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1、材料力学,第三章 扭转,材料力学,第三章 扭转,3-2扭转时的内力,3-3薄壁圆筒的扭转,3-4 圆轴扭转时的应力和变形,3-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,3-1工程实际中的扭转问题,31 工程实际中的扭转问题,第三章 扭转,31 工程实际中的扭转问题,以扭转为主要变形的工程构件有：传动轴、钻杆等。,一、工程中的扭转问题,汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等,31 工程实际中的扭转问题,一、工程中的扭转问题,任意两截面绕轴线相对转动的角位移。,外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。,31 工程实际中的扭转问题,二、扭转变形,外力特点：,变形特点：,各横截面绕轴
2、线发生相对转动。,扭转角（）：,剪应变（）：,直角的改变量。,箱式截面梁的扭转,31 工程实际中的扭转问题,三、非圆截面杆的扭转,32 扭转时的内力,第三章 扭转,32 扭转时的内力,一、传动轴的外力偶矩,其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）,3 扭矩的符号规定：,二、扭矩及扭矩图,右手螺旋法则：,与外法线方向一直为正与外法线方向相反为负,32 扭转时的内力,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。,1 扭矩：,2 截面法求扭矩,扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。,目 的,32 扭转时的内力,4 扭矩图,已知：一传动轴，
3、n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：（1）计算外力偶矩,32 扭转时的内力,例题1,检查轴在外力偶的作用下是否平衡。,解：（2）求扭矩（扭矩按正方向设）,32 扭转时的内力,1-1 截面,2-2 截面,3-3 截面,BC 段为危险截面:,9.6,32 扭转时的内力,解：（3）绘制扭矩图,第三章 扭转,33 薄壁圆筒的扭转,一、薄壁圆筒的扭转实验：,1.实验前：,1)绘纵向线，圆周线；2)施加一对外力偶 m。,33 薄壁圆筒的扭转,2.实验后：,1)圆周线不变；2)纵向线变成斜直线。,1)圆筒表
4、面的各圆周线的形状、大小和间距均未 改变，只是绕轴线作了相对转动。2)各纵向线均倾斜了同一微小角度。3)所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形。,3.结论：,33 薄壁圆筒的扭转,4)与 的关系,一、薄壁圆筒的扭转实验：,1)在小变形下，沿杆的轴线方向无变形，即无正应力；2)横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,根据实验现象分析：,33 薄壁圆筒的扭转,二、理论分析,三、薄壁圆筒横截面上的切应力,A0：平均半径所作圆的面积。,33 薄壁圆筒的扭转,截面上的应力等于内力扭矩,静力学关系：,单元体 边长为微量的正六面体,33 薄壁圆筒的扭
5、转,四、切应力互等定理,截取abcd 正六面体，,纯剪切应力状态:,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,33 薄壁圆筒的扭转,四、切应力互等定理,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。,33 薄壁圆筒的扭转,五、剪切胡克定律,式中：G 是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列
6、关系（推导详见后面章节）：,33 薄壁圆筒的扭转,五、剪切胡克定律,拉压胡克定律：,第三章 扭转,34 圆轴扭转时的应力和变形,等直圆杆横截面应力,变形几何关系物理关系静力学关系,34 圆轴扭转时的应力和变形,分析应力的方法：,1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行线。,一、等直圆杆扭转实验观察：,34 圆轴扭转时的应力和变形,1、在dx长度上，圆柱的两端面相对转过角度d2、若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱3、半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径 越小者剪应变越小。,34 圆轴扭转时的应力和变形,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,二、等直圆杆扭转时
7、横截面上的应力：,1.变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。,扭转角沿轴线方向变化率。,34 圆轴扭转时的应力和变形,T,2.物理关系：,虎克定律：,34 圆轴扭转时的应力和变形,代入上式得：,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1.变形几何关系：,3.静力学关系：,令,代入物理关系式得：,34 圆轴扭转时的应力和变形,极惯性矩,1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。,式中：T 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip 极惯性矩，与截面形状和尺寸有关的量。,34 圆轴扭转时的应力和变形,4.公式的讨论：,圆轴扭转时横截面上任意点
8、的切应力公式：,2）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是极惯性矩Ip值不同。,D,d,O,34 圆轴扭转时的应力和变形,4.公式的讨论：,O,d,34 圆轴扭转时的应力和变形,4.公式的讨论：,3）应力分布,实心截面,空心截面,34 圆轴扭转时的应力和变形,4.公式的讨论：,由公式,三.等直圆杆在扭转时的变形,34 圆轴扭转时的应力和变形,当长为 一段杆两截面间相对扭转角 为,式中：,内力扭矩（可以是x 的函数）,极惯性矩（可以是x 的函数）,剪切弹性模量,1、相对扭转角,由公式,三.等直圆杆在扭转时的变形,34 圆轴扭转时的应力和变形,式中：,截面上的扭矩,极惯性矩,剪切弹
9、性模量,考虑圆轴的特点，在一定长度上，扭矩、直径是常量：,当圆轴是阶梯轴时：,2、单位长度上的扭转角：,或,GIp 反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。,34 圆轴扭转时的应力和变形,三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,?,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,四、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件：沿横截面断开。,铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,1.点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：,(d),(d),n,t,转角规定：轴正向转至截面外法线,逆时针：
10、为“+”顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,分析：,当=0时，,当=45时，,当=45时，,当=90时，,t,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,第三章 扭转,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,当,令：,一.强度条件：,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,横截面上最大切应力公式,式中：,横截面上的扭矩,极惯性矩,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,一.强度条件：,强度条件：,对于等截面圆轴：,强度计算三方面：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,35 圆轴扭转时的强度和刚度
11、计算,二、刚度条件,或,称为许用单位扭转角。,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别 N2=200马力及 N3=300马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2；若全轴选同一直径，应为多少；主动轮与从动轮如何安排合理？,解：1)扭矩如图,T,x,7.024,4.21,(kNm),35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例1,由强度条件得：,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：2)强度条件,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：3)刚度条件,综上：,全轴选同一直径
12、时,轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,T,x,4.21,(kNm),2.814,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：4)安排各轮,已知：P7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。,例题2,求:实心轴的直径d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的重量之比。,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：1）计算外力偶矩,2）计算实心轴直径,解得,d20.5D2=23 mm,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：3）计算空心轴直径,空心轴,D24
13、6 mm,d223 mm,实心轴,d1=45 mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：4）计算两轴的重量比,实心截面轴的重量是空心截面轴的重量1.28倍。,已知：B轮输入功率P114kW,AB轴的转速n1=120 r/min,功率的一半通过齿轮传给C轴，另一半由H轴传出，z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm。求:各轴横截面上的最大切应力。,例题3,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：1)计算外力偶矩,P1=14kW,P2=P3=P1/2=7 kW,n1=n2=120r/min,已知：B轮输入功率P11
14、4kW,AB轴的转速n1=120 r/min,功率的一半通过齿轮传给C轴，另一半由H轴传出，z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm。求:各轴横截面上的最大切应力。,例题3,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：1)计算外力偶矩,P1=14kW,P2=P3=P1/2=7 kW,n1=n2=120r/min,解：2）计算各轴的横截面上的最大切应力,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例4 传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1=l2=1.5m，d=50mm，G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？,解：1）扭矩,T,x,0.7,0.3
15、,(kNm),35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,根据外力偶矩与扭矩的关系，可以直接作图。,例4 传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1=l2=1.5m，d=50mm，G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？,解：2）相对扭转角,T,x,0.7,0.3,(kNm),35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例4 传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1=l2=1.5m，d=50mm，G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？,解：2）相对扭转角,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,相对扭转角,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例题5 长为 L
16、=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：1）扭矩,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,或：,40Nm,x,T,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：1）扭矩,扭矩图,例题5 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：2)设计杆的外径,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,40Nm,x,T,代
17、入数值得：,D 0.0226m。,3)由扭转刚度条件校核刚度,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,4）右端面转角：,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,3)由扭转刚度条件校核刚度,一受扭轴，横截面分别为下述几种情况，哪种可用前述公式计算截面应力？,思考题,思考题,(2)材料相同的两个轴,直径差一倍,长度,扭矩相同,问:两轴刚度强度是否相同?,(3)对于空心受扭轴,下面公式是否正确?,思考题,三、扭转静不定,两端固定圆轴，C处受外力偶矩m作用求：扭矩图,解：解除约束，约束反力偶为,平衡方程：,？,为一次静不定问题,扭转静不定,补充方程：,扭矩图,返回,扭转静不定,非圆截面杆的扭转介绍：,非圆截面等直
18、杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,非圆截面等直杆扭转,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,非圆截面等直杆扭转,2.矩形截面杆最大剪应力及单位扭转角,其中：,其中：It相当极惯性矩。,非圆截面杆的扭转介绍,厚度,max=,3.狭长矩形截面,其中：,非圆截面等直杆扭转,a.剪应力流的方向与扭矩的方向一致。,b.开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚度中点处，应力为零。,4.开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力一、开口薄壁截面杆,非圆截面等直杆扭转,扭转,二、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b），同一厚度处，应力均匀分布。,非圆截面等直杆扭转,非圆截面等直杆扭转,三、开口、闭口薄壁截面杆的比较,小结：1.圆轴扭转时横截面上有怎样的应力？应力的方向？怎样分布？2.横截面上切应力的计算公式？切应力和材料性能有关么？3.实心和空心圆轴极惯性矩的计算公式?,总结,4.圆轴扭转变形时两截面的相对扭转角?5.圆轴扭转变形时单位扭转角？6.圆轴扭转变形时横截面上某点的切应变？变化规律？,本章作业:3.8,3.9,3.22,3.16（选）,
