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1、1,第十一章 应力状态和强度理论,2,11-1 一点处应力状态的概述,在前面学习中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。,3,单向应力状态,4,纯剪切应力状态,图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。,6,研究
2、杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：,1.了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45 斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。,2.在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)(theory of strength,failure criterion)的基础。,7,本章将研究.平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态)的概念；.平面应力状态和三向
3、应力状态下的应力应变关系广义胡克定律(generalized Hookes law)；.强度理论。,8,平面应力状态：如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都有正应力和切应力的这种应力状态，为平面应力状态的普遍形式。平面应力状态包括单向应力状态和二向应力状态。,11-2 二向应力状态下的应力分析,9,对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，A点处于二向应力状态。,10,平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知
4、应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。,11,1、斜截面上的应力,图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef 以它的外法线n与x轴的夹角a 定义，且a角以自x 轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力sa 和切应力ta均为正值，即sa 以拉应力为正，ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。,一.解析法,12,由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dAcosa，而底面bf 的面积为dAsina。图d示出了作用于体元ebf 诸面上的力。,体元的平衡方程为,13,由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2a为参变量的求a 斜截面上应力sa，ta
5、的公式：,14,2、主应力和主平面,令,得:,将代入式,得,显然,在面上,一点处切应力等于零的截面称为主平面(principal plane)，主平面上的正应力称为主应力(principal stress)。,15,在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作s1，s2，s3。当三个主应力中只有一个主应力不等于零时为单向应力状态，当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态，当三个主应力都不等于零时为空间应力状态。,16,3、极值切应力及其所在平面,令,即极
6、值切应力所在平面与主平面成45度。,某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。,18,分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。,低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。,低碳钢试样拉伸至屈服时45o 表面沿出现滑移线，是由最大切应力引起的。,19,分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。,铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即45o螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。,20,
7、二.图解法,为便于求得sa，ta，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)(Mohrs circle for stresses)来表示。,先将上述两个计算公式11-1a、11-1b移项，再将两式各自平方然后相加即得：,21,而这就是如图a所示的一个圆应力圆（莫尔园），它表明代表a 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。,22,图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元体x截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力sy,ty(取ty=-tx)定出点D2，然后连以直线，以它与s 轴的交点C为圆心，并且以 或 为半
8、径作圆得出。,23,值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述sa，ta计算公式中以2a 为参变量这个前提。,24,利用应力圆求a 斜截面(图a)上的应力sa，ta时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径 按方位角a的转向转动2a角，得到半径，那么圆周上E点的座标便代表了单元体a斜截面上的应力。现证明如下(参照图b)：,25,E点横座标,26,E点纵座标,27,由根据图a所示单元体上的应力所作应力圆(图b)可见，圆周上A1和A2两点的横座标分别代表该单元体的垂直
9、于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面相互垂直(由A1和A2两点所夹圆心角为180可知)，且这两个截面上均无切应力。应力圆圆周上点A1和A2所代表的就是主应力。,28,现利用前面的图b所示应力圆导出求不等于零的主应力数值和主平面位置方位角a0的解析式，由于,其中，为应力圆圆心的横座标，为应力圆的半径。故得,29,或即,图c示出了主应力和主平面的方位。,30,例题 简支的焊接钢板梁及其上的荷载如图a所示，梁的横截面如图b和c。试求集中荷载位置C的左侧横截面上a，b两点(图c)处的主应力。,焊接钢板梁的腹板上在焊缝顶端(图b中点f)处，弯曲应力和切应力都比较大，是校核强度时应
10、加以考虑之点；在实际计算中为了方便，常近似地以腹板上与翼缘交界处的a点(图c)代替f点。,31,1.此梁的剪力图和弯矩图如图d和e。危险截面为荷载作用位置C的左侧横截面。,32,2.相关的截面几何性质为,33,3.危险截面上a点和b点处的应力：,34,4.从危险截面上a点和b点处以包含与梁的横截面在内的三对相互垂直的截面取出单元体，其x和y面上的应力如图f和h中所示。据此绘出的应力圆如图g和i。,(h),35,(i),(h),对于点b,s1沿x方向(图h)。,36,点a 处主应力s1和s3的值及其方向按应力圆上的几何关系计算：,亦即 a0-23.2。,37,11-3 三向应力状态分析简介,当一
11、点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。,38,当空间应力状态的三个主应力s1，s2，s3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。,(a),39,例如图a中所示垂直于主应力s3所在平面的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与s3无关，因而显示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上(参见图c)。,40,进一步的研究证明*，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个
12、应力圆所围成的阴影范围内。,(a),同理，显示与s2(或s1)所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。,(c),41,据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1，而最大切应力为,(c),42,例题 试根据图a所示单元体各面上的应力,求出主应力和最大切应力。,(a),43,解:1.图a所示单元体上正应力sz=20 MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。,2.正如以前所述，在与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力sz无关，故可根据x截面和y截面上的应力画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力
13、圆。,(a),44,从圆上得出两个主应力46 MPa和-26 MPa。这样就得到了包括sz=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为s146 MPa，s220 MPa，s3-26 MPa。,(a),45,11-4 各向同性材料的应力-应变关系,最一般表现形式的空间应力状态有6个独立的应力分量：sx,sy,sz,txy,tyz,tzx；与之相应的有6个独立的应变分量：ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx。,本节讨论在线弹性范围内，且为小变形的条件下，空间应力状态的应力分量与应变分量之间的关系，即广义胡克定律。,46,现在来导出一般空间应力状态(图a)下的广义胡克定律。因为在线弹性
14、,小变形条件下可以应用叠加原理，故知x方向的线应变与正应力之间的关系为,同理有,47,根据弹性力学研究结果，切应变只与切应变平面内的切应力相关，因而有：,48,对于图b所示的平面应力状态(sz0，txz=zx=0，tyz=tzy=0)，则胡克定律为,各向同性材料的三个弹性常数E，G，n 之间存在如下关系：,49,当空间应力状态如下图所示以主应力表示时，广义胡克定律为,式中，e1，e2，e3分别为沿主应力s1，s2，s3方向的线应变。,50,在平面应力状态下，若s30，则以主应力表示的胡克定律为,51,例题 已知构件受力后其自由表面上一点处两主应变值为e1240 10-6，e3=-160 10-
15、6，且s2=0。已知材料的弹性模量E=210 GPa，泊松比n0.3。试求该点处的主应力数值，并求另一主应变e2。,52,解：1.构件的自由表面上无任何应力，故知该点处于平面应力状态。,2.根据平面应力状态的胡克定律有,联立求解此二式得,53,再根据平面应力状态的胡克定律求得,54,11-5 强度理论及其相当应力,材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆性材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。,但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多
16、样的组合，所以不可能总是由试验加以测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强度破坏的力学因素的假设强度理论，以便利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度。,55,材料的强度破坏有两种类型；.在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂；.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。,工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为,.研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；,.研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变比能理论。,56,(1)最大拉应力理论(第一强
17、度理论)受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力s1达到该材料在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力su时就发生断裂。,可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为,而相应的强度条件则是,其中，s为对应于脆性断裂的许用拉应力，ssu/n，而n为安全因数。,57,(2)最大伸长线应变理论(第二强度理论)从大理石等材料单轴压缩时在伸长线应变最大的横向发生断裂(断裂面沿施加压应力的方向，即所谓纵向)来判断，第二强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变e1达到该材料在单轴拉伸试验、单轴
18、压缩试验或其它试验中发生脆性断裂时与断裂面垂直的极限伸长应变eu时就会发生断裂。,可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为,58,亦即,而相应的强度条件为,按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。,如果eu是在单轴拉伸而发生脆性断裂情况下测定的，则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：,59,(3)最大切应力理论(第三强度理论)低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面(45 斜截面)。据此，第三强度理论认为，在任何应力状态下当一点处的最大切应力tm
19、ax达到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值tu时就发生屈服。,第三强度理论的屈服判据为,对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss，从而有tuss/2的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写为,即,60,而相应的强度条件则为,从上列屈服判据和强度条件可见，这一强度理论没有考虑复杂应力状态下的中间主应力s2对材料发生屈服的影响；因此它与试验结果会有一定误差(但偏于安全)。,(4)形状改变比能理论(第四强度理论)注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的形状改变能密度vd达到极限值vdu所致。,61,于是，第四强度理论的屈服判据为,这个理
20、论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。,62,(5)强度理论的相当应力,上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：,式中，sr是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件ss中的拉应力s，通常称sr为相当应力。下表示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。,63,64,例题 试全面校核图a,b,c所示焊接工字梁的强度，梁的自重不计。已知：梁的横截面对于中性轴的惯性矩为 Iz=88106 mm4；半个横截面对于中性轴的静矩为S*z,max=338103 mm3；梁的材料Q235钢的
21、许用应力为s 170 MPa，t 100 MPa。,65,解:1.按正应力强度条件校核,此梁的弯矩图如图d，最大弯矩为Mmax80 kNm。,梁的所有横截面上正应力的最大值在C 截面上,下边缘处：,它小于许用正应力s，满足正应力强度条件。,(d),66,2.按切应力强度条件校核,此梁的剪力图如图e，最大剪力为FS,max=200 kN。,梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截面上的中性轴处：,它小于许用切应力t,满足切应力强度条件。,(e),67,3.按强度理论校核Mmax和FS,max同时所在横截面上腹板与翼缘交界处的强度,在Mmax和FS,max同时存在的横截面C稍稍偏左的横截面上，
22、该工字形截面腹板与翼缘交界点a处，正应力和切应力分别比较接近前面求得的smax和tmax，且该点处于平面应力状态，故需利用强度理论对该点进行强度校核。,68,69,点a处的主应力为,由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四强度理论校核a点的强度。,70,可见，按第三强度理论所得的相当应力sr3178.1 MPa已略超过许用正应力s=170 MPa，但超过不到5%，在工程计算中允许的范围内。按第四强度理论所得相当应力sr4则小于许用正应力s，满足强度要求。,71,在大多数应力状态下,脆性材料将发生脆性断裂.故应选用第一强度理论;而在大多数应力状态下,塑性材料将发生屈服和剪断.故应选用第三
23、强度理论或第四强度理论.但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为,而且与所处的应力状态,温度和加载速度有关.实验表明,塑性材料在一定的条件下(低温和三向拉伸),会表现为脆性断裂.脆性材料在一定的应力状态(三向受压)下,会表现出塑性屈服或剪断.,图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。（1）从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。（2）定性地绘出A、B、C三点的应力圆。（3）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。（4）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在B、C两点处的走向。,73,作 业11-1,74,已知矩形截面梁某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出1、2、3、4点应力状态的单元体，并求各点主应力。b=60mm,h=100mm.,1、画各点应力状态图,2、计算各点主应力,1点,2点,(处于纯剪状态),3点,(一般平面状态),4点,
