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1、第七章 傅里叶变换和色散关系,对自然界的最深刻的研究是数学最富饶的源泉。-傅里叶,2,学习要求与内容提要,目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里 叶级数展开法；掌握傅里叶变换和 相关性质。,重点：,难点：,傅里叶变换。,傅里叶变换导出思路。,3,1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。,傅立叶的两个最主要的贡献:,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,7.1 傅里叶级数,4,（
2、1）波的叠加 在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如 Asin(t+)的波,其中A是振幅,是角频率,是初相位.其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.,1 傅里叶级数,非正弦周期函数:矩形波,可以用不同频率正弦波叠加构成！,5,6,由上例可以推断：一个周期为T的函数f(t+T)=f(t)可以看作是许多不同频率的正弦或余弦函数的叠加所构成。将时间坐标t换为空间坐标x,同时将周期换为空间长度2l,我们同样有一个周期为2l的函数f(x+2l)=f(x)可以看作是许多不同频率的正弦或余弦函数的叠加所构成。,7,-T/2,T/2上的积分等于 0。,其中
3、任意两个不同的函数之积在,（2）.三角函数族及其正交性,引入三角函数族,上的积分不等于 0。,两个相同的函数的乘积在-T/2,T/2,8,证:,任意两个不同的函数之积在-T/2,T/2上的积分等于 0.以两个余弦函数的积为例,两个相同的函数的乘积在-T/2,T/2上的积分不等于 0.以两个正弦函数的积为例,9,如果周期为2T 的函数 f(t)满足狄里希利定理的条件,则它可以展开式为下列级数,(在 f(t)的连续点处),（3）周期函数的傅里叶展开,式 称为f(t)的傅里叶级数.,式中a0,an,bn称为函数f(t)的傅里叶系数;,问题:a0,an,bn 等于什么?,引入圆频率0=2/T，重写,1
4、0,(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；,(2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，,且,在收敛点有：,在间断点有：,狄里希利定理:若函数f(t)满足条件：,注:第一类间断点 如果f(t)在间断点t0处左右极限存在,则称点t0为f(t)的第一类间断点.,下面我们利用三角函数族的正交性来求解a0,an,bn，,11,对式两边在-T/2,T/2内逐项积分,得,式乘 cos n0t 并在-T/2,T/2内逐项积分并运用正交性,得,由三角函数的正交性0,由三角函数的正交性得0,k=n,由三角函数的正交性0,12,类似地,用 sin n0t 乘 式两边,再逐项积分可得,归纳
5、:,13,考虑到下列欧拉公式,我们把傅里级数表示成复数形式,再次考察周期为-T/2,T/2 的f(t)的傅里叶级数：,2 复数形式的傅里叶级数,14,注意到,同理,15,傅里叶级数的复数形式:,因此得,16,16,周期函数的性质是f(t+T)=f(t),t每增大一个T，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期T的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅里叶积分”。,7.2 傅里叶变换,考察复数形式的傅里叶级数:,1 傅里叶积分和傅里叶变换,17,17,“傅里叶级数”:,另一方面：,非周期函数的复数“傅里叶级数”改写为：,设 存在，我们形式定义非周期函数的,18,
6、18,令,有,把cn代入f(x)，则非周期函数表示为,称f(t)的傅里叶变换,称f()的逆傅里叶变换,像函数,原函数,注意到：,19,19,傅里叶积分定理：若函数 f(t)在区间(-，+)上满足条件:(1)在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)在区间(-，+)上绝对可积（即 收敛），则 f(t)可表为傅里叶积分，且在间断点处 傅里叶积分值=，则,f(t)的傅里叶变换对,20,20,用空间变量x代替时间变量t，则有,在空间域的傅里叶变换对（按教材规定）,时间间域傅里叶变换对（按教材规定）,注意：基元函数定义差别,21,21,解:矩形脉冲函数的周期为-T,T,如右图.,其中h是实常数。,22,7.
7、17.2,本讲作业,23,23,在空间域的傅里叶变换对（按教材规定）,时间间域傅里叶变换对（按教材规定）,注意：基元函数定义差别,24,解:由傅里变换定义式，我们有(t)的像函数,例7.2 求(t)的像函数.,由(t)函数的像函数和傅里变换像函数定义，我们得出(t)函数的积分表达式,25,例7.3 求,解,利用积分,考虑到f(x)是偶函数,（0）的像函数。,26,(1)导数定理,2 傅里叶变换的基本性质,根据傅里叶积分定理，,证明：,推广：,27,例:证明,根据傅里叶积分定理，,证明：,推广：,28,(2)积分定理,由变上限积分定理：,由导数定理,利用导数定理证明：引入新函数,另一种形式：,证
8、明：,29,(3)相似性定理,空域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,比较定义,证明：,30,(4)延迟定理,(5)位移定理,注意：,证明：,证明：,31,则,卷积定义,证明：,32,例 7.4 解积分方程,解：将方程先变为卷积形式，有,作傅里叶变换，有,33,因此,最后有,34,（7）帕塞瓦尔等式能量守恒,35,3 傅里叶变换的物理意义,求和,振幅谱,相位谱,36,例7.5 在量子力学中，对于以能量E从金属表面发射出来并处于恒定加速电场E0中的电子，设电子的质量和电荷各为m和-e,E0的方向和x轴的取向如图7.3所示，其运动服从如下的薛定谔方程,求电子的波函数。,37,解 首先把定解问
9、题改写为,为了使方程更简洁明，引入一些新参量。,从方程两边量纲的一致性分析我们可以看到：,上述各量都具有能量量纲，所以下列物理量,分别具有量纲L-3和L-2(L是长度量纲)。,38,39,为了应用我们熟悉的常微分方程理论求解，应用傅里叶变换于方程,并应用傅里叶变换的求导定理,则有一阶常系数常微分方程,由常系数线性常微分方程理论，此方程的解为,求此解的傅里叶逆变换即得出本题所需的解。,(c是积分常数)。,改写上述方程并进行傅里叶变换,爱里方程,40,而它所满足的方程,称为爱里方程。,称为爱里(Airy)函数。,代入,u()的傅里叶逆变换式,41,7.37.4,本讲作业,42,7.3 多重傅里叶变
10、换,不难将一元连续函数f(x)的傅里叶变换推广到二元函数f(x,y)的傅里叶变换。方法是先将二元函数f(x,y)的自变量y看作参数而对变量x实行变换。这时有傅里叶变换对 再对f(k1,y)进行y的傅里叶变换，这样有二元傅里叶变换对,1 二元函数傅里叶变换,43,将f(k1,y)代入f(k1,k2),44,例 7.6 求函数,的傅里叶变换(矩孔费琅和夫衍射)。,解：由傅里叶变换关系,有,45,其幅度谱为,46,三维连续函数f(x,y,z)的傅里叶变换定义如下：设f(x,y,z)是三个独立变量x,y,z的函数，且在上绝对可积，则定义积分 为三元连续函数f(x,y,z)的傅里叶变换，并定义 为f(k
11、1,k2,k3)的逆变换。,2 三维傅里叶变换,47,记：,三元函数的傅里叶变换对简化为：,48,由直角坐标系体积元与球坐标系体积元间关系：,例7.7 求 的三重傅里叶变换。,代入f(r)：,解：函数f(r)是球对称函数，因此采用球坐标系较方便，并且以z轴为k的方向。由三重傅里叶变换公式,49,得,50,其中：,51,四维连续函数f(x,y,z,t)的傅里叶变换定义如下：设f(x,y,z,t)是四个独立变量x,y,z,t的函数，且在上绝对可积，则定义积分 为四元连续函数f(x,y,z,t)的傅里叶变换，并定义 为f(k1,k2,k3,)的逆变换。,3 四元傅里叶变换,52,记：,四元函数的傅里叶变换对简化为：,53,7.6(1)(2),本讲作业,54,例7.8 求极坐标下的二维傅里叶变换,重写傅里叶变换,极坐标变换,频域,55,令:,则在极坐标中:,则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：,56,则傅里叶-贝塞尔变换对,利用贝塞尔函数关系,改写为：,57,
