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1、第四章 正态分布,正态分布是最常见因而也是最重要的分布:,1.很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；,近似计算；,和近似地服从正态分布；,4.数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导,得到的.,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,1 正态分布的概率密度与分布函数,定义.,分布(或高斯分布).,记作：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,正态分布的定义,记为：,分布曲线的特征：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,正态分布的概率密度与分布函数,其形状.,曲线的形状与一尖塔相似；,曲线将趋于平坦.,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,标准正态分布的
2、概率密度：,标准正态分布的分布函数：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,的性质：,例1.,求,解：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,定理.,证：,则,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,正态分布的概率计算,例2.,求概率,解：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,例3.,这里,解：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,查附表2得,说明：,若,则,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,，,根据小概率事件的实际不可能性原理，,通常把区间,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,区间.,例4.,解：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,求随,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,4.
3、1 正态分布的概率密度与分布函数,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,小 结,3.标准正态分布分布函数的性质：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,思考题,测量到某一目标的距离时发生的随机误差,具有概率密度,的概率.,解：,正态分布,于是,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过,按题意，,1.,所以，,在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过,的概率,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,求这种机械零件的不合格品率.,解：,则,按题意，,不合格品率为,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,2.,3.若随机变量,且,则,解：,已知,则有,4.1 正态
4、分布的概率密度与分布函数,由此可得,答：应填0.2.,定理1.,证：,4.2 正态分布的数字特征,因为,所以,2 正态分布的数字特征,4.2 正态分布的数字特征,利用分部积分法计算积分,所以，,4.2 正态分布的数字特征,参数 是该分布的标准差.,正态分布的概率密度完全由数学期望和方差决定.,正态分布的参数 是该分布的数学期望,另一个,定理2.,证：,4.2 正态分布的数字特征,4.2 正态分布的数字特征,例1.,的数学期望与方差.,解：,所以，,4.2 正态分布的数字特征,4.2 正态分布的数字特征,于是,4.2 正态分布的数字特征,小 结,思考题,方差为,解：,的概率密度可以写为,4.2
5、正态分布的数字特征,由此可知，,于是有，,1.,设随机变量,求随机变量函数,的概率密度、数学期望与方差.,解：,已知,4.2 正态分布的数字特征,2.,4.2 正态分布的数字特征,不妨定义,下面求 的数学期望和方差：,4.2 正态分布的数字特征,又,置换积分变量,得,所以，,的方差,4.2 正态分布的数字特征,定义.,记作,4.3 二维正态分布,3.二维正态分布,4.3 二维正态分布,定理1.,都有,证：,的边缘概率密度,分布，,4.3 二维正态分布,其中,设,则,由此可得，,同理，,4.3 二维正态分布,由定理1可知：,化为二次积分，得,4.3 二维正态分布,设,则得,其中,定理2.,证：,
6、4.3 二维正态分布,所以,定理3.,独立的充要条件是,证：,必要性：,则,充分性：,则二维正态分布的联合密度可化为：,4.3 二维正态分布,所以,随机变量 与 相互独立.,例1.,都服从标准正态分,布,解：,且已知,所以，,4.3 二维正态分布,4.3 二维正态分布,显然有,4.3 二维正态分布,此分布称为自由度为2的 分布.,已知,解：,已知,4.3 二维正态分布,4.3 二维正态分布,例3.,解：,4.3 二维正态分布,利用广义,4.3 二维正态分布,定理1.,则,证：,的分布函数为,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,所以,4.正态随机变量的线性函数的分布,定理1表明：,4.4 正态
7、随机变量的线性函数的分布,推论:,则标准化的,随机变量,定理2.,并且都服从正态分布：,则它们的和也服从正态分布，,且有,证：,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,其中,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,不难计算积分得,于是,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,定理2表明：,独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.,定理3.,且都,服从正态分布：,且有,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,由定理1及定理2 还可得下面更一般的结论.,则它们,标准差为,试求随机,解：,且,所以,又因为随机变量,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,例1.设随机变量,无实根的概率为,则,解：,即,按题意,有
8、,即,已知,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,从而，,因为,所以应有,由此得,所以,的随机变量，,期望,设,由正态随机变量的线性性质知,解:,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,且服从相同的分布,例3.,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,故，,的分布,除了若干例外,一般很难求出.,问题：能否利用极限的方法进行近似处理？,在很一般条件下,和的极限分布就是正态分布.,在一定条件下,大量独立随机变量的和的极限分布,为正态分布的一系列定理统称为中心极限定理.,4.5 中心极限定理,5 中心极限定理,定理1.,（林德伯格定理）,设独立随机变量,满足林德伯格,4.5 中心极限定理,条件：,对任何
9、实数 有,其中,由林德伯格定理可知：,假设被研究的随机变量可以表示为大量随机变量的和,其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用,则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的.,4.5 中心极限定理,其中，,定理2.,并且数学期望和方差都存在：,它们的和的极限分布是正态分布：,4.5 中心极限定理,（列维定理）,由列维定理可得如下的近似公式：,设 独立同分布，,4.5 中心极限定理,推论:,例1.,解：,则,并且有,计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量,并且都在区间 上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率.,于
10、是所求的概率为,4.5 中心极限定理,例2.,对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其期望值为2,方差为1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率？,解：,4.5 中心极限定理,4.5 中心极限定理,定理3.,（棣莫弗-拉普拉斯定理）,设在独立试验序列中，,事件 在各次试验中发生的,概率为,中发生的次数，,则有,其中,是任何实数，,4.5 中心极限定理,由定理可以推知：,设在独立试验序列中，,事件,大时，,之间的概率为,其中,4.5 中心极限定理,4.5 中心极限定理,说明：,(1),当 充分大时，,在第二章中，,泊松分布是二项分布的极限分布，,且有近似计算公式,(2),现在由定理3知，,正态分布是二项分布的极限分布，,且有相应的近似计算公式.,两者应用场合不同:,逼近；,林德伯格定理,列维定理,棣莫弗-拉普拉斯定理,2 两个近似计算公式,(1),独立同分布，,4.5 中心极限定理,小 结,1 三个定理,4.5 中心极限定理,(2),其中,则,
