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1、信号的采样和重建,一版1.2节二版第二章,一、数字信号处理系统的模拟接口,D/A输出,模拟滤波输出,二、模拟信号采样与重建,对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。研究内容：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件 采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。,1.采样过程,采样器一般由电子开关组成，开关每隔秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。,模拟信号的采样和重建,连续时间信号的采样,采样器,例如分两步：,如开关每次闭合秒，则采样
2、器的输出是一串重复周期为T，宽度为的脉冲，(如图)脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为 一般很小,越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。,2.理想采样,开关闭合时间0时，为理想采样。特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我们用M(t)表示这个冲激载波，,则有,实际情况下，0达不到，但T时，实际采样接近
3、理想采样，理想采样可看作是实际采样物理过程的抽象，便于数学描述，可集中反映采样过程的所有本质特性，理想采样对Z变换分析相当重要。,3、采样信号的频谱,所以,所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为s(采样频率)。,因此有，,无混叠,有混叠,如果信号最高频谱超过s/2,那么在理想采样频谱中,各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的“混淆”现象,为简明起见,图中将xa(j)作为标量处理,一般xa(j)为复数,交叠也是复数相加。当出现频谱混淆后,一般就不可能无失真地滤出基带频谱,用基带滤波恢复出来的信号就要失真。,混叠？,奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须
4、大于信号最高频率的两倍。s2max实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率 max更大些，如s(35)max。同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入。,3）归一化数字角频率=T=/fs s=sT=2,数字频率归一化,X(ejw)是将 做一个频率尺度变换，=T,这种尺度变换也可以看做是一种频率轴的归一化，=s归一化到X(ejw)的=2.时域T,频域fs=1/T,4采样的恢复（恢复模拟信号）,如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率 则理想采
5、样的频谱就不会产生混叠，因此有 S/2 将采样信号 通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图,采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：也就恢复了模拟信号：y(t)=xa(t)实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。,G(j)g(t),G(j),T xa(t)y(t)=xa(t),0 S/2,讨论采样信号 通过理想低通滤波器G（j）的响应过程。理想低通G（j）的冲激响应为,频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为,这里，g(t-nT)称为内插函数,特点：在采样点nT上，函数值
6、为1，其余采样点上，值为零。,内插公式表明，连续函数xa（t）可以由它的采样值xa（nT）来表示，它等于xa（nT）乘上对应的内插函数的总和，如图1.7所示。,在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。内插公式的意义:证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息奈奎斯特定律。,Examples,选学内容,三、采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性四、连续时间带通信号的采样,滤波器幅频特性,三,四 带通信号采样,带通信号由低通信号调制而成选择
7、采样频率-大量频率分量为零，有时频高而无法实现；欠采样保证仅与零分量频带混叠扩展重建,五、离散时间信号的采样和插值,在实际应用中，各系统之间的采样率往往是不同的，例如，在音频范围内，广播系统的采样率为32kHz，CD唱机的采样率为44.1kHz，而数字录音带（DAT）的采样率为48kHz。这就需要设计一类数字滤波器，用于将被处理信号的采样率转换成与相应系统所要求一致的采样率。多采样率技术还有许多其他的应用，过采样技术是其中的一个典型应用实例。,几个例子：一个数字电话系统，通过该系统传输的既有语音信号，也有传真（FAX）信号，甚至有视频信号，这些信号的频率成分相差甚远。因此，该系统应具有多种抽样
8、频率并自动地完成采样率的转换；对低采样率的信号进行精确的时间对准或时间估计时，需要进行升采样率处理，对高采样率的信号进行局部频段的精确频谱分析时，常采用降采样率处理，在时空信号处理时，常进行升采样率和降采样率混合处理；,当需要将数字信号与一些特殊系统的时钟同步时，可能需要进行采样率的转换；对非平稳随机信号（如语音）作谱分析或编码时，对不同的信号段可根据其频率成分的不同而采用不同的采样率，达到既满足抽样定理又最大限度地减少数据量的目的。以上几个例子都需要能对采样率进行转换，或要求数字系统工作在多采样率状态。所以，建立在采样率转换理论基础上的“多采样率数字信号处理”已成为数字信号处理这一学科中的重
9、要内容。,主要讨论第三种方法,在“数字域”作采样率转换的方法。减少采样率以去掉多余数据的过程称为信号的“抽取”，增加采样率以增加数据的过程称为信号的“插值”。本节所涉及的内容也是语音及图象数据压缩的新技术子带编码（subband coding）的重要理论基础。,采样率降低整数倍抽取,图 信号抽取示意图，M=3，横坐标为抽样点数（a）原信号x(n)；（b）中间信号x(n)；（c）抽取后的信号y(n),X(n)的DTFT呈现周期性，ws=2pi,那么抽取后的信号DTFT呈现什么变化？,定义信号则因此,式中：,Z在单位圆上取值，可得DTFT:,对信号抽取后，M个频段信号混叠在一起。,这样，是原信号频
10、谱 先作M倍的扩展再在 轴上每隔 的移位叠加,X(w),如果信号X(ejw)满足则抽取后信号无混叠，否则将混叠失真,M2,频谱不同：频率尺度不同抽取后，频谱带宽展宽,原带限信号傅里叶变换,T采样后信号冲激串傅里叶变换,T采样后信号序列DTFT,对信号序列M抽取后的频谱,M3有混迭产生,续上页用滤波防混迭,抽取后对频域的影响,降采样处理的频谱变化过程,抽取应用,采样率提高整数倍内插,新的采样率：,内插信号：,单位圆上取值，可得到：,因为,的周期为,，所以,的周期为,。上式说明，,在,内等于,相当于将,作了周期压缩。,为恢复基带信号并去除不需要的镜像分量，需要进行低通滤波：,插零后再作低通滤波,信号的插值过程及频谱变化,如要求y(0)=x(0)，则应有G=L，即对理想的内插器要求能恢复抽取前的信号，增益必须等于。,在这个算式中，因省略了大量对内插的零的运算，从而可提高运算效率。,抽取和插值相结合：采样率变换一个有理因数L/M,插值和抽取的级联实现（a）使用2个低通滤波器（b）使用1个低通滤波器,多采样系统问题:低通滤波的指标如何确定?,
