二次函数讲义-详细.doc

《二次函数讲义-详细.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数讲义-详细.doc（34页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上 第一讲 二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1、 函数y=（m）x2x1是二次函数，则m= 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）y=x；y=3（x1）22；y=（x3）22x2；y=xA1个 B2个 C3个 D4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定

2、为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式例4 、如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QPAP交DC于Q，如果BP=x，ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y训练题:1、已知函数y=ax2bxc（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数2、若函数y=(m2+2m7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。3、已知函数y=(m1)x2m +1+5x3是二次函数，求m的值。4、已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系5、请你分别给a，b，c一个值，

3、让为二次函数，且让一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三象限6下列不是二次函数的是（ ）Ay=3x24 By=x2 Cy= Dy=（x1）（x2）7函数y=（mn）x2mxn是二次函数的条件是（ ）Am、n为常数，且m0Bm、n为常数，且mnCm、n为常数，且n0Dm、n可以为任何常数8如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围9如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的

4、速度移动如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围10已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=8点D在斜边AB上，分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF设DE=x，DF=y（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式 第二讲 二次函数的图像和性质知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.（2）运用抛物线的对

5、称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质： （1）二次函数y=ax2 (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大 （2）二次函数的图象是一条对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。3、图象的平移：左加右减，上加下减例1、抛物线y=2x26x1y=2x26x1对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值例2、已知直线y=2x3与抛物线y=ax

6、2相交于A、B两点，且A点坐标为（3，m）（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：（1）y=ax2经过（1，2）；（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax2与直线y=x3交于点（2，m）例4、抛物线y=ax2bxc如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是 例7、已知二次函数y=（m2）x2（m3）xm2的图象过点（0，5）（1）求m的值，并写出二次函数的表达式； （2）

7、求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴例5、二次函数y=a(xh)2的图象如图：已知a=，OAOC，试求该抛物线的解析式。例6、试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。例7、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x23x+5，试求b、c的值。训练题:1抛物线y=4x24的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= 2当m= 时，y=（m1）x3m是关于x的二次函数3抛物线y=3x2上两点A（x，27），B（2，y），则x= ，y= 4

8、当m= 时，抛物线y=（m1）x9开口向下，对称轴是 在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 5抛物线y=3x2与直线y=kx3的交点为（2，b），则k= ，b= 6已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（1，2），则抛物线的表达式为7在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）Ay=x2By=x2Cy=2x2Dy=x28抛物线，y=4x2，y=2x2的图象，开口最大的是（ ）Ay=x2By=4x2Cy=2x2D无法确定9对于抛物线y=x2和y=x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A两条抛物线关于x轴对称B两条抛物线关于原点对称C两条抛

9、物线关于y轴对称D两条抛物线的交点为原点10二次函数y=ax2与一次函数y=axa在同一坐标系中的图象大致为（ ）11已知函数y=ax2的图象与直线y=x4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）A4B2CD12.已知二次函数y=x2x6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小13抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为14若二次函数y=3x2+mx3的对称轴是直线x1，则m 。15当n_，m_时，函数y(mn)xn(mn)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_.16已知二次函数y=x22ax+2a+

10、3，当a= 时，该函数y的最小值为0.17.二次函数y=3x26x+5，当x1时，y随x的增大而 ；当x0,b0,c0B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b0,c 0Bb -2aCa-b+c 0Dc0； a+b+c 0a-b+c 0b2-4ac0abc 0 ；其中正确的为（ ） ABCD4.当bbc，且abc0，则它的图象可能是图所示的( ) 6二次函数yax2bxc的图象如图5所示，那么abc，b24ac， 2ab，abc 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.二次函数y=ax2bxc与一次函数y=axc在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）8、在同

11、一坐标系中，函数y=ax2bx与y=的图象大致是图中的（ ） 9.已知抛物线yax2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论： a，b同号；当x1和x3时，函数值相同；4ab0;当y2时，x的值只能取0；其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3D411.已知二次函数yax2bxc经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线yaxbc不经过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限12、二次函数的图象如图，下列判断错误的是 （ ）ABCD第13题图 yxO1113、二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）Aa0Bc0C0D0 第四讲 二次函数的交点问题知识点：二次函数与x轴、

12、y轴的交点的求法：分别令y=0,x=0；二次函数与一次及反比例函数等的相交：联立两个函数表达式，解方程.例1、已知抛物线yx2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积例2、如图，直线经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x21的图象，在第一象限内相交于点C求：（1）AOC的面积；（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积例3、.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上

13、的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。例4、已知抛物线y=x2+x-（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长例5、已知抛物线y=mx2（32m）xm2（m0）与x轴有两个不同的交点（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P的坐标，并过P、Q、P三点，画出抛物线草图例6已知二次函数y=x2（m3）xm的图象是抛物线，如图2-8-10（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2（m3）xm=0的两个根均为负数？（3）

14、设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时MPQ的面积 训练题1抛物线y=a（x2）（x5）与x轴的交点坐标为2已知抛物线的对称轴是x=1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是6，则它的表达式为3若a0，b0，c0，0，那么抛物线y=ax2bxc经过象限4抛物线y=x22x3的顶点坐标是5若抛物线y=2x2（m3）xm7的对称轴是x=1，则m=6抛物线y=2x28xm与x轴只有一个交点，则m=7已知抛物线y=ax2bxc的系数有abc=0，则这条抛物线经过点8二次函数y=kx23x4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围9抛物线y=x22xa2的顶点在直线y=2上，则a的值

15、是10抛物线y=3x25x与两坐标轴交点的个数为（ ）A3个B2个C1个D无11如图1所示，函数y=ax2bxc的图象过（1，0），则的值是（ ）A3B3CD12已知二次函数y=ax2bxc的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）A01 B02 C12 D=113已知二次函数y=x2mxm2求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点14已知二次函数y=x22kxk2k2（1）当实数k为何值时，图象经过原点？（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？ 第五讲 函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1已知

16、二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。2已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC5，求该二次函数的解析式。例二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(xh)2+k求解。3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6），且经过点（2，8），求该二次函数的解析式。4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。例三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(xx1)(xx2)。5二次函数的图象经过A（1，0），B（3，0）

17、，函数有最小值8，求该二次函数的解析式。6抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（3，0），则该二次函数的解析式 。例4、 一次函数y=2x3，与二次函数y=ax2bxc的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？例5、 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用

18、图中的抛物线表示（1）写出图中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天） 训练题1若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。2抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（1,0）、（3,0），则b ，c .3若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，4)，则该二次函数的解析式 。4根据下列条件求关于x的二次函数的解析式（1

19、） 当x=3时，y最小值=1，且图象过（0，7）（2） 图象过点（0，2）（1，2）且对称轴为直线x=（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4） 当x=1时，y=0; x=0时,y= 2，x=2 时，y=3（5） 抛物线顶点坐标为（1，2）且通过点（1，10）5当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= 3，x2=1时，且与y轴交点为（0，2），求这个二次函数的解析式6已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。7知二次函数图象顶点坐标（3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。8已知二次

20、函数图象与x轴交点(2,0)， (1,0)与y轴交点是(0,1)求解析式及顶点坐标。9若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？10y= x2+2(k1)x+2kk2，它的图象经过原点，求解析式 与x轴交点O、A及顶点C组成的OAC面积。11抛物线y= (k22)x2+m4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= x+2上，求函数解析式。 第六讲 一元二次函数的应用例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场

21、平均每天可多售出2件（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？例2、.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在4070元之间市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式(注明范围)(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润售价进价)(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x40，70

22、时W的值在坐标系中画出函数图象的草图(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？例3、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少? 训练题：1、y=3x2-x2, 当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y有最大值2、周长为60cm的矩形，设其一边为xcm，则当x=_时，矩形面积最大，为_.3、若抛物线的对称轴是x=3，函数有最小值为8，且过（0,26），则其解析式为_.4、已知边长为4的正方形截去一

23、个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积5、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且。如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？6、如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体。（墙体的最大可用长度a=10米）

24、设AB=，长方形ABCD的面积为（1） 求S与x的函数关系式；（2） 如果要围成面积为45平方米更大的花圃，AB的长是多少米？（3） 能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。7、某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价40元，每年销售该产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系。（1） 求y关于x的函数关系式；（2） 试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年

25、总开支），当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3） 若公司希望这种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图像，请你帮助该公司确定销售单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大你认为销售单价应定为多少元？8、如图所示,在直角梯形ABCD中,A=D=90,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.（2）当x取何值时，四边形CGEF的面积S取得最小值 9、已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上， 分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DEC

26、F，设DE=x，DF=y.DCBFEA (1)用含y的代数式表示AE. (2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围.(3)设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值. 基础练习一一、填空题：1.二次函数y=x-2x+1的对称轴方程是x=_.2、对于二次函数 ，当x= _ 时，y有最小值，其值是 _ 。3、把抛物线 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的解析式为_。 4、抛物线 的开口向 _ ，对称轴是x= _ ，当x_ 时，y随 x的增大而减小。5、抛物线 的对称轴是直线 ，则a= _ 。6、抛物线 的顶点是（ ），则a= _，c= _ 。7、已知二次函数 的最小值为1

27、，那么m的值为_ .8、已知二次函数 ，当x5时，y随x增大而增大；当x0），再向左平移个单位，就得到第二条抛物线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 .13、若抛物线 与x轴有一个交点坐标是（1,0），则k= _ ，与x轴另一个交点坐标是_ 。14、抛物线 与x轴的两个交点为A，B，与y轴交点为C，则SABC_。 15、二交函数 的图象如右图所示，则a _ 0, b_ 0 ,c_ 0,b-4 a+b+c _ 0 16已知抛物线y=ax+bx+c经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_17、抛物线 与坐标轴有且只有

28、两个公共点，则m的值为_ 。18.已知直线与抛物线交点的横坐标为2，则k=_ ，交点坐标为 _ .19抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于 _ .二、选择题：1、设a0，则在同一平面直角坐标系中画出一次函数 和二次函数 的图象只可能是下图中的（ ）2、二次函数 的顶点在x轴上，则c的值为（ ）。 A4 B8 C-4 D163、无论k取何值时，二次函数 的图象的顶点所在直线是（ ）。 Ay=x By=-x Cy=ax Dy=kx4、若（2，5），（4，5）是抛物线 上的两点，那么它的对称轴方程是（ ）。 A B C D 5、与抛物线 关于x轴对称的抛物线的函数表达式是（ ）。 A B C D 、抛

29、物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（如图）与y轴相交于点C，如果OB=OC= OA,那么b的值为（）。 A. 2 B. 1 C. D. 、如果二次函数y=ax+bx+a（a0）的最大值是0，那么代数式 化简的结果是（）。 A. a B. 1 C. a D. 0、已知二次函数y=x+bx+c的图象的最高点是（1，3），则b与c的值是（）。 A. b=2 c=4 B. b=2 c=4 C. b=2 c=4 D. b=2 c=49.在抛物线上的点是（ ） A.（0，-1） B. C.（-1，5） D.（3，4）10.直线与抛物线的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合

30、的两个11.关于抛物线（a0），下面几点结论中，错误的是（ ）A.当a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，B. 当a0时，对称轴右边y随x的增大而增大，C.抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.D.只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.12若m,n是一元二次方程（a0）的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标. A.（m,0） B.(n,0) C. (-m,0),(-n,0) D. (m,0),(n,0)13.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-314.如果一次函数的图象如图13-3-12中A所示，那么二

31、次函-3的大致图象是（ ）15.若抛物线的对称轴是则（ ） A.2 B. C.4 D.16.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性质说得全对的是（ ）A.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交B.开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交C.开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交D.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交17.二次函数中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）18.函数与（a0）图象的顶点在（ ） A.y轴的负半轴上 B.y轴的正半轴上 C.x轴的负半轴上 D.x轴的正半轴上 A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=222、抛物线 与x轴的交点的个数是（ ）。 A. 0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个23、抛物线 全部在x轴上方的条件是（ ）。 A.a0 b-4ac0 B.a0 b-4ac0 C.a0 b-4ac0 D.a0 b-4ac024、已知抛物线 与x轴的两个交点在原点两侧，则实数m的取值范围是（ ） A.m1 B.m