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1、钢结构稳定理论稳定性是钢结构的一个突出问题, 在各类钢结构的设计中, 都会遇到稳定问题, 稳定设计是钢结构设计的重要组成部分 。钢结构的稳定设计按照设计规范 的要求, 可进行合理的选材、正确的内力分析、完备的稳定验算和可靠的构造保证等。其实正确理解和应用钢结构稳定的基本概念、研究对象、稳定类型以及分析方法等对钢结构的稳定设计也是非常重要的。将这些内容称为概念设计, 并进行论述, 以利于钢结构的稳定设计。1 稳定的基本概念1. 1 对稳定概念的理解由于稳定问题是要找出作用与结构内部抵抗力之间的不稳定平衡状态, 即变形开始急剧增长的状态, 从而设法避免进
2、入该状态, 所以它是一个变形问题。要理解稳定是一个刚度问题, 就必须清楚强度、刚度和稳定的概念。强度表示结构中的材料或截面能够承受的最大应力或最大内力; 刚度表示抵抗变形的能力; 失稳表示结构不再能够以原来的平衡形式继续承受附加的荷载。在临界状态, 如果构件上的荷载哪怕有微小的增加, 平衡的性质就会发生转变, 即失稳, 甚至平衡的形状都会发生变化, 即屈曲。强度代表了截面的极限状态, 即截面的刚度达到了零, 表现为内力不增加, 变形可以增加很大。一个超静定结构, 如果某个截面形成塑性铰, 结构还有继续承受附加荷载的能力, 直至结构中形成足够多的塑性铰, 结构变成了机构, 结构才达到了强度极限状
3、态, 此时结构或构件的刚度也达到了为零的状态。失稳也代表了结构或构件的极限状态, 即结构不再继续承受荷载、抵抗进一步变形的能力, 刚度达到了零。所以稳定是一个刚度问题。实际上, 结构是分层次的, 刚度也是分层次的,每一层次结构都会发生失稳现象。在材料层次上,应力- 应变曲线上切线模量为零的点表示金属内部晶体结构不再能够保持原状, 通过滑移达到新的状态, 这代表微观状态的失稳, 所以材料层次的失稳是强度问题。而结构或构件层次上的失稳表示结构或构件不再能够承受附加的荷载, 代表了结构或构件的刚度为零 。1. 2 临界状态失稳意味着稳定平衡向不稳定平衡的转变而达到一个新的稳定的
4、平衡, 发生平衡形式转变的那个瞬时即为临界状态。其真正的含义是几何突变, 即在任意微小的外力干扰下结构的几何形状发生极大的改变。在撤除了这个任意微小的外力后, 结构并不能恢复到原来的几何形状。1. 3 平衡的性质平衡的性质就是平衡状态能否长期保持。平衡状态具有稳定的和不稳定的两种不同的性质。当平衡状态具有不稳定的性质时, 轻微的扰动就会使结构产生很大的变形而最后丧失承载力, 这种现象就是失去稳定性, 简称失稳。结构稳定理论中平衡的概念与物理学中的稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种状态具有相同的内涵。材料力学和结构力学主要研究结构处于平衡状态时的应力、内力和相应的变形。1.
5、 4失稳的突然性失稳破坏具有突然性, 具有典型的脆性破坏特征, 后果是非常严重的。2 稳定问题的分析方法稳定问题的分析方法多种多样, 从解的精确程度上讲, 有精确法和近似法; 从原理方面讲, 有静力法、能量法和动力法; 从分析阶段方面, 有弹性或线性分析和非线性分析。以下主要从原理方面论述稳定问题的分析方法。2. 1 静力法将根据结构的静力平衡条件建立平衡方程, 通过求解平衡方程进行稳定分析的方法称为静力法。静力法一般常用的有中性平衡法、转角位移法、结构矩阵位移法和假想荷载法等方法。1) 中性平衡法中性平衡法是求解结构稳定临界荷载的最基本的方法。对于
6、分枝点失稳, 由于在同一荷载即临界荷载作用下, 结构可能存在两种以上的平衡状态, 一个是原始平衡状态, 一个是已经有了微小变形的结构的平衡状态, 称为平衡状态的二重性, 这是分枝点失稳时临界状态的静力特征。中性平衡法就是根据已产生了微小变形后结构的受力条件建立平衡方程后求解的。中性平衡法尽管只能求解屈曲临界荷载, 不能判断结构平衡状态的稳定性, 但由于通常只需要得到结构的临界荷载, 所以经常采用中性平衡法, 况且, 在许多情况下, 采用中性平衡法可以获得精确解。2) 转角位移法转角位移法是求解刚架结构稳定的常用方法,是一种近似方法。该方法是以节点的转角位移和构件的相对侧移为未知量, 针对每个杆
7、件的每个端部写出转角位移方程, 再根据节点力矩平衡或构件平衡条件, 得到平衡方程, 进而得到稳定方程, 求解稳定方程即可得到临界荷载。3) 假想荷载法假想荷载法是研究薄壁构件稳定理论的一种有效方法。该方法是在微元上建立平衡微分方程, 得到变形后微元法线方向上假想面荷载分量, 从而得到薄壁构件弯曲屈曲平衡微分方程, 求解平衡微分方程即可。4) 有限单元法- 结构矩阵位移法将构件分为若干单元, 根据单元结点的位移和内力之间的对应关系, 每一个单元可建立一个方程式。然后, 应用结点平衡条件, 将各单元刚度矩阵联系起来, 构成一个整体刚度矩阵, 从而求得结点位移。再根据结点位移, 求得各构件端部内力。
8、鉴于分析过程是建立在结构力学的位移法的基础上, 所以又称为结构矩阵位移法, 还称为刚度矩阵法。2. 2 能量法可以将以通过求解结构变形曲线进行稳定分析的方法统称为能量法。该类方法的基本特征是通过假设位移函数逐步逼近结构的真实位移曲线, 然后得到结构总势能, 进行求解稳定问题。结构承受着保守力, 可以根据有了变形的结构的受力条件建立总势能, 总势能是结构的应变能和外力势能两项之和。如果结构处于平衡状态, 则总势能必有驻值。如果结构处于稳定平衡状态, 则总势能必有最小值, 即为最小势能原理。根据势能驻值原理, 由总势能对于位移的一阶变分为零, 可得到平衡方程, 再由平衡方程求
9、解得到临界荷载。按照小变形理论, 能量法一般只能获得临界荷载的近似解, 但是, 如果采用与实际变形形式一致的位移函数, 同样可以得到精确值, 所以, 能量法的精确程度主要取决于所假设的变形曲线与实际变形曲线的接近程度。能量法用于大挠度理论分析, 可以判断屈曲后的平衡状态, 如果总势能的二阶变分是正值, 则平衡状态是稳定的; 如果总势能的二阶变分是负值, 则平衡状态是不稳定的; 如果等于零, 还需求高阶变分,进行判断。基于能量法的方法很多, 可以分为直接法和间接法两大类。直接法是将含有无限多变量的泛函变分问题当作有限多变量的函数极值问题的极限情况来处理, 直接法中比较常用的方法有: 能量守恒原理
10、、势能驻值原理、瑞利里兹法、伽辽金法、有限差分法、有限积分法、有限单元法、最小二乘法等; 间接法是将变分问题通过欧拉方程转化为相应的平衡微分方程。1) 能量守恒原理保守体系处在平衡状态时, 储存于结构体系中的应变能等于外力所作的功, 这就是能量守恒原理。临界状态的能量关系为:U=W。2) 势能驻值原理势能驻值原理为受外力作用的结构, 当位移有微小变化而总势能不变, 即总势能有驻值时, 结构处于平衡状态。其表达式为:= 0,式中,为结构总势能的一阶变分, 有: =U+V =U-W =0。这样, 势能驻值原理还可以表述为: 弹性变形体对每一个和约束相容的虚位移, 其总势能的一阶
11、变分为零, 则该体系处于平衡状态。势能驻值原理与平衡方程式是等价的, 用该原理可以解决复杂结构的弹性稳定问题, 如很多结构很难直接建立平衡方程, 则可以先写出结构总势能, 然后利用= 0, 即可得到平衡微分方程。还可以先假定构件挠度曲线形状, 给出挠度曲线方程, 将其代入总势能, 通过= 0 解出临界荷载。若给出的挠度曲线方程仅满足几何边界条件,称求解临界荷载的方法为瑞利里兹法, 瑞利里兹法是将求解微分方程变为求解代数方程; 若给出的挠度曲线方程不仅满足几何边界条件, 而且满足力学边界条件, 则称为伽辽金法。伽辽金法是一种加权参数法, 也是一种应用虚位移原理的数值方法,是近似地求解微分方程的方
12、法。3) 有限差分法和有限积分法有限差分法是求解微分方程近似的数值方法,基本方法为: 将构件分成有限段, 用各阶差分公式近似代替各阶导数, 从而用有限个分段点上的函数值来表示各阶导数, 使微分方程转化为代数方程。有限积分法是把挠曲线上任意一点的原函数及各阶导数都用平衡方程中所具有的高阶导数的数值积分式来表示, 从而形成高阶导数的代数式。4) 有限单元法里兹法的应用将构件分为若干单元, 对每一单元采用试解函数来逼近真实位移, 而且将结点位移取为里兹法中试解函数的未知量, 代入总势能, 通过变分得到一组以结点位移为未知量的线性方程, 求解以后即可得到临界荷载。5) 以选择位移函数方法命名的方法待添
13、加的隐藏文字内容2对于能量法而言, 位移函数选择的合适与否直接决定着稳定问题分析的成败, 为此出现了很多选取位移函数的方法, 以选取位移函数的方法而命名的方法很多。最常见的有: 最小二乘法、样条函数方法、泡函数有限元法等。6) 缺陷法缺陷法认为: 完善而无缺陷的理想中心受压直杆不存在。由于缺陷的影响, 杆件开始受力时即产生变形, 其值要视缺陷程度而定。在一般条件下缺陷总是很小的, 变形并不显著。只有当荷载接近完善系统的临界值时, 变形才迅速增至很大。由此确定其失稳条件, 求解稳定问题。7) 样条有限点法样条有限点法是在有限元法与有限条法之间另辟的一条新路。利用样条离散化创立了一类变量、二类变量
14、及三类变量样条有限点法。该方法以B样条函数、正交函数及最小势能原理为基础, 位移函数由B 样条函数和正交函数的乘积的线性组合, 一个方向采用B 样条函数, 另一个方向采用正交函数, 总刚度矩阵利用最小势能原理建成。2. 3 本学期算例总结本学期在课堂上学习的计算稳定问题的方法主要为平衡法与能量法。以研究在均布荷载作用下两端铰接的压弯构件的挠曲线、最大挠度和最大弯矩为例。假定材料为完全弹性，弯矩作截面的一个对称轴平面内，曲率可用表示。在距左端x处截开取隔离体，截面内力矩，外弯矩，平衡方程为，令，则，再由，得通解为，由边界条件，得，在处有最大挠度，以带入，得,是均布荷载作用下的最大挠度。P引起的放大系数为，。S313027012 刘燕斐
