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1、有限长单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法,FIR DF的设计方法,1 FIR DF的特点离散时间系统的相频特性线性相位FIR DF的特性窗口设计法,IIR DF的优缺点,优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。缺点：相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本也高。,1 FIR滤波器的特点,差分方程,系统函数,极、零点分布,在z=0处有N-1阶极点有N-1个零点,系统永远稳定。总是满足因果性：任何一个非因果的有限长序列总可以通过一定的延时，转变为因果序列。非递归结构，无反馈，运算误差小。容易获
2、得严格的线性相位。可以用FFT计算，提高运算效率。,1 FIR滤波器的特点,FIR滤波器突出的优点：稳定和线性相位特性。这是IIR系统不易实现的。,特 点,无法利用AF的设计结果，须借助计算机辅助设计程序完成主要方法：窗口设计法、频率采样设计法、等纹波逼近法等。,1 FIR滤波器的特点,设计方法,设计思路,理想Filter的频率响应：,寻找传递函数：,逼近,2 离散时间系统的相频响应,频率响应,幅频响应,相频响应,2 离散时间系统的相频响应,设,常数,h(n),x(n),y(n),无失真输出,2 离散时间系统的相频响应,更一般的形式,相位延迟,h(n),x(n),y(n),2 离散时间系统的相
3、频响应,为简单起见，假定,则有,定义,为系统的相位延迟(phase delay,PD),2 离散时间系统的相频响应,例：若,并令,那么,若再次令,而令,则输出,无失真输出,波形发生失真,2 离散时间系统的相频响应,系统相频特性对系统输出的影响,2 离散时间系统的相频响应,再定义,为系统的群延迟(group delay,GD),若系统具有线性相位，即,则群延迟为常数k。故：GD可作为相频响应是否线性的一种度量。GD也表示了系统的输出延迟。,3 线性相位FIR DF的特性,3.1 线性相位的条件3.2 线性相位FIR DF的幅度特性,3.1 线性相位的条件,定义：系统的相频特性是频率的线性函数。,
4、为常数,系统的群时延为：,FIR滤波器的频率响应为,条件：,满足该式的条件是,h(n)关于(N-1)/2偶对称,3.1 线性相位的条件,N为奇数,N为偶数,h(n)偶对称,另外一种情况是,线性相位的条件,h(n)关于(N-1)/2奇对称,3.1 线性相位的条件,h(n)奇对称,N为奇数,N为偶数,3.2 线性相位FIR DF的幅度特性,由于h(n)的长度N取奇数还是偶数，对H(w)的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称,N=奇数（2）h(n)=h(N-1-n),即h(n)为偶对称,N=偶数（3）h(n)
5、=-h(N-1-n),即h(n)为奇对称,N=奇数（4）h(n)=-h(N-1-n),即h(n)为奇对称,N=偶数,第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=奇数,令 则,可以表示成,第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=奇数,看出：cos(n)对于=0,2皆为偶对称，所以幅度函数H()也对=0,2皆为偶对称。且H(0)、H()、H(2)都不为零。所以从0 2范围内，无任何约束，可以设计任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻。,第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=奇数,n,对称中心,N=7,关于=0及=偶对称,可以设计任何一种滤波器,第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=
6、奇数,第二种情况h(n)=h(N-1-n)，N=偶数,令 则,将m再用n代替得到：,(3)此种情况不能设计高通和带阻滤波器。,(2)当 时，,即,H(z)在z=-1处必有一个零点。,(1)由于,奇对称，所以 对,也为奇对称,第二种情况h(n)=h(N-1-n)，N=偶数,n,对称中心,N=6,关于=0偶对称=奇对称，H()=0(总是),0,只能设计低通和带通滤波器,第二种情况h(n)=h(N-1-n)，N=偶数,第三种情况 h(n)=-h(N-1-n)，N=奇数,令 m=(N-1)/2-n，得,(1)sin(n)对于=0,2处皆为0即H()在=0,2处必为零。H(z)在z=1处都为零。(2)s
7、in(n)对=0,2呈奇对称形式,(3)此种情况不能设计低通、高通和带阻滤波器。,第三种情况 h(n)=-h(N-1-n)，N=奇数,n,对称中心,N=7,关于=0、=奇对称 H(0)=0、H()=0(总是),只能设计带通滤波器,第三种情况 h(n)=-h(N-1-n)，N=奇数,第四种情况h(n)=-h(N-1-n)，N=偶数,令 则,H()在=0,2处为零，即H(z)在z=1上有零点，并对=0,2呈奇对称。所以不能设计低通、带阻，可设计高通和带通。,n,对称中心,h(n)=-h(N-1-n)N=6偶数,关于=0奇对称、=偶对称H(0)=0(总是),只能设计带通、高通滤波器,第四种情况h(n
8、)=-h(N-1-n)，N=偶数,四种线性相位FIR滤波器,线性相位小结,第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。,3.3 小结,四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。,4 窗函数设计法(时域),4.1 设计思路4.2 矩形窗口法4.3 几种常用的窗函数4.4 实际设
9、计中的具体问题,4.1 设计思路,(1)先给定所要求设计的理想滤波器的频率响应Hd(ej).(2)设计一个可实现的FIR滤波器频率响应H(ej).(3)由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h(n)去逼近理想单位取样响应hd(n).,理想滤波器的频率响应Hd(ej),一般情况下，Hd(ej)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非因果序列。,4.1 设计思路,理想滤波器的频率响应Hd(ej),无限长非因果,4.1 设计思路,设计实际的FIR滤波器H(ejw),加窗,4.1 设计思路,逼近,设计步骤,4.1 设计思路,设计步骤,的三种计算方法,1)由定义,插值,3)
10、卷积,2)利用FFT,4.1 设计思路,4.2 矩形窗口法,以低通滤波器的设计为例：,为低通滤波器的延时,4.2 矩形窗口法,b.计算h(n),其中,c.计算,4.2 矩形窗口法,矩形窗的频谱,4.2 矩形窗口法,4.2 矩形窗口法,特殊点-1,4个特殊频率点看卷积结果,(a),一般情况下,H(0)可视为从 的 的全部面积。归一化为1,4.2 矩形窗口法,4个特殊频率点看卷积结果特殊点1,特殊点-2,(b),4.2 矩形窗口法,4个特殊频率点看卷积结果,4个特殊频率点看卷积结果特殊点2,特殊点-3,4.2 矩形窗口法,4个特殊频率点看卷积结果,4个特殊频率点看卷积结果特殊点3,特殊点-4,4个
11、特殊频率点看卷积结果,4.2 矩形窗口法,4个特殊频率点看卷积结果特殊点4,窗口函数对理想特性的影响,改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为,过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于WR()的旁瓣。,N增加，过渡带宽减小，肩峰值不变。,吉布斯（Gibbs）效应,N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变WR()的绝对值大小和起伏的密度。,4.2 矩形窗口法,实际设计时对窗函数的要求,窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带。相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中。,4.2 矩形窗口法,4.3 几种常用的窗函数,矩形窗(Rectangle Window)三角窗(Ba
12、rtlett Window)升余弦窗(汉宁窗Hanning Window)改进升余弦窗(哈明窗Haming Window)三阶升余弦窗(布莱克曼窗Blackman Window)凯泽窗(Kaiser Window),（1）矩形窗,时域：,频谱：,主瓣宽度：,第一旁瓣比主瓣低13dB,取N=10，矩形窗幅度谱,（1）矩形窗,（2）三角形窗（Bartlett),时域：,频谱：,主瓣宽度：,第一旁瓣比主瓣低26dB,Bartlett窗时域波形,幅度谱(N=21),（2）三角形窗（Bartlett),(3)升余弦窗（汉宁Hanning窗）,左移,右移,倒余弦,时域,旁瓣大大抵消，能量有效地集中在主瓣内
13、。代价：主瓣加宽一倍，可达到减少肩峰，余振，提高阻带衰减。缺点：过滤带加大。,(3)升余弦窗（汉宁Hanning窗）,主瓣宽度：,(3)升余弦窗（汉宁Hanning窗）,(4)改进的升余弦窗(哈明Hamming窗),主瓣宽度：,(4)改进的升余弦窗(哈明Hamming窗),(5)二阶升余弦窗(Blackman窗),主瓣宽度：,(5)二阶升余弦窗(Blackman窗),(6)凯泽窗（Kaiser窗）,全面地反映主瓣与旁瓣衰减之间的交换关系，可以在它们两者之间自由地选择它们的比重。,由零阶第一类贝塞尔函数组成：,其中,(6)凯泽窗（Kaiser窗）,一般I0(x)取1525项，便可满足精度要求；参
14、数可以控制窗的形状：加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为49;=5.44时，接近汉明窗；=7.865时，接近布莱克曼窗。,(6)凯泽窗（Kaiser窗）,各窗函数的时域波形,各窗函数的时域表示,各窗函数的频谱,各窗函数的包络波形和幅度谱比较,六种窗函数的基本参数,4.4 实际设计中的具体问题,FIR窗函数法的设计步骤,矩形窗的过渡带最窄，而阻带衰减最小，布莱克曼窗过渡带最宽，但换来的是阻带衰减加大。采用窗函数法，设计简单，方便，也实用。但要求用计算机，且边界频率不易控制。,参见教材P146：五步,hd(n)的计算,可用离散Fourier变换代替连续Fourier变换，求得近似值,当MN时，hM(n)hd(n),4.4 实际设计中的具体问题,例：设计一个截止频率为c=/3的延时=6的线性相位FIR 低通滤波器。,FIR,IIR和FIR滤波器的比较,IIR,设计方法,一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成,利用AF的成果，可简单、有效地完成设计,可得到幅频特性（可以多带）和线性相位（最大优点）,只能得到幅频特性，相频特性未知(一大缺点),极点全部在原点（永远稳定）无稳定性问题,有稳定性问题,高,低,非递归,递归系统,一般无反馈，运算误差小,有反馈，由于运算中的四舍五入会产生极限环,可用FFT实现，减少运算量,无快速运算方法,
