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1、1,数学建模与数学实验,插 值,2,实验目的,实验内容,2、掌握用数学软件包求解插值问题。,1、了解插值的基本内容。,1一维插值,2二维插值,3实验作业,3,拉格朗日插值,分段线性插值,三次样条插值,一 维 插 值,一、插值的定义,二、插值的方法,三、用Matlab解插值问题,返回,4,返回,二维插值,一、二维插值定义,二、网格节点插值法,三、用Matlab解插值问题,最邻近插值,分片线性插值,双线性插值,网格节点数据的插值,散点数据的插值,5,一维插值的定义,6,返回,7,称为拉格朗日插值基函数。,已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,yn。求一n次多项式函数
2、Pn(x)，使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,n.,解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下,其中Li(x)为n次多项式：,拉格朗日(Lagrange)插值,8,拉格朗日(Lagrange)插值,特别地:,两点一次(线性)插值多项式:,三点二次(抛物)插值多项式:,9,拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge现象,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.,例,返回,To Matlablch(larg1),10,分段线性插值,计算量与n无关;n越大，误差越小.,11,To MATLABxch11
3、，xch12，xch13，xch14,返回,例,用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.,1.在-6,6中平均选取5个点作插值(xch11),4.在-6,6中平均选取41个点作插值(xch14),2.在-6,6中平均选取11个点作插值(xch12),3.在-6,6中平均选取21个点作插值(xch13),12,比分段线性插值更光滑。,在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。,三次样条插值,13,三次样条插值,g(x)为被插值函数。,14
4、,例,用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych),返回,To MATLABych(larg1),15,用MATLAB作插值计算,一维插值函数：,yi=interp1(x，y，xi，method),nearest：最邻近插值linear：线性插值；spline：三次样条插值；cubic：立方插值。缺省时：分段线性插值。,注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。,16,例：在1-12的12小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。,hours=1:12;temps
5、=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline);plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:)%作图xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)%摄氏度,17,二维插值的定义,第一种（网格节点）：,18,已知 mn个节点,19,第二种（散乱节点）：,20,返回,21,注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。,最邻近插值,二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。,返回,22,将四
6、个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：,分片线性插值,f(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4,23,插值函数为：,第二片(上三角形区域)：(x,y)满足,插值函数为：,注意：(x,y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；,分两片的函数表达式如下：,第一片(下三角形区域)：(x,y)满足,返回,24,双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形式如下：,其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。,双线性插
7、值,返回,25,要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),用MATLAB作网格节点数据的插值,nearest 最邻近插值linear 双线性插值cubic 双三次插值缺省时,双线性插值,26,例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。,输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63
8、61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps),1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.,2以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.,27,再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图.,28,插值函数griddata格式为:,cz=griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散点数据的插值计算,要求cx取行向量，cy取为列向量。,nearest 最邻近插值line
9、ar 双线性插值cubic 双三次插值v4-Matlab提供的插值方法缺省时,双线性插值,29,例 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。,30,To MATLAB hd1,4.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.,3.作海底曲面图,31,clearx=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5;y=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5-6.5-81 3 56.5-66
10、.5 84-33.5;z=-4-8-6-8-6-8-8-9-9-8-8-9-4-9;cx=75:0.5:200;cy=-50:0.5:150;cz=griddata(x,y,z,cx,cy,cubic);meshz(cx,cy,cz),rotate3dxlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)%pausefigure(2),contour(cx,cy,cz,-5-5);%等高线内部的深度小于5米gridhold onplot(x,y,+)xlabel(X),ylabel(Y),32,1、已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。,作业,33,通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。,34,3,丙烷的导热系数是化工生产中值得注意的量，而且常常需要在不同温度及压力下的导热系数，然而我们不可能也没有必要过细地实验测量，经过实验，给出数据如表1所示，,表中的分别表示温度、压力、导热系数，并假设在这个范围内导热系数近似的随压力线性变化，求压力为10.13KN/m2且温度为99下的导热系数。,
