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1、精选优质文档-倾情为你奉上一. 作辅助线1. 按定义添加: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍2. 按基本图形添加:(1).平行线: 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线(便有了同位角内错角同旁内角等,可运用平行线的判定和性质)(2).线段:相等-结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理相加减-结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法(3).三角形:中线-有底边中点连接作中线,有腰中点连接作中位线(则有中位线定理,反过来知道中位线可判断平
2、行及中点),直角三角形有斜边中点连接作中线(等于斜边一半).常利用中位线角平分线-常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题(4).平行四边形(包括矩形,正方形,菱形): 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：连对角线或平移对角线：过顶点作对边的垂线构造直角三角形连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线
3、，构造线段平行或中位线过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.(5).梯形: 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：在梯形内部平移一腰。梯形内平移两腰延长两腰过梯形上底的两端点向下底作高平移对角线连接梯形一顶点及一腰的中点过一腰的中点作另一腰的平行线作中位线 练习1. 已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:ABACBDDECE. 2.如图2，ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中线。已知ABC的面积为2，求：
4、CDF的面积。 3.如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：BGE=CHE。 4.如图6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。 5. 如图1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。6. 如图2-4,AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA,如果PC=4，则PD=（ ）A.4 B.3 C.2 D.17. 如图所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的长. 8. 如图，在梯形ABCD中，AD/
5、BC，BC=90，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。ABDCEH9. 已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积10. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. ABCDDEDFD11.在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，ABC=60，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积12.在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求AEB=2CBE。13.如图6，
6、在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE。答案1.(截长补短) 证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在AMN中，AMAN MDDENE;（1） 在BDM中，MBMDBD； （2） 在CEN中，CNNECE； （3） 由（1）（2）（3）得： AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC （法二：）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有： ABAF BDDGGF（三角形两边之和大于第三边）（1） GFFCGECE（同上）（2） DGGEDE（同上）（3） 由（1
7、）（2）（3）得： ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。2.(中线分面积为相等的2半)解：因为AD是ABC的中线，所以SACD=SABC=2=1，又因CD是ACE的中线，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中线，所以SCDF=SCDE=1=。CDF的面积为。3.(利用中位线) 证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，ME是BCD的中位线， MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位线， MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，从而BGE=CHE。4. (直角三角形斜边中线)证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则D
8、E、CE分别为RtABD，RtABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC， CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。5.(角平分线 截取) 在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。6.(角平分线上的点到角两边距离)C7.(平移一腰) 解：过点D作DEBC交AB于点E. 又ABCD，所以四边形BCDE是
9、平行四边形. 所以DEBC17，CDBE.在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.8. (平移2腰)解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得EGHEHG=BC=90则EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以9. (平移对角线)解：如图，作DEAC，交BC的延长线于E点ADBC 四边形ACED是平行四边形 BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在DBE中， BD=3，DE=4，BE=5 BDE=90作DHBC于H，则10.(延长腰)
10、四边形ABCD是等腰梯形. 证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示. ACBD，ADBC，ABBA， DABCBA. DABCBA. EAEB. 又ADBC，DECE，EDCECD. 而EEABEBAEEDCECD180，EDCEAB，DCAB. 又AD不平行于BC， 四边形ABCD是等腰梯形. 11.(作高) 解：作AEBC于E，DFBC于F，又ADBC，四边形AEFD是矩形， EF=AD=3cmAB=DC 在RtABE中，B=60，BE=1cm AB=2BE=2cm，12.(中点 延长) 解：分别延长AE与BC ，并交于F点BAD=900且ADBC FBA=1800BAD=900 又AD
11、BC DAE=F(两直线平行内错角相等)AED=FEC（对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点）ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 在FEB中 EBF=FEB AEB=EBF+ FEB=2CBE13.解：连结BD，由AD/BC，得ADB=DBE；由BC=CD，得DBC=BDC。所以ADB=BDE。又BAD=DEB=90，BD=BD，所以RtBADRtBED，得AD=DE。三.最值 定值问题(一)最值:在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大
12、值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种:(在此介绍符合当前所学过知识的一种解法) 应用几何性质：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点间线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；特殊位置与极端位置法-特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等.数形结合法:一次函数,反比例函数(二)定值: 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探
13、求出定值，再给出证明1. 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边APC和等边BPD，则CD长度的最小值为 2. 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B、C、D，则BB+CC+DD的最大值为 ，最小值为 3.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是( )A B C D4.如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列
14、结论成立的是( ) A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减小C线段EF的长不改变 D线段EF的长不能确定 9. (数形结合 一次函数)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？10. 一名工人一天能生产某种玩具至个，若每天须生产这种玩具个，那么须招聘工人多少名？(最少多少?最多多少?)(三)最短路线问题在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线像这样将一个问题
15、转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法e.g A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小5.如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来6.长方体ABCDABCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小虫从顶点D出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？7.已知定点A（1，2），B（3，4），在x轴的点P，使点P到A、B两点距离之和最短，求P点坐标。8.三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，PA+PM的
16、最大值和最小值分别记为S和t则=_答案1. 思路点拨 如图，作CCAB于C，DDAB于D，DQCC，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP=，则PB=，从代数角度探求CD的最小值 2. 3.A 把圆柱侧面展开 4.C EF平行且等于1/2 AR5. 解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线作点A关于河岸的对称点 A，即作 AA垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=AC，连接AB交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PAPB就是侦察员应选择的最短路线证明：设河岸上还有异于P点的另一点P，连接PA，PB， PAPA+PBPA+P
17、BAB=PA+PB=PA+PB，而这里不等式 PAPBAB成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段AB，所以这种方法也叫做化直法6. 解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 DB间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D点出发，到B点共有六条路线供选择从D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上，这时在这个平面上D、B间的最短路线距离就是连接D、B两点的直线段，它是直角三角形ABD的斜边，根据勾股定
18、理，DB2=DA2+AB2=（1+2）242=25，DB=5容易知道，从D出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线这种方法叫做旋转法,翻折法.7. 解:如图2作A（1，2）关于x轴的对称点（1，-2）则过点（1，-2）、B（3，4）两点的直线解析为：，该直线与x轴交点坐标为即为所求P点坐标。8.分析:本题比上例更有一定的难度，S还好求，因为PAAC，PMCM，所以，当点P为
19、顶点C时，等号成立，所以。关键在于T，以BC为边作正三角形，如图5，作M关于BC所在的直线对称点，连结、，因为，所以在上，且，PM=，PA+PM=PA+，连结，则，所以所以。所以9. 解:设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为人，由题意得： 所以设所招聘的工人共需付月工资y元,则有:（）因为y随x的增大而减小,所以当时，（元）10. 分析：这是一道反比例函数模型的应用题，这里是常量。设每人每天生产x个玩具，需要工人名。则有。（，且x为整数）当时，随的增大而减小，即为正整数，取至。即须招聘工人为80至134人。四.动态问题分类:题型-点动型,线动型,面动型 运动形式-平移,旋转,翻折,滚
20、动1.单动点型:解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。类比发现法大致可遵循如下步骤：（1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可 能出现的情况；（2）结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识 （常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论。（3）类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质。e.g 1.如图，在ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的角平分线于点E，交BCA的外角平分线
21、于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论 2.双动点型:e.g 2. 如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形3. 线平移型:e.g 3. 如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）(1)
22、点A的坐标是_，点C的坐标是_；图20 (2) 当t= 秒或 秒时，MN=AC；(3) 设OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；以下3种通常利用全等三角形,判断运动方式及变化,确定改变的量和不变的量,根据题意证明4AB=1，BC= 中，已知，如图.线旋转型:e.g 对角线AC、BD交于0点，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F(1)证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；5.面旋转型(见练习题第一页24):e.g 5. 已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接（1）直接写出线段与的数量关系；
23、（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明6.面翻折型: 解决此类问题的关键是找出隐藏的条件（翻折前后的线段相等，角相等）e.g 6.7.如图，在直角梯形纸片中，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为连接并展开纸片（1）求证：四边形是正方形；ECBDAGF（2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形答案e.g 1.解:（1）证明： CE平分， ，又MNBC，同理， （2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. ，点O是AC的中点 四边形AECF是平行四边形. 又， ，即 四边形AECF是矩形
24、 2. 题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图，过作交于点，则四边形是平行四边形，（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三
25、角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 解得【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论： 当时，如图作交于，则有即（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质），解得 当时，如图，过作于H则， 当时， 则 综上所述，当、或时，为等腰三角形3.解:(1)（4，0），（0，3）
26、； (2) 2，6； (3) 当0t4时，OM=t由OMNOAC，得， ON=，S= 当4t8时，如图， OD=t， AD= t-4 方法一：由DAMAOC，可得AM=， BM=6- 7分由BMNBAC，可得BN=8-t， CN=t-4 8分S=矩形OABC的面积-RtOAM的面积- RtMBN的面积- RtNCO的面积=12-（8-t）（6-）-= 方法二：易知四边形ADNC是平行四边形， CN=AD=t-4，BN=8-t由BMNBAC，可得BM=6-， AM=以下同方法一4.略5.（1） （2）（1）中结论没有发生变化，即证明：连接，过点作于，与的延长线交于点在与中， 在与中， 在矩形中，.在与中， 6.略7.略欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语； 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。专心-专注-专业
