第2章 环路跟踪性能.ppt

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1、第 2章 环路跟踪性能,第1节 线性相位模型与传递函数第2节 二阶线性系统的一般性能第3节 环路对输入暂态信号的响应第4节 环路对输入正弦相位信号的响应第5节 环路稳定性第6节 非线性跟踪,第1节 线性相位模型与传递函数,一、线性相位模型与传递函数的一般形式 锁相环路相位模型的一般形式如图1-13,相应的动态方程如(1-28)式。因为环路应用了正弦特性的鉴相器,所以模型与方程都是非线性的。,图2-1 正弦鉴相特性近似为线性鉴相特性,不会引起明显的误差,e(t)在30之内的误差不大于5%。因为 用Kde(t)取代动态方程(1-28)式中的Udsine(t)就得?到了线性化动态方程 pe(t)=p

2、1(t)-K0KdF(p)d(t)(2-1),再令环路增益 K=K0Kd(2-2)则方程为 pe(t)=p1(t)-KF(p)e(t)(2-3)相应的线性相位模型如图2-2(a)。上述方程与模型都是时域表达形式。不难导出其复频域的表达形式,动态方程为 se(s)=s1(s)-KF(s)e(s)(2-4),当研究在锁相环路反馈支路开路状态下,由输入相位1(t)驱动所引起输出相位2(t)的响应,则应讨论开环传递函数Ho(s),其定义为,开环,(2-5),图2-2 锁相环路的线性相位模型,由图2-2(b)可求得锁相环路的开环传递函数 当研究锁相环路闭环状态下,由输入相位1(t)驱动所引起的输出相位2

3、(t)的响应,则应讨论闭环传递函数,其定义为,(2-6),(2-7),由图2-2(b)可知,锁相环路的闭环传递函数,(2-8),当研究锁相环路闭环状态下,由输入相位1(t)驱动所引起的误差相位e(t)的响应,则应研究误差传递函数,其定义为,由图2-2(b)可求得锁相环路的误差传递函数,(2-9),(2-10),开环传递函数Ho(s)、闭环传递函数H(s)和误差传递函数He(s)是研究锁相环路同步状态性能最常用的三个传递函数,三者之间的关系为,(2-11),(2-12),(2-13),二、二阶锁相环路的线性动态方程与传递函数 本章研究二阶锁相环路所用的环路滤波器均为一阶滤波器。将具体滤波器的传递

4、函数F(s)代入动态方程(2-4)式,就可以得到该锁相环路的动态方程。同样,将F(s)代入(2-6)、(2-8)和(2-10)式即可得到相应的传递函数。现分别就采用三种常用滤波器的情况进行讨论。当采用RC积分滤波器作为环路滤波器时,据(1-18)式,它的传递函数为,(2-14),(2-15),(2-16),(2-17),(2-18),表 2-1,第2节 二阶线性系统的一般性能,一、二阶系统及其描述 二阶系统在电子技术中是最常见的,例如图2-3所示的R-L-C电路。应用克希霍夫定律,可以建立方程,图2-3 R-L-C电路,(2-19),(2-20),(2-21),(2-22),(2-23),(2

5、-24),以后将会看到,用系统参数、n表示传递函数,在系统设计中会带来不少方便。表2-1所列各种锁相环路的传递函数是用电路参数1、2和K表示的。它们同样也可以用系统参数和n表达。当然,要注意的是,各种环路的系统参数、n与电路参数1、2、K之间的关系是不同的。它们之间的关系如表2-2所示。,表 2-2,表 2-3,二、时间响应及其指标(2-28)式已给出了1的R-L-C电路,在单位阶跃电压输入下的输出响应,它是一个衰减振荡。当为不同值时,输出响应尚有不同的形式。将为不同值时方程(2-27)的解列出如下：,(2-32),据此可作出二阶系统的输出响应曲线,如图2-4。由图可见,当01时的响应为衰减振

6、荡,系统称为欠阻尼系统。这种系统响应的暂态过程,在稳定值的上下振荡,振荡的频率d比n小。,图2-4 二阶系统的输出响应,图2-5 暂态响应的性能指标,图2-3R-L-C电路的暂态过程指标,可从其输出响应uo(t)的表达式(2-28)直接求得。令,(2-34),(2-35),(2-36),暂态时间的长短取决于这个时间常数。当009时,在2%的允许范围之内,暂态时间近似为,若在5允许误差之内,(2-37),(2-38),图2-6 Mp与的关系曲线,三、频率响应 我们知道,用s=j代入系统的传递函数即可求得系统的频率响应特性。仍以图2-3系统为例,它的传递函数为(2-31)式,用s=j代入得到,现令

7、,(2-39),(2-40),(2-41),(2-42),图2-7 二阶系统的频率响应特性,图2-7 二阶系统的频率响应特性,第3节 环路对输入暂态信号的响应,一、误差的时间响应 分别讨论三种信号输入的情况。1.输入相位阶跃输入相位阶跃时 1(t)=1(t)(2-43)其拉氏变换,(2-44),(1)理想二阶锁相环路。据表2-3的误差传递函数,可求出其误差响应的拉?,(2-45),(2-46),(2-47),由曲线看出,在t=0时,环路有最大的相位误差值,这是由于t=0?显然,这个最大的值不应超过鉴相特性的线性范图。将图2-8曲线与图2-4的一般二阶系统相当于F(s)=1/(1+s1)的同类型

8、曲线相比较,可以发现图2-8曲线的响应速度要比图2-4快得多。,图2-8 理想二阶锁相环路对相位阶跃输入的误差响应曲线,(2)采用无源比例积分滤波器的二阶锁相环路。据表2-3的误差传递函数,可求出其误差响应的拉氏变换,(2-48),2.输入频率阶跃输入频率阶跃时,其拉氏变换,(2-50),(2-51),(1)理想二阶锁相环路。用表2-3给出的误差传递函数和(2-51)式可以得到环路相位误差响应的拉氏变换,(2-52),(2-53),【计算举例】假如环路的输入信号频率阶跃为100Hz,阻尼系数=2,测得最大相位误差为0.44rad。问40ms之后的相位误差为多大？由图2-9(a)可见,当=2时,

9、最大相差(n)e(t)=0.22rad,故n=0.220.44=0.52100=314rad/s。在40ms之后,nt=3144010-3=12.56rad,由图2-9(b)查得(n)e(t)=0.01rad。因此,40ms后的e(t)=0.012100/314=210-2rad。,(2)采用RC积分滤波器的二阶锁相环路。由表2-3给出的误差传递函数和(2-51)式可以得到环路相位误差响应的拉氏变换,(2-54),图2-9 理想二阶环对输入频率阶跃的相位误差响应曲线,图2-9 理想二阶环对输入频率阶跃的相位误差响应曲线,(3)采用无源比例积分滤波器的二阶锁相环路。用表2-3的误差传递函数和(2

10、-51)式可以得到环路相位误差的拉氏变换,(2-56),图2-10 采用RC积分滤波器二阶环对输入频 率阶跃的相位误差响应曲线,3.输入频率斜升输入频率斜升时,其拉氏变换,(1)理想二阶锁相环路。环路误差响应的拉氏变换,(2-60),(2-61),图2-11 理想二阶环对输入频率斜升的相位误差响应曲线,(2)采用RC积分滤波器的二阶锁相环路。环路相位误差响应的拉氏变换,(2-62),(2-63),在(n2)R的条件下,(2-63)式就近似为(2-61)式,即其响应与理想二阶环的响应相近似,如图2-11所示,故不再作图。从表2-2知,对于采用RC积分滤波器的二阶环来说,n2=K,故近似条件实际上

11、就是KR,即高增益。(3)采用无源比例积分滤波器的二阶锁相环路。环路相位误差的拉氏变换。,(2-64),(2-65),【计算举例】采用无源比例积分滤波器的二阶环,已知参数如下：K=2105rad/s,n=102rad/s,=1/2,fo=10MHz。当t0时,环路锁定在频率为10MHz的调频振荡器的输出信号上。从t=0的瞬时起,调频振荡器的频率以斜率R=2103rad/s2随时间线性变化。因为nK比1小得多,所以(2-65)式近似为(2-61)式再加上一线性增长项(R/K)t。当t10/n=0.1s时,可以忽略线性增长项,因为它不会大于10-3rad。因此,可以用图2-11查出=1/2曲线的相

12、位误差。,二、稳态相位误差 前面讨论了三种锁相环路分别在三种不同的输入暂态信号下相位误差的时间响应。这个时间响应既包括了暂态响应,也包括了时间趋于无限大时的稳态响应,即,表2-4,当输入频率阶跃时,(2-66),必要在表明环路阶数的同时 把它的型数也加以表明。例如：没有环路滤波器的锁相环路是一阶1型环；采用RC积分滤波器的锁相环路是二阶1型环；采用无源比例积分滤波器的锁相环路是二阶1型环；采用高增益有源比例积分滤波器的锁相环路是二阶2型环；采用两节高增益有源比例积分滤波器的锁相环路是三阶3型环。,第 4节 环路对输入正弦相位信号的响应,一、锁相环路的频率响应 二阶锁相环路在同步状态下经线性化近

13、似之后,作为一个二阶线性系统,不难求得它的频率响应。本章第二节以R-L-C电路为例,讨论了二阶线性系统的频率响应,如(2-39)式。显然,R-L-C电路的频率响应是指它对输入电压ui(t)的频谱而言的。然而,研究锁相环路的频率响应却不是研究它对输入电压频谱的响应,而是研究它对输入相位频谱的响应。,输入正弦相位信号是指输入相位信号1(t)为受正弦调制的,可以是调频信号也可以是调相信号。以输入正弦调相信号为例,输入信号的瞬时电压可表示为 ui(t)=Uicosot+misint 式中Ui是信号的电压幅度；o是信号的载波频率；是调相的频率；mi是调相指数。就此电压信号ui(t)本身来说,其频谱分量是

14、很复杂的,可以表示为,ui(t)=Uicos(ot+misint)=UiJ0(mi)cosot+UiJ1(mi)cos(o+)t-cos(o-)t+UiJ2(mi)cos(o+2)t+cos(o-2)t+UiJ3(mi)cos(o+3)t+cos(o-3)t+,其区别就在于,对R-L-C电路来说,频率响应H(j)表明了在频率为的正弦电压ui(t)的作用之下,输出电压uo(t)的幅度、相位与输入电压ui(t)之间的关系,即 Uo(j)=H(j)Ui(j)(2-67)对于锁相环路来说,频率响应H(j)表明了在频率为的正弦输入相位1(t)的作用之下,环路输出相位2(t)的幅度、相位与输入相位1(t)

15、之间的关系,即 2(j)=H(j)1(j)(2-68),设锁相环路的输入电压为 ui(t)=Uisinot+misin(t+i)其输入相位即为 1(t)=misin(t+i)(2-69)这是一个频率为的正弦输入相位,此输入相位的幅度是mi,初相是i。由于锁相环路已近似为线性系统,在此正弦输入相位作用之下,输出相位一定是同频的正弦相位,因此,它可表示为 2(t)=mosin(t+o)(2-70),式中mo是输出相位的幅度,它与输入相位幅度mi之间的关系取决于闭环频率响应H(j)的模,即 mo=mi|H(j)|(2-71)(2-70)式中的o是输出相位的初相,它等于输入相位的初相再加上闭环频率响应

16、H(j)的相位,即 o=i+ArgH(j)(2-72)在单一频率的正弦输入相位作用之下,环路的误差相位e(t)也必然是同频的正弦相位。它可表示为 e(t)=m sin(t+)(2-73),图2-12 2(t)与1(t)的关系,二、二阶锁相环的频率响应 下面讨论三种常用的二阶环的频率响应。1.理想的二阶环用s=j代入理想的二阶环路的闭环传递函数,得到它的闭环频率响应,(2-76),(2-77),(2-78),(2-79),图2-13 理想二阶环的闭环对数振幅频率响应,图2-14 理想二阶环的闭环相位频率响应,由图可见,理想二阶环对输入相位来说,也相当于一个低通滤波器。在x 的范围以内,对数振幅响

17、应急剧下降。下降的斜率随的不同而不同,越小下降得越快。此低通滤波器的截止频率可据(2-78)式求得。令,(2-80),(2-81),表 2-5,用类似的方法可求得误差频率响应,(2-82),(2-83),(2-84),2.采用RC积分滤波器的二阶环用上面相同的方法,得到闭环频率响应,(2-85),(2-86),(2-87),(2-88),(2-89),(2-90),图2-15 理想二阶环的误差对数振幅频率响应,图2-16 理想二阶环的误差相位频率响应,(2-90),(2-91),(2-92),误差频率影响,（2-94）,（2-95）,（2-96）,图2-17 采用RC积分滤波器二阶环的误差对数

18、振幅频率响应,图2-18 采用RC积分滤波器二阶环的误差相位频率响应,三、调制跟踪与载波跟踪 由于锁相环路的闭环频率响应呈低通特性,那么输入正弦调相信号加到环路上之后,环路输出相位2(t)能否跟踪输入相位1(t)=misin(t+i)就取决于调制频率与环路无阻尼振荡频率n之间的关系。1.调制跟踪当小于n,即处于闭环低通特性的通带之内时,2(t)将跟踪1(t)的瞬时变化,压控振荡器的输出电压uo(t)也就成为一个正弦调相信号 uo(t)=Uocosot+mosin(t+o),工作在调制跟踪状态的锁相环路称为调制跟踪环,它可用作调频信号的解调器。设有一角频率为、初相为i的正弦调制信号 u(t)=U

19、cos(t+i)(2-97)用它来调制一个角频率等于o的载波,那么可以得到瞬时角频率为 i(t)=o+KtUcos(t+i)=o+cos(t+i)(2-98),的已调波。式中Ktrad/sV为调制器的灵敏度；=KtU为峰值频偏。已调波的瞬时相位,（2-99）,锁相鉴频器的方框图如图2-19所示。这只是调制跟踪环应用的一例,实际上,它的应用是非常广泛的,第六章中将会进一步介绍。,图2-19 调制跟踪环用作鉴频器,2.载波跟踪当大于n,即调制频率处于闭环低通特性的通带之外时,2(t)已不能跟踪1(t)的变化。此时,压控振荡器就没有相位调制,是一个未调载波 uo(t)=Uocosot(2-105)当

20、输入信号ui(t)的载频产生缓慢漂移时,由于环路要维持锁定,压控振荡器输出的未调载波的频率也会跟随着漂移。,图2-20 载波跟踪环用作同步检波,【计算举例】设计一用作鉴频器的二阶调制跟踪环。信号载频fo=90100MHz,最大调制角频率m=23103rad/s,K=2104rad/s,=1/。试计算环路滤波器参数。选用采用有源比例积分滤波器的二阶环,其闭环频率响应低通特性的截止频率c可据(2-81)式计算。按调制跟踪环设计。,第5节 环路稳定性,一、稳定性问题与判别方法 锁相环路是一个反馈控制系统,它一定存在是否稳定的问题。如本章第二节中所述的二阶线性系统那样,一旦阻尼系数小于零,系统就变成了

21、振荡系统,当然就不稳定了。,假如环路是闭环稳定的,那么在开环相移达到之前,开环增益已小于1(0dB),如图2-21(a)。开环增益达到0dB时的频率称为增益临界频率,用符号T表示；开环相移达到的频率称为相位临界频率,用符号K表示。那么,对于稳定环路来说,必有TK,如图2-21(b)所示。K=T则是一种临界情况。,二、常用二阶锁相环路的稳定性 1.理想二阶环此种环路的开环频率响应为,(2-106),为了保证具有足够的稳定余量,要适当选择环路参数。若选择,(2-107),参看表2-2,此环路有下列关系：,(2-108),据上两式可得,(2-109),假定这也是一个单极点的低通滤波器,时间常数为。考

22、虑了这两个不可避免的寄生相移因素之后,(2-106)式的开环频率响应修正为,(2-110),【计算举例】理想二阶环,鉴相器灵敏度Kd=10V/rad,寄生时间常数=15.9s(即-3dB截止频率Fc=1/2=10kHz),压控振荡器灵敏度Ko=10kHz/V,其寄生时间常数=31.8s(即-3dB截止频率Fc=1/2=5kHz),环路滤波器时间常数1=62.8s,2=0.02s。,2.采用RC积分滤波器的二阶环此种环路的开环传递函数为 显然开环相移不能达到,环路肯定是稳定的。但为了保证具有足够的相位余量,1不能选得过大。据(2-111)式作出开环伯德图,如图2-23。按表2-2知,此环具有下列

23、关系：,(2-111),(2-112),【计算举例】若环路增益K=105rad/s,RC滤波器的时间常数1=10s,求环路的相位余量。据(2-111)式得,图2-23 采用RC积分滤波器的二阶环的,3.采用无源比例积分滤波器的二阶环此种环路的开环频率响应为 与(2-111)式相比多了一个相位超前校正因子(1+j2)。所以这个环路更趋于稳定。据(2-113)式作出的开环伯德图,如图2-24。由图可见,增益临界频率T处的相移约为-/2,环路相位余量大约等于/2。不难理解,相位超前校正因子的时间常数2越大,环路的稳定性越好。,(2-113),图2-24 采用无源比例积分滤波器的二阶环的开环伯德图,除

24、理想二阶环(即二阶2型环)的开环相移有可能接近之外,其它二阶1型环的开环相移都小于?。所以,若不考虑寄生相移,二阶环总是无条件稳定的。若进一步考察三阶2型以上的环路,可以看到它们的稳定性是有条件的,设计应用中应格外注意。例如,采用两节理想比例积分滤波器的三阶3型环,其稳定条件是,(2-114),第6节 非线性跟踪,一、锁定时的稳态相差 非线性跟踪的稳态相差不能再用线性化方程(2-1)式来求解,而必须从动态方程的一般形式出发,即,在输入固定频率的条件下,(2-115),（2-116）,（2-117）,（2-118）,（2-119）,（2-120）,（2-121）,二、同步带 前面已证明,理想二阶

25、环锁定时的稳态相差为零。这就是说,在锁定条件之下,缓慢加大固有频差,直至o到达无限大,环路相差一直是零。这就可导出环路的同步带等于无限大,即 H=(2-122),采用RC积分滤波器和采用无源比例积分滤波器的环路同属于二阶1型环,锁定时的稳态相差如(2-120)和(2-121)式。从这两式可以看到,允许oK的最大值为1。当oK1,e(t)就无解。所以,这两种环路的同步带为 H=K(2-123),表 2-6,三、最大同步扫描速率 从表2-4看到,理想二阶环可以跟踪频率斜升信号(即频率线性扫描信号),具有固定的相位差。在输入频率斜升的条件下,四、最大频率阶跃量与峰值暂态相差 精确求解最大频率阶跃量与峰值暂态相差需求解非线性微分方程,工程上用相平面法的图解方法(第四章中将作介绍)来求解,这里介绍主要的分析结果,可供工程应用时参考。采用正弦鉴相器的理想二阶环,其最大频率阶跃量与环路参数之间的关系为 此式适用于0.51.4,是工程实用范围。根据(2-126)式所描绘的图形示于图2-25。,(2-126),图2-25 理想二阶环的最大频率阶跃量,图2-26 理想二阶环的峰值相位误差,