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1、Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-1,第6章正态分布,商务统计学(第5版),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-2,学习目标,在本章中你将学到：计算正态分布的概率使用正态分布图判定一组数据是否近似正态分布,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-3,连续概率分布,连续随机变量是可以取连续的任意值
2、的变量(可以假设有不可数的观察值数)某物的厚度完成任务所需要的时间溶液的温度以英寸计的高度其潜在的值仅取决于度量工具的精确跟准确度,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-4,正态分布,钟形 对称 平均数,中位数 和众数相等位置由均数,决定散布由标准差,决定随机变量理论上有无限的全距:+到,平均数=中位数=众数,X,f(X),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-5,正态分布的分布函数,正态分布的分
3、布函数公式为,Wheree=数学常数，大约为2.71828=数学常数，大约为3.14159=总体平均数=总体标准差X=连续变量的任何观测值,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-6,通过变动参数 和,我们得到不同的正态分布,各种正态分布,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-7,正态分布形态,X,f(X),改变 左或右移分布.,改变 增加或减少散布,Business Statistics:A Fi
4、rst Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-8,标准正态分布,任何正态分布(任何平均数和标准差的组合)都能够转换为标准正态分布(Z)需要将X转换为Z标准正态分布(Z)的平均数为0且标准差为1,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-9,转换成标准正态分布,通过将X减去平均数之后处于其标准差转换成标准正态分布(“Z”分布):,Z 分布的平均数=0 且标准差=1,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Pren
5、tice-Hall,Inc.,Chap 6-10,标准正态分布分布函数,标准正态分布分布函数公式为,Wheree=数学常数，大约为2.71828=数学常数，大约为3.14159Z=标准正态分布的任何观测值,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-11,标准 正态分布,也称为“Z”分布平均数 is 0标准差 is 1,Z,f(Z),0,1,平均数之上的观测值有正的Z-值,平均数之下的观测值有负的Z-值,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prenti
6、ce-Hall,Inc.,Chap 6-12,例子,如果X服从正态分布，平均数为100且标准差为50,对于 X=200 的Z值为这说明X=200在平均数100之上两个标准差(2个50).,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-13,比较X和Z单位,Z,100,2.0,0,200,X,注意分布形态是一样的，仅是坐标改变。我们可以将问题用原始单位(X)或标准单位(Z)表示。,(=100,=50),(=0,=1),Business Statistics:A First Course,5e 2009 P
7、rentice-Hall,Inc.,Chap 6-14,计算正态分布概率,a,b,X,f(X),P,a,X,b,(,),概率用曲线下面积来度量,P,a,X,b,(,),=,(注意任何单个观测值的概率为0),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-15,f(X),X,概率为曲线下面积,0.5,0.5,曲线下总面积为 1.0,且曲线是对称的,因此一般大于平均数,一半小于,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap
8、 6-16,标准正态分布表,教科书(附录表 E.2)上累计标准正态分布表给出了低于一个需要的Z值概率(也就是,从负无穷到Z),Z,0,2.00,0.9772,例子:P(Z 2.00)=0.9772,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-17,标准正态分布表,表中的值给出从Z=直到所需要的Z值的概率,.9772,2.0,P(Z 2.00)=0.9772,行显示到第一位小数的Z值,列给出到第二位小数的Z值,2.0,.,(续),Z 0.00 0.01 0.02 0.00.1,Business Stat
9、istics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-18,计算正态分布概率的一般步骤,画出问题所对应于X的正态分布曲线 将X值转换成Z值 使用标准正态分布表,计算P(a X b)，当X服从正态分布:,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-19,计算正态分布概率,令X表示从互联网上下载一张图片所需要的时间假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。计算P(X 8.6),X,8.6,8.0,Business Statistics:
10、A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-20,令X表示从互联网上下载一张图片所需要的时间假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。计算P(X 8.6),Z,0.12,0,X,8.6,8,=8=10,=0=1,(续),计算正态分布概率,P(X 8.6),P(Z 0.12),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-21,Z,0.12,Z,.00,.01,0.0,.5000,.5040,.5080,.5398,.5438,0.2,.5
11、793,.5832,.5871,0.3,.6179,.6217,.6255,结论:计算 P(Z 0.12),.5478,.02,0.1,.5478,标准正态分布表(部分),0.00,=P(Z 0.12),P(X 8.6),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-22,计算正态分布右侧概率,假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。现在计算P(X 8.6),X,8.6,8.0,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall
12、,Inc.,Chap 6-23,现在计算 P(X 8.6),(续),Z,0.12,0,Z,0.12,0.5478,0,1.000,1.0-0.5478=0.4522,P(X 8.6)=P(Z 0.12)=1.0-P(Z 0.12)=1.0-0.5478=0.4522,计算正态分布右侧概率,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-24,计算两个值之间的正态分布概率,假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。计算 P(8 X 8.6),P(8 X 8.6)=P(0 Z 0.12),Z,0.
13、12,0,X,8.6,8,计算Z值:,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-25,Z,0.12,结论:计算 P(0 Z 0.12),0.0478,0.00,=P(0 Z 0.12),P(8 X 8.6),=P(Z 0.12)P(Z 0),=0.5478-.5000=0.0478,0.5000,Z,.00,.01,0.0,.5000,.5040,.5080,.5398,.5438,0.2,.5793,.5832,.5871,0.3,.6179,.6217,.6255,.02,0.1,.5478,标
14、准正态分布表(部分),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-26,假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。现在计算 P(7.4 X 8),X,7.4,8.0,左半部分概率,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-27,左半部分概率,现在计算 P(7.4 X 8),X,7.4,8.0,P(7.4 X 8)=P(-0.12 Z 0)=P(Z 0)P(Z-0.12)=0.5000-0.452
15、2=0.0478,(续),0.0478,0.4522,Z,-0.12,0,正态分布是对称的,所有此概率 与P(0 Z 0.12)相同,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-28,经验法则,1 包括了大约68.26%的X值,f(X),X,+1,-1,对于任何正态分布，观测值在平均数周围的如何分布?,68.26%,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-29,经验法则,2 包括了大约95%of X值 3
16、 包括了大约99.7%of X值,x,2,2,x,3,3,95.44%,99.73%,(续),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-30,对于已知概率计算 X值的步骤:1.计算已知概率的Z值2.使用公式转换为X单位:,给定正态分布概率计算X值,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-31,给定正态分布概率计算X值,例子:令X表示从互联网上下载一张图片所需要的时间（以秒计）假设X服从正态分布，平均数
17、8.0 且标准差 5.0。20%的下载时间小于X，计算 X。,X,?,8.0,0.2000,Z,?,0,(续),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-32,计算左侧20%的Z值,左侧20%面积有着固定的Z值-0.84,Z,.03,-0.9,.1762,.1736,.2033,-0.7,.2327,.2296,.04,-0.8,.2005,标准正态分布表(部分),.05,.1711,.1977,.2266,X,?,8.0,0.2000,Z,-0.84,0,1.计算已知概率的Z值,Business
18、Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-33,2.使用公式转换为X单位:,计算X值,因此对于平均数 8.0 且标准差 5.0的分布，20%的观测值小于3.80。,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-34,判断正态分布,不是所有的连续分布都是正态分布评价数据集多大程度上近似于正态分布是重要的正态分布数据应该满足正态分布条件:正态分布是钟形(对称)，其平均数等于中位数 经验法则应用于正态分布正态分布的四分位间距是1.3
19、3 标准差,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-35,判断正态分布,比较数据特征是否符合正态分布特性构建图表对于较少或规模较小的数据集，构建茎叶图或盒须图来检查对称性对于较大数据集，直方图或多边形图是否是钟形?计算描述性度量平均数,中位数 和众数是否有着类似的值?四分位间距是否大约 是1.33?全距是否大约是6?,(续),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-36,判断正态分布,比较数据特征是否
20、符合正态分布特性 观察数据集的分布是否近似2/3的观测值位于平均数 1 标准差?是否近似80%的观测值位于平均数 1.28 标准差?是否近似95%的观测值位于平均数 2 标准差?判断正态分布图正态分布图是否近似与线性(也就是一条直线)且斜率为正?,(续),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-37,构建正态分布图,正态分布图将数据组织成有序数组计算相应标准正态分布数值(Z)将观测值(X)放在垂直轴上，标准正态分布数值(Z)放在水平轴上，画出图形判断图形是否是线性的,Business Statis
21、tics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-38,正态分布数据的正态分布图是近似线性的:,30,60,90,-2,-1,0,1,2,Z,X,正态分布图解读,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-39,正态分布图解读,左偏,右偏,矩形,30,60,90,-2,-1,0,1,2,Z,X,(续),30,60,90,-2,-1,0,1,2,Z,X,30,60,90,-2,-1,0,1,2,Z,X,非线性的图形意味着与正态分布的偏离,Busi
22、ness Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-40,正态分布图解读例子:共同基金回报,盒须图显示是对称的,有四个小的异常值在-9.0,-8.0,-8.0,-6.5 一个较大的异常值在35.0.(正态分布是对称的.),2006年回报的盒须图,2006年回报,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-41,正态分布图解读 例子:共同基金回报,描述性统计量,(续),平均数(12.5142)略微小于中位数(13.1).(正态
23、分布中平均数 和中位数是相等的.)四分位间距9.2大约是1.46 标准差.(正态分布中四分位间距是1.33 标准差.)全距44 等于6.99 标准差.(正态分布中全距是6 标准差.)72.2%的观测值位于平均数的1个标准差之内。(正态分布中该百分比是 68.26%）.87%的观测值位于平均数的1.28个标准差之内。(正态分布中该百分比是80%.),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-42,正态分布图解读 例子:共同基金回报,(续),图形大致是直线，除了在两端有一些异常值。,Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-43,正态分布图解读 例子:共同基金回报,结论回报略微左偏回报与预期相比平均数附近集中了更多的观测值全距比预期的大一些(在35.0的异常值导致的)正态分布图形基本是条直线整体而言，这数据集与正态分布没有多大的差异,(续),Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.,Chap 6-44,小结,呈现了正态分布计算正态分布的概率应用正态分布解决问题,
