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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章 函数的极限与连续习题 21 1.写出下面数列的前5项，并观察当n时，哪些数列有极限，极限为多少? 哪些数列没有极限.解 （1） 有极限 , 极限为 1.(2) 没有极限.(3) 有极限 , 极限为 1. (4) 1, 2, 3, 4, 5 没有极限. (5) , 有极限 , 极限为 0 .(6) 0, 1, 0 , 1, 0 没有极限 . 2. 用极限的定义证明： (1) 若k0，则 解 (1) 因为对任给的 0，要使不等式 所以对任给的 0, 取正整数 N = , 则当n N时, 就恒有 故由数列极限的定义知, . (2) 因为对任给的 0, 不妨设，要使不
2、等式 所以对任给的 0, 取正整数N = , 则当n N时, 就恒有 故由数列极限的定义知, . 3. 设 如果要使xn与其极限之差的绝对值小于 0.0001 , 问n应满足什么条件?解 因为要使 所以n 4 .4. 设数列x n有界，且证 因为数列xn有界, 所以存在正整数M 0, 使得 0, 存在正整数N , 使得当n N时, 就恒有 所以对任给的 0, 存在正整数N, 使得当n N时, 就恒有 故由数列极限的定义知, 5. 设数列x n收敛, 求证数列x n必定有界.解 由数列x n收敛, 设. 因为对于任意 0, 存在正整数N , 使得当n N时的一切x n , 就恒有 即 所以对任给
3、的 0,取正数当n N时 ,就恒有 故数列x n必定有界. 习题 221. 用极限的定义证明 ： 解 (1)因为对任给的 0, 要使不等式|(3 x 1) 8| =|3(x 3)| 0, 取正数= ,使得当0 | x 3|时, 就恒有 |(3x 1) 8| 0, 要使不等式 只要取正数= 就可以了.所以对任给的 0, 取正数= , 使得当0|x + 2| 0, 要使不等式 , 则 |x | , 只要取正数M = 就可以了.所以对任给的 0, 取正数M =, 使得当| x | M 时, 就恒有 故由极限定义知 .(4)因为对任给的 0 (不妨设00,取正数, 使得当x-M 时, 就恒有 故由极限
4、定义知 .2*. 当x-2时，x 2 4. 问等于多少，在0|x + 2|时, 有| x2 - 4| 0.003 ?解 因为当x -2时，x -2 -4, 取 = 0.003, 要使不等式 | x 2 - 4|=| x + 2| | x 2 | 设, 即有 -3 x -1, -5 x -2 -3所以当 时，. 问M等于多少时，在|x| M时, 有?解 因为当x 时，要使不等式 即M = 102.4. 设函数, 讨论当x 0时，f(x)的极限是否存在.解 5. 证明函数f(x) = x| x|, 当x0时极限为零. 6* . 利用定义证明：.证 因为当a 1时，对任意 0，不妨设01, 要使所以
5、对于01，就恒有即 .又因为当0 a 2时的极限存在. 解 故 8. 求当x 0时的左、右极限，并说明它们在x 0时的极限是否存在. 解 习题 231. 1. 求下列极限：解 2. 求下列数极限：2. 2. 设 , 求常数a, b 的值.解 3. 3. 若常数k 使存在, 试求出常数k与极限值.解 5. 求下列函数的极限：解当时, 则6 .求下列曲线的渐近线：解 7. 已知 解 习题 241. 1. 利用极限存在准则，计算下列各题:解 2.求下列极限： 解 3.求下列极限： 解 解 习题 251.下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量？解 （1）因为 ,所以当时，是无穷大量.又因
6、为 ，所以当时，是无穷小量.（2）因为，所以当时,是无穷大量.又因为 ，所以当时，是无穷小量.（3）因为，所以当时,是无穷大量.又因为，所以当时,是无穷小量.（4）因为，所以当是无穷大量.又因为，所以当是无穷小量.2当时，指出关于x的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量. 解 因为 所以当时，与x同阶的无穷小量有；又因为 所以当时，比x高阶的无穷小量有，； 又因为 所以当时，与x等价的无穷小量有.3.把下列函数表示为常数(极限值)与一个当x 时的无穷小量之和的形式. 解 （1）因为,所以.（2）因为 所以 .4证明： 当x 0 时， (1) e x -1 x； (2) arcsin x
7、 x .解 （1）.（2）.5利用等价替换原理, 计算下列极限：解 （1）因为当时，所以 .（2）因为当所以 .（3）因为当所以 .（4）因为当所以 .（5）因为当所以 .（6）因为当所以 .（7）因为当所以 .(8) 因为当6. 设x 0 时, 函数为等价无穷小量，求常数k的值.解 因为 所以 k = 1.*7. 求下列函数的极限： 解 因为所以 .(2)因为当时, 因为当时,习题 26 1.求函数 在x = 3, x = -0.2时的增量y.解 因为 2.利用连读函数的定义，证明下列函数在 x = 0 点的连续性. 解 (1)因为(2)因为 3. 求下列函数的间断点, 并指出间断点的类型.
8、 若是可去间断点，则补充定义，使其在该点连续. 解 (1)而 故 不存在，x = 0是的跳跃间断点.又因为 所以 x = 1是的可去间断点，补充定义.又因为 所以x = -1是的无穷间断点.(2) 因为处没有定义, 且所以x = 1是的无穷间断点.(3)因为则所以x = 1是的连续点.所以 不存在，x = 0是的跳跃间断点.所以不存在，x = 0是的跳跃间断点.4.讨论下列函数的连续性，并作出函数图形. 解 (1) 因为（函数图形见图21）且 所以x = 1是的间断点. 图21（函数图形见图22） 图22 因此x = 1，x = -1是的跳跃间断点.5.已知,问当 a, b 为何值时,在 x
9、=1 处连续.解 因为且若函数在x = 1处连续，则必须 .即 解之，得 .6.求函数的连续区间,并求.解 因为所以 7.设函数在a, b上连续，且,证明在(a, b)内至少存在一点，使得f() = .证 上故由零值定理知，在内至少存在一点，使得F（）= 0，即 .8.设函数在a, b上连续，, 求证在(a, b)内至少有点,使 证 因为在a, b上连续，则上也连续.由最大最小值定理知，上存在最小值m,最大值M，取 由介值定理知, 在(a, b)内至少有点,使 .9. 证明方程至少有一个根介于1和2之间.证 设,由于F（x）在1，2内连续，且由零值定理知，在（1，2）内至少存在一点，使得F（）
10、= 0.即 .故方程在1，2内至少有一个根.综合习题二1.选择填空： (1) 数列y n有界是数列收敛的 ( ) . 必要条件 充分条件 充要条件 无关条件 (2) 当x 0 时，( )是与sin x等价的无穷小量. tan2 x x (x+2) (3) 设存在, 则必有( ) . a = 0 , b = 0 a = 2 , b = 1 a = 1 , b = 2 a 为任意常数, b = 1 (4) 若,则 f (x) = ( ) . x+1 x+5 (5) 方程 x4 x 1 = 0至少有一个实根的区间是( ) . (0,1/2) (1/2, 1) (2, 3) (1, 2)(6) 函数的
11、连续区间是( ) . (0, 5) (0, 1) (1, 5) (0, 1) (1,5)解 （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （6）. 2.计算题：解 因为因为2. 1. 设 存在.解 3. 2. 作出函数的图形，并指出间断点.解 由已知可得 则函数图形见图23. 5. 求函数的可去间断点. 图23解 因为在x = 0，x = 3处无意义,所以x = 0，x = 3都是函数f(x)的间断点.但 故 x = 0是f(x)的可去间断点.而 故 x = 3是f(x)的无穷间断点. 6.设f(x)在点 x = x 0 处连续且 f (x 0) 0, 试证在x 0 的某个邻域内有f (x
12、) 0.证 由已知f(x)在点 x = x0 处连续，则.取时，恒有故 .7. 设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.解 依题意，第一期到期后的利息为 本金利率=第一期到期的本利和是 本金利息=若按总利计算，第二期到期的本利和为第n期到期后的本利和为存期若为t年（事实上有t n期），到期后的本利和为 （*）由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,（1） （1） 一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得 （2） （2） 一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得 （3） （3） 一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得 （4） 连续取息就是在（*）式中令，得 结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大.8.证明方程（其中）至少有一个正根，并且它不超过.证 设，显然F（x）在0，上连续，若=0，则为方程F（x）= 0的正根;若0，则由零值定理，至少有一点使得F（x）= 0，即.专心-专注-专业
