何原本相比。,文化小学CMT,逻辑体系的奇迹,两千多年来，几何原本一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学
20、者都曾学习过几何原本，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。,文化小学CMT,逻辑体系的奇迹,世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹！爱因斯坦,文化小学CMT,送给外星人看,几何学里有一个非常重要的定理，在我国叫勾股定理，又称为“商高定理”；在国外叫毕达哥拉斯定理或百牛定理。,直角三角形两直角边（即“勾”“股”，短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。,文化小学CMT,送给外星人看,我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了九章算术中。,文化小学CMT,送给外星人看,勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理。几千年来，人
21、们已经发现了400多种不同的证法，足以编成厚厚的一本书。,据说，世界上最先证明勾股定理的人，是古希腊数学家毕达哥拉斯，但谁也未见过他的证法。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得，他的证法采用演绎推理的形式，记载在世界数学名著几何原本里。,文化小学CMT,送给外星人看,在我国，最先明确地证明勾股定理的人，是三国时期的数学家赵爽。,比赵爽稍晚几年，我国数学家刘徽发明了一种更巧妙的证法。,文化小学CMT,送给外星人看,文化小学CMT,尺规作图拾趣,希腊是奥林匹克运动的发源地。一些希腊人认为，几何作图也应该像体育竞赛一样，对作图工作要有明确的规定，以显示谁的逻辑思维能力更强。,几何作
22、图时，只准使用圆规和没有刻度的直尺，并且规定只准使用有限次。,文化小学CMT,尺规作图拾趣,“只准使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分。”,威震欧洲的风云人物拿破仑,文化小学CMT,尺规作图拾趣,等分圆周与作正多边形实际上是一回事。,文化小学CMT,尺规作图拾趣,只使用直尺和圆规，怎样作出一个正5边形和正6边形呢？,阿基米德发现：正7边形是不能由尺规作出的。,文化小学CMT,尺规作图拾趣,采用尺规作图法，究竟有哪些正多边形作得出来，有哪些作不出来呢？,有人猜测：如果正多边形的边数是大于5的质数，这种正多边形就一定作不出来。,文化小学CMT,尺规作图拾趣,按上面这种说法，正17边形是一定作不出来
23、的。在过去的2000里，确实有许多数学家试图作出正17边形，但无一不遭受失败。,文化小学CMT,尺规作图拾趣,高斯还发明了一个判别法则，指出什么样的正多边 形能由尺规作出，什么样的正多边形则不能，圆满 地解决了作正多边形的可能性问题。,在边数是100以内的正多边形中，能够由尺规作出的 只有24种。,1832年，数学家黎克洛根据高斯指出的原则，解决了 正257边形的作图问题。他的作图步骤极其繁琐，写满 了80页纸，创造了一项“世界纪录”。,不久，德国人赫尔梅斯又刷新了这个纪录。他费了 10年功夫，解决了正65537边形的作图问题。这是 世界上最繁琐的尺规作图题。据说，赫尔梅斯手稿 可以装整整一手
24、提箱！,文化小学CMT,蜜蜂的智慧,蜜蜂的勤劳是最受人们赞赏的。有人作过计算，一只蜜蜂要酿造1千克的蜜，就得去100万朵花上采集原料。如果花丛离蜂房的平均距离是1.5千米，那么，每酿1千克蜜，蜜蜂就得飞上45万千米，几乎等于绕地球赤道飞行了11圈。,文化小学CMT,蜜蜂的智慧,蜜蜂不仅勤劳，也极有智慧。它们在建造蜂房时显示出惊人的数学才华，连人间的许多建筑师也深感惭愧。,如果一个人看到蜂房而不倍加赞扬，那他一定是个糊涂虫。著名生物学家 达尔文,文化小学CMT,蜜蜂的智慧,蜂房是蜜蜂盛装蜂蜜的库房。它由许许多多个正六棱柱状得蜂巢组成，蜂巢一个挨着一个，紧密地排列着，中间没有一点空隙。,早在220
25、0多年前，一位叫巴普士的古希腊数学家，就对蜂房精巧奇妙的结构作了细致的观察与研究。,巴普士在他的著作数学汇编中写道：蜂房里到处是等边等角的正多边形图案，非常匀称规则。在数学上，如果用正多边形去铺满整个平面，这样的正多边形只可能有3种，即正三角形、正方形和正六边形。蜜蜂凭着它本能的智慧，选择了角数最多的正六边形。这样，它们就可以用同样多的原材料，使蜂房具有最大的容积，从而储存更多的蜂蜜。,文化小学CMT,蜜蜂的智慧,也就是说，蜂房不仅精巧奇妙，而且十分符合需要，是一种最经济的结构。,历史上，蜜蜂的智慧引起了众多科学家的注意。,著名天文学家开普勒曾经指出：这种充满空间的对称蜂房的角，应该和棱形12
26、面体的角一样。,文化小学CMT,蜜蜂的智慧,法国天文学家马拉尔弟则亲自动手测量了许多蜂房，他发现：每个正六边形蜂巢的底，都是由3个全等的菱形拼成的，而且，每个菱形的钝角都等于109028，锐角都等于70032。,文化小学CMT,蜜蜂的智慧,18世纪初，法国自然哲学家列奥繆拉猜测：用这样的角度建造的蜂房，一定是相同容积中最省材料的。为了证实这个猜测，他请教了巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格。,这样的问题在数学上叫极值问题。克尼格用高等数学的方法作了大量的计算，最后得出结论说，建造相同容积中最省材料的蜂房，每个菱形的钝角应是109028，锐角应是70032。这个结论与蜂房的实际数值仅2之差。,17
27、43年，著名数学家马克劳林重新研究了蜂房的形状，得出了一个令人震惊的结论：要建造最经济的蜂房，每个菱形的钝角应该是10902816，锐角应该是7003144。,文化小学CMT,蜜蜂的智慧,小小的蜜蜂真不简单，数学家直到18世纪中叶才能计算出来，予以证实的问题，它在人类有史之前已经应用到蜂房上去了。,文化小学CMT,三、充满魅力的数学奇观,文化小学CMT,神奇的幻方,洛书：古称龟书，传说有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数。,洛书,文化小学CMT,神奇的幻方,在数学上，像这样一些具有奇妙性质的图案叫做“幻方”。“
28、洛书”有3行3列，所以叫3阶幻方。这也是世界最古老的一个幻方。,洛书,文化小学CMT,神奇的幻方,构造幻方没有一个统一的方法，主要依靠人的灵巧智慧，正因为此，幻方赢得了无数人的喜爱。,历史上，最先把幻方当做数学问题来研究的人，是我国宋朝的著名数学家杨辉。他深入塔索各类幻方的奥秘，总结出一些构造幻方的简单法则，还动手构建了许多极为有趣的幻方。,被杨辉称为“攒九图”的幻方，就是他用133这33个自然数构造而成的。,文化小学CMT,神奇的幻方,攒九图,文化小学CMT,神奇的幻方,攒九图以自然数1至33构成，9在圆心，其余排列在四个同心圆上，每圈8个数。有如下奇妙特点；四条直径上数字之和是147，四个
29、圆周上数字之和加圆心9之和也是147。八条半径线上数字（不包括9）之和为69。四个圆周上数字之和（不包括9）是八条半径线上数字和的两倍。,文化小学CMT,神奇的幻方,幻方不仅吸引了许多数学家，也吸引了许许多多的数学爱好者。我国清朝有位叫张潮的学者，本来不是搞数学的，却被幻方弄得“神魂颠倒”。后来，他构造出了一批非常别致的幻方。“龟文聚六图”就是张潮的杰作之一。,大约在15世纪初，幻方辗转流传到了欧洲各国，它的变幻莫测，它的高深奇妙，很快就使成千上万的欧洲人如痴如狂。包括欧拉在内的许多著名数学家，也对幻方产生了浓郁的兴趣。,文化小学CMT,神奇的幻方,欧拉曾想出了一个奇妙的幻方。它由前64个自然
30、数组成，每列或每行的和都是260，而半列或半行的和又都等于130。最有趣的是，这个幻方的行列数正好与国际象棋棋盘相同，按照马走“日”字的规定，根据这个幻方里数的排列顺序，马就可以不重复地跳遍整个棋盘！所以，这个幻方又叫“马步幻方”。,近百年来，幻方的形式越来越稀奇古怪，性质也越来越光怪陆离。现在，许多人都认为，最有趣的幻方属于“双料幻方”。它的奥秘和规律，数学家至今尚未完全弄清楚。,文化小学CMT,神奇的幻方,8阶幻方就是一个双料幻方。,为什么叫做双料幻方？因为它的每一行、每一列以及每条对角线上8个数的和，都等于一个常数840；而这样8个数的积，又都等于另一个常数205806823185600
31、0。,有个叫阿当斯的英国人，为了找到一种稀奇古怪的幻方，竟毫不吝啬地献出了毕生的经历。,文化小学CMT,神奇的幻方,阿当斯的“六角幻方”,数学幻方中的“稀世珍宝”。,文化小学CMT,赌徒之学,默勒,侍卫官,如何分配两人剩下的赌注呢？,文化小学CMT,赌徒之学,“两个赌徒规定谁先赢s局就算赢了。如果一人赢了a(as)局，另一人赢了b(bs)局时，赌博中止了。应该怎样分配赌本才算公平合理？”,帕斯卡对这个问题很有兴趣，他把这个题目连同他的解法，寄给了著名法国数学家费尔马。不久，费尔马又给出了另一种解法。他们两个不断通信，深入探讨这类问题，逐渐摸清了一些初步规律。,文化小学CMT,赌徒之学,费尔马曾
32、经计算了这样一个问题：“如果甲只差2局就获胜，乙只差3局就获胜时，赌博终止了，应如何分配赌本？”,aaaa aaab aaba aabbabaa abab abba abbbbaaa baab baba babbbbaa bbab bbba bbbb,在每4局里，如果a出现2次或多于2次，则甲获胜。这类情况有11种；如果b出现3次或多于3次，则乙获胜。这类情况有5种。所以，费尔马算出了答案：赌本应当按11:5的比例分配。,文化小学CMT,赌徒之学,帕斯卡给费尔马的信，写于1654年7月29日，这是一个值得记住的日子。因为他们两人的通信，奠定了一门数学分支的基础，这门数学分支叫做概率论。,由于概
33、率论与赌徒的这段渊源，常有人讥笑它为“赌徒之学”。,文化小学CMT,赌徒之学,概率论主要研究隐藏在“偶然”现象中的数量规律。,概率论正是以这种规律做依据，对在个别场合下对不确定的现象，做出确定的结论。,19世纪初，法国数学家拉普拉斯为概率论的发展做出了重大贡献。,文化小学CMT,赌徒之学,拉普拉斯的故事雄辩地表明，在纷纭繁杂的大量偶然现象背后，隐藏着必然的规律，利用这些规律为人类服务，正是概率论的任务。,当初，概率论的产生，主要是为了适应保险事业发展的需要。随着概率论的发展，它渐渐在科学技术、国民经济的许多领域获得了广泛的应用。,文化小学CMT,赌徒之学,现在，人们预测事件发生，确定实验方案，
34、检验产品质量，判断结论的可靠性时，都已离不开概率论的帮助。许许多多的现代数学分支，如信息论、控制论等等，也无一不以概率论为基础。,概率论是一门十分庞大而又十分活跃的数学分支。,文化小学CMT,橡皮几何学,文化小学CMT,橡皮几何学,哥尼斯堡七座问题传开后，引起了大数学家欧拉的兴趣。,欧拉没有去过格尼斯堡，这一次，他也没有亲自测试可能的路线。他知道，如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的时间。,文化小学CMT,橡皮几何学,实际上，欧拉只用了几天的时间就解决了七桥问题。,欧拉把七桥问题抽象成一个合适的“数学模型”。变成了一个“一笔画”问题（图论）
35、。怎样不重复地通过7座桥，变成了怎样不重复笔画地画出一个几何图形的问题。,文化小学CMT,橡皮几何学,欧拉认真考察了一笔画图形的结构特征。,凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以 把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以 一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可 算出此图需几笔画成。,文化小学CMT,橡皮几何学,欧拉认为对这类问题的研究，属于一门新的几何学分支，他称之为“位置几何学”。但人们把它通俗地称为“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学
36、”。,现在，拓扑学已成为最丰富多彩的一门数学分支。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,公设5：也就是“平行公理”，它的意思是：“在平面内，过已知直线外的一个点，可以作而且只能作一条直线与已知直线相平行。”,大数学家达朗贝尔称它是“几何学中的家丑”。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,在纸上画三角形，无论是怎样画，把三角形里面的3个角加起来，都会等于 1800 即使是画100个、1000个，也绝对不会有一个例外。有谁不信，不妨动手画上1万个，再用量角器去量一量。,那么，能不能找到一种三角形，它的内角和不等于1800 呢？,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,19世纪初，有个叫亚诺什波里亚的匈牙利青
37、年，决定献身于公设5的研究。,他很快就发现，只要改变第5公设，就可以创造出一种新的几何学来，于是提出了一个新的平行公理：“在平面内，过已知直线外的一个点，至少可以作两条直线与已知直线相平行。”,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,这个新公理否定了平行线的唯一性。以它为基础，再加上原来的9个公理，就组成了一门新的几何学，叫双曲几何学。,凡是与旧的平行公理有关的定理，在双曲几何学中统统变得面目全非，产生回许多闻所未闻的新结论。例如，在双曲几何学中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的内角和，而它们又都比1800 小！,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,能够作出一种三角形
38、，使它的内角和小于1800？对于习惯在传统几何的框框里生活的人来说，这不啻是个荒诞无稽的海外奇谈。连老波里亚也无法理解儿子的创造，断然拒绝了帮助发表的请求，直到1832年，由于儿子的再三请求，老波里亚才勉强同意将它作为一个附录，随同自己的著作一起出版。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,老波里亚与“数学王子”高斯是大学时代的同窗好友，他把“附录”的清样寄给高斯，想听听这位数学权威的意见。1832年3月，高斯在回信中热情称赞小波里亚“有极高的天才”，但同时又说，他不便公开赞许，因为称赞波里亚就等于称赞他自己。原来，在此之前16年，高斯就已作出了同样的发现。但他小心翼翼地隐藏了自己的研究，唯恐这种
39、新几何学在直观上的荒诞无稽而遭到人耻笑。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,捍卫真理是需要勇气的！早在波里亚著作发表之前6年，在遥远的俄罗斯大地上，已经有位叫罗巴切夫斯基的勇士，率先亮出了这门新几何学的旗帜。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,罗巴切夫斯基是一个伟大的俄国数学家。他独立地作出了同样的发现，并为捍卫新几何学战斗了一生。当时，数学家们不理解他，认为内角和小于1800的三角形是一个“笑话”，有人嘲笑他是“对有学问的数学家的讽刺”。而一些仇视革命思想的人，更是趁机对他进行恶毒的攻击和下流的谩骂。这一切都没有使罗巴切夫斯基退却，他接二连三地发表数学著作，甚至当他已成为一个瞎眼老人时，仍然
40、念念不忘口授了一部泛几何学，为这门新几何学在数学王国里取得合理的地位而大声疾呼。由于罗巴切夫斯基最先昭示了新几何学的诞生，所以双曲几何学又叫罗氏几何学。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,罗巴切夫斯基、波里亚和高斯，用他们创造性的工作，动摇了“只能有一种可能的几何”的传统观念，为创造不同体系的几何开辟了道路。1854年，就在人们仍在抱怨罗氏几何学“不可思议”时，高斯的学生黎曼，又给几何王国增添了一种新的几何学。,黎曼提出了另一种新的平行公理：“在平面上，过已知直线外的一个点，不能作直线与已知直线相平行。”,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,这个新公理干脆否定了平行线的存在性。以它为基础，再加上
41、原来的9个公理，就组成了椭圆几何学，也叫黎曼几何学。在这种新的几何学里，三角形的内角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于1800，也不小于1800，而是大于1800。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,黎曼几何学中还有许多奇妙的结论，例如，“直线的长是有限的，但却无止境。”要弄懂这些理论非常困难。据说，当黎曼第一次宣读这方面的论文时，除了高斯以外，会场上竟找不出第二个能够听懂的人。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,罗氏几何学与黎曼几何学都是“纯粹人造的”几何学，与人们的常识相悖，乍看起来都显得非常不可思议。实际上，它们比传统的几何学更加深刻地反映了现实世界的空间形式。举一个最著名的例子：爱因
42、斯坦创立的广义相对论，就是以黎曼几何学的空间概念为基础的！根据相对论学说，现实空间会发生弯曲，到处是新几何学的用武之地。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,相传高斯做过一次有趣的实验，他把相距很远的3座山峰，看作是三角形的3个顶点，然后计算它的内角和，发现它竟大于1800。这正是黎曼几何学的结论。也许有人会说：这不是一个三角形。因为它不在一个平面上，而是在地球这个曲面上！那么，哪里去找平面呢？运动场是平面吗？池塘水面是平面吗？它们都是地球这个曲面的一部分。这样，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果没有三角形，怎么会有内角和等于1800 呢？,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,罗氏几何学与黎曼几何
43、学更精确地反映了现实空间，但是，在我们的日常生活里，传统几何学已经足够精确了。在我们的视野范围内，水平面是非常接近于平面的。实际上，我们也根本无法测出它的弯曲度。这样，测量水面上一个三角形的内角和，虽然它实际上并不等于1800，我们却无法测出它与真值之间的误差。所以，在我们身边这个不大不小的空间里，传统的几何学仍然是适用的。,文化小学CMT,稀奇古怪的三角形,因此，在纸上画三角形，无论是怎样画，把它的3个内角加起来，都会等于1800。但我们也应当知道，在数学王国里，确实还有一些“稀奇古怪”的三角形，它的内角和是不等于1800 的。,文化小学CMT,爱吹牛的理发师,1919年，著名英国数学家罗素
44、编了一个很有趣的“笑话”。小镇有个爱吹牛的理发师。有一天，理发师夸下海口说：“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子。”大家听了直发笑。有人问他：“理发师先生，您给不给自己刮胡子呢？”“这，这，”理发师张口结舌，半晌说不出一句话来。,文化小学CMT,爱吹牛的理发师,像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论，叫做“悖论”。罗章编的这则笑话，就是数学史上著名的“理发师悖论”。,文化小学CMT,爱吹牛的理发师,实际上，20世纪初期的数学家们，比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤消原来的声明，厚起脸皮哈哈一笑，什么事情都没有了；数学家可没有他那样幸运，因为他们遇上了一个无法回避的数学
45、悖论，如果撤消原来的“声明”，那么，现代数学中大部分有价值的知识，也都荡然无存了。,文化小学CMT,爱吹牛的理发师,这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年，罗素从已被人公认为数学基础理论的集合论中，按照数学家们通用的逻辑方法。“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。,文化小学CMT,爱吹牛的理发师,集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落，直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成集合论，谁将变成一个“爱吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的窘境。数学
46、家们尴尬万分，如果继续承认集合论，那么，号称绝对严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说；如果不承认集合论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在了。,文化小学CMT,爱吹牛的理发师,罗素悖论震撼了世界数学界，导致了一场涉及数学基础的危机。人们已经发现，在数学这座辉煌大厦的基础部分，存在着一条巨大的裂缝，如不加以修补，整座大厦随时都有倒塌的危险。,文化小学CMT,爱吹牛的理发师,数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来，之所以出现罗素悖论这样的怪物，是由于在集合论中，“集合的集合”这句话不能随便说。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数
47、学推理在什么情况下才是有效的，从而产生了一门新的数学分支数学基础论。,文化小学CMT,爱吹牛的理发师,在这个领域里，由于数学家的观点不同，产生了3个著名的学派。以罗素为主要代表的数学家叫逻辑主义学派，他们认为，只要不允许使用“集合的集合”这种非逻辑语言，罗素悖论就不会发生；以布劳威尔为主要代表的数学家叫直觉主义学派，他们认为，“集合的集合”是不能用直觉理解的，不承认它的合理性，罗素悖论自然也就不会产生了；以希尔伯特为主要代表的数学家叫形式主义学派，他们认为，悖论是一种不相容的表现。,文化小学CMT,爱吹牛的理发师,三大学派都提出了修补数学基础的方案，由于各执己见，爆发了一场大论战。这场大论战对现代数学发展影响深远，还导致了许多新的数学分支的诞生。现在，修补数学基础的工作尚未取得令人完全满意的结果，数学家们仍在顽强拼搏。,文化小学CMT,四、世界六大数学难题,文化小学CMT,三等分角问题,立方倍积问题,化圆为方问题,四色问题,费尔马大定理,哥德巴赫猜想,文化小学CMT,
