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1、3.5 典型非周期信号的傅里叶变换,一、单边指数信号,二、双边指数信号,三、矩形脉冲信号,四、符号函数,3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换,一、冲激函数,二、冲激函数的傅里叶逆变换,三、冲激偶函数,四、阶跃信号,3.7 傅里叶变换的基本性质,一、线性（叠加性）,二、奇偶虚实性,则有两种特定关系：,三、对称性,若,则,F,F,若 f(t)为实偶函数，则,对称性为：,F,2f(),(2),t,R(t)=1,1,F(j)=R()=1,1,例如：,四、时移特性,若,F,则,F,同理,F,例：求下图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数,单边矩形脉冲信号波形,对称矩形脉冲信号波形,F,幅度谱保持不变，相位
2、谱产生附加相移,表明信号延时了t0 秒并不会改变其频谱的幅度，但是使其相位变化了-t0,时移的仿真波形及频谱图,五、频移特性（调制定理）,若,F,则,F,F,F,调幅的一般模型,例：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=G(t)cos0t，其中 G(t)为矩形脉冲，脉幅为E,脉宽为。,矩形调幅信号的仿真波形及频谱图,信号在时域中压缩等效在频域中扩展；信号在时域中扩展等效在频域中压缩。,六、尺度变换特性,尺度变换的仿真波形及频谱,综合时移特性和尺度变换特性，可以证明以下两式：,F,F,七、微分和积分特性,1、时域微分特性,若,F,F,F,则,例如：由于,F,所以,F,F,2、时域积分特性,若,
3、F,F,则,其中,若,则,F,例：求三角脉冲信号的傅里叶变换,三角脉冲信号的频谱,3、频域微分特性,若,F,F,则,F,4、频域积分特性,若,F,则,F,若,则,F,3.8 卷积特性（卷积定理）,一、时域卷积定理,二、频域卷积定理,若,F,F,则,F,若,F,F,则,F,其中,例：利用频域卷积定理求余弦脉冲的频谱,例：利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱,3.9 周期信号的傅里叶变换,一、正弦、余弦信号的傅里叶变换,非周期信号,傅里叶变换,F,F,F,二、一般周期信号的傅里叶变换,周期信号f(t)的周期为T1,角频率为,三、周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换,已知矩形脉冲f0(t)的傅里叶变
4、换F0()为,3.10 抽样信号的傅里叶变换,“抽样”是利用抽样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值，这种离散信号称为“抽样信号”,一、抽样信号,电影是连续画面的抽样电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时，就会感觉到是原来连续活动景象的重现。照片是连续图象的抽样照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一点就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些采样点足够近的话，这幅照片看起来就是连续的。,电力线载波通信技术在油井数据传输中的应用研究,二、抽样信号的傅里叶变换,三、矩形脉冲取样（自
5、然抽样）,四、冲激抽样（理想抽样）,理想抽样的频谱分析,抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔T关系：,理想抽样的频谱分析,抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔T关系：,理想抽样的频谱分析,抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔T关系：,3.11 抽样定理,一、时域抽样定理,若带限信号f(t)的最高角频率为m，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm。,若从抽样信号fs(t)中恢复原信号f(t)，需满足条件：,fs=2fm 为最小抽样频率，称为Nyquist Rate.,(1)f(t)是带限信号，即其频谱函数在|w|wm各处为零；,(2)抽样
6、间隔T需满足;,或抽样频率fs需满足 fs 2fm（或s 2 m）。,其中：,二、理想低通滤波器的频率特性,根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽样时，只需抽样速率 fs 2fm。在工程应用中，抽样速率常设为 fs(35)fm，为什么？,抗 混 低通滤波器,思考题,（2）若电视信号占有的频带为z，电视台每秒发送25幅图像，每幅图象又分为625条水平扫描线，则每条水平线至少要有_个抽样点。,(3)信号 频谱所占带宽(包括负频率)为_ 1/s，若将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱 不产生混叠，最低抽样频率 f s=_Hz，奈奎斯特间 隔 Ts=_ s。,200,100/,/100,令=200有：,
7、解（1）,（2）,（3）,3.8 调制信号的傅里叶变换,3.8.1 调制的概念及调制的分类,1.调制的目的,（1）便于信号的辐射,（2）便于多路通信,2.调制的分类,（1）按调制信号g(t)的不同进行分类,a）模拟调制：g(t)为模拟信号。典型波形为单频正弦波。,b）数字调制：g(t)为数字信号。典型代表为二进制数字脉 冲序列。,（2）按载波信号c(t)的不同进行分类,a）连续波调制：c(t)为连续波形。典型代表为正弦波。,b）脉冲调制：c(t)为脉冲波形。典型代表为矩形脉冲序列。,（3）按调制器的功能不同进行分类,a）幅度调制（调幅）：g(t)改变c(t)的幅度参数（即：载 波c(t)的幅度
8、随g(t)成比例地变化）。如：常规调幅（AM)、脉冲调幅(PAM)、抑制载波调幅(SC-AM)等。,b）频率调制（调频）：g(t)改变c(t)的频率参数（即：载 波c(t)的频率随g(t)成比例地变化）。如：调频（FM)、脉冲调频(PFM)等。,c）相位调制（调相）：g(t)改变c(t)的相位参数（即：载 波c(t)的相位随g(t)成比例地变化）。如：调相（PM)、脉冲调相(PPM)等。,调频与调相都表现为总相角受到调制，所以总称为角度调制（调角）。幅度调制为线性调制，角度调制为非线性调制。,3.8.2 几种调幅信号的傅里叶变换,根据g(t)与c(t)的不同，可分为以下几种情况：,（1）常规调
9、幅（AM）,-g(t)中的直流分量,-g(t)中载有信息的交变分量,为讨论问题方便起见，设 则,（1）,AM调制不失真的条件是：,F,F,F,（2）双边带抑制载波调幅（DSB）,在上式中令 则,（3）,3.8.3 解调概念,解调又称为检波，它是从s(t)恢复g(t)的过程。,（1）常规调幅信号的解调,由左图可见：的包络与g(t)成线性关系。因此，可以采用最简单、廉价的包络检波器（由二极管、电阻、电容组成）来恢复原调制信号。,（2）双边带抑制载波调幅信号的解调,由左图可见：的包络并不与g(t)成线性关系，而是随 而变化，因此其包络并不包含g(t)的全部信息。因而不能采用包络检波的方法。,双边带抑
10、制载波调幅信号的解调必须采用相干（同步）解调的方法。,（3）,3.9 系统的频域分析,3.9.1 系统响应的频域表示,（1）,对式（1）两边取傅里叶变换：,3.9.2 系统的频域模型-系统频率响应,由于 可对 进行某种加工变成响应信号，因而，也称为系统的频率响应特性，简称频率特性或频响特性。,-幅频特性,-相频特性,（1）由微分方程求,设：,对上式两边取傅里叶变换（设起始状态为零），得,（2）由冲激响应求,F,解法一：对微分方程两边取傅里叶变换得,解法二：先求h(t)再求,由2.3节介绍的求冲激响应的方法，可求出,解：由频域等效模型得：,3.9.3 非周期信号激励下系统的响应,例3-20 图示
11、RL低通网络，设 求电阻 上的电压,解：（1）求系统函数,（2）求激励信号的傅氏变换,F,其中：,或,（3）求系统响应 的傅氏变换,（4）求系统响应,3.10 信号的传输与滤波,3.10.1 无失真传输,信号无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只有幅度大小和出现时间的不同，而没有波形上的变化。,1.时域条件,(1),2.频域条件,(1),对式（1）两边取傅氏变换，得：,即,无失真传输系统应满足如下两个条件：（1）系统的幅频特性在整个频率范围内为常数；（2）系统的相频特性在整个频率范围内应与 成正比变化。,(2),3.10.2 理想低通滤波器,理想低通滤波器是将频率低于 的所有信号予以无失真地
12、传输，而将频率高于 的信号完全抑制。,（1）冲激响应,F,当 时，,的特点：响应超前于激励（非因果系统）,（2）阶跃响应,-正弦积分,g(t)的特点：,1.响应波形的前沿是倾斜的，响应信号的建立需要一段时间。,-阶跃响应的建立（上升）时间,理想低通滤波器阶跃响应的建立（上升）时间与滤波器的截止频率成反比。,2.响应与激励相比有波纹。最大波峰的高度约为跳变值的8.95%左右（波峰值为1.0895),它与 无关。-吉伯斯现象,在下述情况下，会产生吉伯斯现象：,1）激励有跳变；2）系统的带宽为有限值。,作业,3-1 3-2 3-4 选做3-5 3-7 3-8(1)(2)(3)3-9 3-11 3-14 3-16 3-21 3-25(2)(4)(5)3-23 f3(t)3-31(a)(b)(d)(f)3-34 3-35 3-36(a)选做(b)3-37 3-38 3-40 3-483-50 3-54,
