《模糊数学》教案简稿.doc

《《模糊数学》教案简稿.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《模糊数学》教案简稿.doc（62页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、 模糊数学教案郭 嗣 琮辽宁工程技术大学理学院2008年3月信息与计算科学专业模糊数学教案郭 嗣 琮教学参考书：1、郭嗣琮、陈刚著，信息科学中的软计算方法，东北大学出版社，20012、郭嗣琮著，基于模糊结构元理论的模糊分析数学原理，东北大学出版社，20043、陈世权，郭嗣琮著，模糊预测，贵州科技出版社，1994 说明：本课程讲授的内容部分是模糊数学已有的成果，而大部分是本人的研究工作成果，因此没有系统的教材，讲授的内容大部分包含在上述两本著作1和2中,某些应用例子在3中。绪 论本章节教学的目的本章作为学习模糊数学知识的引言，主要任务是说明为什么数学要研究模糊性，模糊性的本质是什么，如何产生的，

2、以及模糊数学发展的过程及其在信息科学中的作用、意义。计划学时：2本章节的教学内容1、自然科学中的两种不确定性早在17世纪人们就开始对自然界中广泛存在的随机性进行研究，并逐步形成了概率论与数理统计学科。今天，它已经成为众多应用数学方法的重要基础，被广泛的应用于经济科学、军事科学、医疗科学、灾害预测与防止、管理科学、信息科学等方面。随着人们对科学研究的不断深入，尤其是信息科学与技术的研究，一种新的不确定性使得人们无法回避，那就是模糊性，非结构性问题常常要涉及到自然语言信息的模糊性的处理。什么是模糊性，它与随机性的区别？随机性因事物因果关系的破缺引起的不确定性（多维空间事物到低维空间的把握）。模糊性

3、排中律的破缺引起的不确定性（描述事物的分类粗糙，分类是人类认识事物的基本手段）。模糊性问题的几个例子： 计算机模式识别问题（根据相貌特征识别人、汉字的识别、歌曲与艺术欣赏评价）； 智能控制问题（汽车停靠问题、搬运物体问题）； 机器学习问题（学习骑自行车、解题证明问题） 语言理解（秃子悖论，在专业概论中已经介绍过）；。2、Zadeh的互斥性原理及意义互斥原理：“随着系统复杂性的增长，我们对其特性作出精确而有意义的描述能力相应的降低，直到达到一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义性几乎成为两个互相排斥的特征”互斥原理的意义：通过举例说明，如气象预报精确到多少雨滴，温度精确到小数几十位等是无意义的；国

4、际一年的经济统计，精确到几分钱；矿山岩石系统、采矿通风系统研究等。3、模糊数学发展的历史与作用 1965年，美国著名控制论专家L. A. Zadeh教授在国际信息与控制杂志上发表了模糊集合（Fuzzy Sets）的论文，首次提出了模糊集合概念。1976年，中国文化大革命运动结束，模糊集合理论被介绍到中国。模糊集合论在中国的发展过程。84年中美高峰会议，Zadeh教授的评价。1987年，日本模糊产品的商业化。介绍机理模糊产品（模糊洗衣机，模糊空调，模糊电视机、模糊点钞机、模糊复印机、模糊电话机）；模糊工程（美国的航天飞机对接技术，中国列车提速的控制、德国无人驾驶驱车的停靠、日本仙台地铁的自动控制

5、、英国交通岗红绿灯智能控制等等）。模糊数学发展现状：形成分支（非经典集合论、模糊代数、模糊测度、模糊拓扑、模糊逻辑、模糊分析）。应用主要限于模糊代数、文法和模糊逻辑。模糊分析与应用还有较大差距，这正是我们目前的工作。在该课程教学中，我们除了介绍模糊集合论及其应用以外，要用一定的篇幅介绍我们自己目前在模糊值函数分析学表述理论及其应用上所做的工作。第一章 模糊集与运算本章节教学的目的本章简要回顾经典集合的一些基本知识，着重强调在信息技术中集合如何表现概念。同时给出模糊集合的定义、模糊集合的运算与性质。 计划学时：4本章节的教学内容11 集合与概念自然语言是人类表达和交流思想的一种工具，语言交流本质

6、上是概念的交流。智能信息处理技术研究的一项重要任务是如何使计算机理解人的自然语言。内涵概念对事物的特有属性的反映。概念 外延具有概念所反映的特有属性的那些事物的全体。内涵与外延都可以表现概念。概念的外延是一个集合，所以，集合可以表现概念。【例子】12 经典集合论回顾 集合与论域、空集、幂集P（X）； 元素与集合的关系； 集合的运算与概念的复合； 集合的特征函数，集合运算的特征函数。论域X上的子集合A可以由其特征函数 唯一确定。指明了X中的每个元素x与A的关系。在这里, 0和1代表“是”和“非”的判断。1说明对象x满足概念A; 如果0, 说明对象x不满足概念A. 设P（X）, 定义 A = B

7、= xX A B xX = xX = xX = 1 - xX 这里，和分别表示AB, AB和AC(A的余集)的特征函数，此处“”表示上确界，“”表示下确界，对 a,b0,1,有 a b = sup a, b, a b = inf a, b. 集合运算性质 由离散数学熟知，集合的并、交、余运算具有如下性质： 1) 幂等律 2) 交换律 3) 结合律4) 吸收律 5) 分配律 6) 0 -1律 7) 补余律 8) 复原律 9) 对偶律 （见书）（集合代数，布尔代数，(P (X), c) 与 (0,1, , c) 同构, 逻辑运算的电子实现）13 模糊概念与模糊集“秃子悖论”-模糊概念的外延不明确，

8、不能简单地用“是”和“非”的二值逻辑来判断对象与概念的关系。一个很自然的方法是将元素对集合的隶属程度从0，1两种情况扩展到0，1实数区间无穷多值的情况。（1）、模糊集合的定义定义1 论域X上的模糊子集A是由映射 ：X 0,1; x所确定，映射称为A的隶属函数，(x) 0,1表示元素x属于A的程度，或称x对A的隶属度。 用、等表示模糊集合，相应的隶属函数记为.明确集合是模糊集合的特例，模糊集合是经典明确集合的拓广。1100XXA图1 经典集合的特征函数（a）和模糊集合的隶属函数（b）(a)(b) F(X)表示论域X上的全体模糊集合，称为X的模糊幂集。由于经典集合是模糊集合的特例，因而有P (X)

9、 F (X). 若是空集，X, 有；就论域X而言，对于所有的X, 自然有. （2）、模糊集合的表示方法设论域，是论域X上的模糊集。) Zadeh 表示法）有序对表示法 ) 向量表示法对于论域是连续实数区间时，表示模糊集合的有效方法就是写出其隶属函数。例1 以年龄作为论域X = 0, 100, “年轻”是一个模糊概念，它可以表示为论域X上的模糊集，记作，其隶属函数可以定义为 模糊概念“年老”也可以表示为X上的模糊集,其隶属函数可以表示为模糊集和的隶属函数曲线如图2所示.255075X10“年轻”“年老”图2概念“年轻”与“年老”对应模糊集的隶属函数1010009001100X图3 “大约1000

10、”模糊集的隶属函数例2 设X是所有实数，设模糊集的隶属函数为则表示为“大约1000”这个模糊概念, 其隶属函数的图形如图3所示。在模糊分析学中称“大约1000元”、“20公里左右”、“差不多有30来斤”这样表达的数字为模糊数。模糊数是模糊值函数分析学中重点研究的对象。14 模糊集合的运算与性质经典集合可以由特征函数唯一的确定，反之亦然。 模糊集运算定义的原则模糊集与经典集间存在着拓广和特例的关系，即当隶属函数的值域从0, 1蜕化到0, 1时, 模糊集合蜕化为普通集合。所以，模糊集合的并、交、余运算必须满足当隶属函数仅取0，1两值时，其定义与普通集合运算定义是一致的。 Zadeh给出的运算定义直

11、接利用了经典集合运算特征函数表达式的定义，只是将特征函数替换成隶属函数。定义1.2 设,是论域X的模糊子集,隶属函数分别为和，则模糊集合的相等、包含关系及并集、交集、余集表示为 = = xX xX = xX = xX = 1 - xX 图4. 模糊集合的并集、交集、余集的隶属函数曲线模糊集合的并集、交集和余集的隶属函数曲线如图4中阴影部分上面曲线所示。 模糊集运算的扩充Zadeh 给出的关于模糊集并、交、余运算的定义是直接从经典集合运算移植过来的，它保证了当模糊集蜕化成经典集合时定义的合理性。事实上，满足这种扩充原则的定义不是唯一的。例如，, F (X), 定义并集和交集AB, AB的隶属函数

12、如下： xX xX 称上述定义的一对运算为“概率算子”。称定义1.2中的运算为“最大最小”算子。 模糊集运算的性质不难验证，模糊集合的并、交、余运算除了经典几何运算性质“补余律”不成立，即，对于F (X)，一般有 X, 其他性质均成立。第二章 分解定理与表现定理本章节教学的目的分解定理和表现定理从某个角度上揭示了模糊集合与经典集合之间的关系，进而提供了利用经典集合来构造模糊集合的可能性。本章重点介绍模糊集合的分解定理和表现定理。计划学时：4本章节的教学内容21 模糊集合的分解定理（1）、模糊集合的l- 截集0XA图1. 模糊集合A的截集定义1 设F (X),l0,1, 记Al =xxX,l 称

13、Al为的l-截集,l为置信水平。是X上的明确子集。 对于F (X), 集合A1为的核，记为ker.的承集Supp. （2）、l- 截集性质, F (X), l0,1, 模糊集合的l-截集和l-强截集与模糊集合的运算具有如下性质：性质1 =,=上述性质对任意可列个或有限个模糊集运算均成立。性质2 .定理1 （分解定理） 设AP (X)，0，1，定义X上的模糊集* A，其隶属函数为 对于F（X），有如下的分解形式， 按图2解释,不作证明. 如图2, 模糊集合可由唯一确定。图2.XX上述分解定理的基本形式是由Zadeh给出的，在进一步讨论模糊函数的结构时，Zadeh给出的分解定理有一定的局限性，因此

14、，这里给出了模糊集合分解定理的另一种新的表达形式。(3 )、分解定理的新形式考虑一种特殊情况，取集合为论域X上的单点集A = , xX，称=* 为论域X上的模糊点，其中0，1。有 x , yX (1 )设F（X），对于给定的点X关于模糊集的隶属度为。考虑处的模糊点=*，并取=，则称此模糊点为由模糊集限定的模糊点。事实上，= .易知，因此，对于xX，有 (2 )定理2 （分解定理） 设F（X），具有隶属函数，则有 = (3 ) 由式(2 )，定理是明显的。这个分解形式是相当直观。由于把相互具有重合部分的一族集合的并替换成一族孤立的模糊点的并，使得利用分解定理研究或表述某些问题更加直观和简单。22

15、 模糊集合的表现定理分解定理说明一个模糊集可以被表示为一族普通集合的并，并且满足时，.由分解定理自然会想到，利用X上的集合套是否可以表示一个模糊集合？表现定理是模糊集合论又一个非常重要的定理，它从另一角度来揭示模糊集合与经典集合的关系。 定义2 设集值映射 H ：0,1P(X); H()若H具有性质: H() H() , 则称H为X上的集合套。定理3 (表现定理) 设H是X中的任何一个集合套,则 * H() 是X上的一个模糊集, 记为, 并且对0,1，有 H(), 证明：略。表现定理的意义是: X上任给一个集合套都可以拼成一个模糊集。表现定理在理论上解释了模糊集与区间集的关系，说明模糊的对象可

16、以由一系列赋予某种可能性度量的精确对象来表述。下面讨论表现定理的应用问题。 概率统计中的参数模糊区间估计在数理统计中，参数的区间估计问题被描述为：设总体的分布函数含有一个未知参数.又设是取自总体的一个简单样本。对于给定值，若由样本确定的两个统计量和 满足则称随机区间为参数的置信度为的置信区间。 例如，如果总体服从正态分布,即，其中已知，未知，则的置信度为的置信区间为 . 从上面简单的例子可以看出，当时，也就是说，若置信度,则相应的置信区间为整个实数区域；当时，由(1.24)看出，若置信度,则相应的置信区间为收敛为点.这里为样本的算术平均值. 对于一般情况，设参数的置信度为的置信区间为，若，有.

17、若记置信区间为H(),于是具有性质: H() H() , 则H()为上的集合套。由表现定理，我们记=H().称其为参数的模糊置信区间。同时容易证明，是一个模糊数（模糊数的定义将在后面介绍）。第三章 模糊集合度量与模糊模式识别本章节教学的目的本章首先介绍模糊集合的度量，其中重点介绍模糊集合的贴近度。在此基础上介绍模糊模式识别技术，包括，模糊模式识别的最大隶属度原则和贴近原则，以及基于自然语言模式和基于统计模式的模式识别技术。计划学时：6本章节的教学内容31 模糊集合的度量（1）、模糊集合的模糊度（此段非重点）定义1 设论域为X，若映射 D: F（X）0，1满足条件（s1）D () = 0, 当且

18、仅当 P（X）；（s2）(s3) 若X,或,则；（s4） ,则称为模糊集的模糊度。关于模糊度的定义很多，同学们简单地看一下软计算书14页给出的距离模糊度和模糊熵。并希望同学们能够自己构造出一些模糊度的定义。（2）、模糊集合的贴近度（重点）贴近度是描述两个模糊集相近似程度的一种度量，最早是由我国著名模糊数学学者汪培庄先生提出来的。定义2 设为映射 ：F（X） F（X）0，1 若满足：、 ；、;、F（X）且 ,则称为的贴近度。常用的模糊集合贴近度的定义（见教材）。并希望同学们能够自己构造出一些模糊贴近度的定义。32 模糊模式识别方法 模糊模式识别的原则a、最大隶属度原则；（18页）当模式是模糊的，

19、被识别对象是明确的，问题可以描述成：设是论域中的个模糊子集表示的个模糊模式。是中的一个元素。若有，使 则认为相对隶属于模式，并称这种识别方法为最大隶属原则。b、贴近度原则当模式及被识别对象都是模糊的，问题可以描述成：设上的模糊子集代表个模糊模式，另一模糊子集为被识别对象。若有，使得 即与个模糊模式中的最贴近，称相对合于模式，这种识别方法叫做择近原则。 简单模式的模糊模式识别对于简单模式识别的直接方法可分为如下三个步骤：1 选取模式的特征因子集合，； 2建立模糊模式的隶属函数，F；3利用最大隶属原则对被识别对象进行归属判决。特征因子的选取直接影响识别的效果，它取决于识别者的知识和技巧，很难做一般

20、性讨论。而模式识别中最困难的是建立模式的数学结构（隶属函数），人们还没有从理论上彻底解决隶属函数的确定问题。一个简单的模糊模式识别问题，主要是依据人的主观经验来建立模式的隶属函数。通过下面的例子，我们可以对模糊模式识别的直接方法有更深刻的了解。例1 三角形的识别利用机器自动识别图形是个很有意义的课题。譬如，在医学上，可以利用机器自动识别染色体、癌细胞或白血球分类，在气象工作中，利用机器自动识别较复杂的天气图，进行环流分辨，等等。我们以几何图形中最基本的三角形为例，来说明最大隶属原则在图形识别中的应用。取特征因子集其中分别表示三角形的三个内角。根据三角形的特征，在中规定5个具体的三角形：（1）等

21、腰三角形；（2）直角三角形；（3）正三角形；（4）等腰直角三角形；（5）非典型三角形，其各自的隶属函数为：这样规定的理由是：当或（真正等腰），有；当，（最不等腰）时，有。容易看出，当时，当时，。 当时，有。 设给定一个具体的三角形，为判断这个三角形属于哪一类型，先将分别代入各隶属函数，得出按照最大隶属原则，判它为近似直角三角形。如果遇到最大是隶属函数不唯一时，可以规定：为最大，则归入类；若为最大，则归入类。这种识别方法的重点是模式隶属函数的建立，通常是根据人的实践经验去建立。 基于语言模式的模糊模式识别在许多应用问题中，模式可以借助所研究客体的语言表述来得到。需要说明的是，此处谈到的语言模式并

22、不是传统模式识别技术中的文法分析，而是指模式的特征可以用人的自然语言来表述。【例2】：癌细胞识别（121页）癌细胞的特征可以用下述语言描述：“细胞畸形，或者细胞核增大且核染色增深且核浆比倒置且核内染色质不匀，或者细胞核增大且染色增深且核浆比倒置且核畸形”。引入集合表示：为细胞畸形，为核增大，为核染色增深，为核浆比倒置，为核内染色质不匀，为核畸形。它们分别为相应论域上的模糊集。例如，用表示细胞周长的平方于细胞面积之比，模糊集的隶属函数取为式中为常数，通常为正常细胞的周长平方于面积比，为待定参数。又如，用变量表示细胞核的面积，为一常数，（小于正常细胞核面积），模糊集的隶属函数可取为，其中为待定参数

23、。又设变量的核内总光密度，模糊集的隶属函数可取，式中为待定参数。类似的，可以构建模糊集、的隶属函数，此处从略。设表示癌细胞模式，于是，由癌细胞的特征语言描述，由癌细胞的特征语言描述，癌细胞模式可以写成对于给定的待识别细胞，可测得各种特征数据，则该细胞属于癌细胞得程度为【例3】：江淮地区汛期降水量预报（3）江淮地区有一民间天气谚语“冻大水大”。意思是说，冬天越冷，来年夏季雨水越大。于是，预测汛期降水得多少即可转化为识别冬季是否符合“冻大”得模式。“冻大”必须具备的两个条件式：（1）气温要低；（2）低温天气持续的时间长。为此，选取4个特征因子。冬季（122月）平均气温，2月份最低气温的天数，冬季（

24、122月）极端最低气温，极端最低气温出现时间。根据人的经验，“冻大”可以用自然语言表述为“冬季平均气温低且2月份气温的天数长，或者冬季极端最低气温低且极端低温持续时间长”。用表示冬季平均气温“低”，表示2月份气温的天数“长”，表示冬季极端低温“低”，表示极端低温持续时间“长”。我们分别用论域上的模糊子集，来表示模糊概念，用表示“冻大”模糊集，则由冻大概念的语言表述，有其隶属函数为经反复调整，模糊集的隶属函数构建如下：对于给定的某年观测值，可得到的具体值，它表示满足“冻大”概念的程度，可以视为该年汛期为“水大”的可能性程度。利用江淮地区1967年至1979年的气象资料，对每年的“冻大”的隶属函数

25、值进行了计算，并得到一个阈值，若时，则预报该年68月总降水量为“水大”，反之预报为“水小”。历史拟合计算数据见表1-1，正确率为百分之百。用此方法在19801983连续4年预报当地汛期旱涝趋势，预报结果（见表1-2）均正确。 表1-1 19671979年江淮地区汛期降水量拟合结果年份6-8月份降水量距平拟合196710100216.3196810.860.6700.86354.7196910.9411186.619700.3300.990.570.5781.3197100.690.3510.35160.7197210.86111298.619730.1700.190082.7197410.69

26、0.1900.69244.719750.67010.630.63179.4197610.400.1400.40281.3197710.8611122.31978000.600.600.16195.41979000.450.570.4546.8 表1-2 19801983年江淮地区汛期降水预报结果年份预报实况距平评定19800.500.830.7010.70多水353.81981100.5000少水208.3198210.660.3100.66多水271.51983110.2001多水 90.5基于语言模式的模式识别在现代管理科学中有着较广泛的应用背景，如对企业经营的评价、人才的选择、项目的评估

27、等等，其模式都能够借助自然语言表述。 基于统计模式的模糊模式识别关于正态模糊集（模糊数）概念介绍:设是实数域，上的模糊集的隶属函数为 称为正态模糊集。【例4】：小麦亲本识别（122页）在小麦杂交过程中，亲本的选择是关键措施之一。亲本类型的划分是模糊的。为使问题叙述简单，仅就单一性状“百粒重”来进行划分。把每一株小麦的百粒重作为讨论对象，取论域，一个小麦亲本可以表示为上的一个模糊子集，具有隶属函数 其中参数可以通过对该亲本的百粒重进行抽样，用统计方法求平均值及标准差而得到。表中，取五个亲本作为模型，并计算出相应的参数。百粒重参数亲本名称 早熟3.70.3矮杆2.90.3大粒5.00.3高肥丰产3

28、.9 0.3中肥丰产3.70.2现在，有一种未定其类型的小麦亲本，经统计，测得其参数为要问，应将此亲本列为前述五种模型中之哪一种？ 按照（5.7）式，算得按择近原则，将此小麦亲本列为早熟型。 【例5】河南南部铁矿区矿藏预测 （3）为了实现矿产预测的目的，可以用一定边长的正方形网络来覆盖所研究的区域，每一方格，叫做一个矿产预测单元，以其为元素，组成论域。“有矿区”是上的一个模糊子集。因为，常常有这样一些单元，对于它们，不能绝对地谈有矿或无矿。有的单元只有零星矿点，有的单元有较多矿点，有的单元只有未达到工业价值的贫矿床存在，有的单元中有品位较高的有工业价值的富矿存在。对于这些单元而言，只能讨论它们

29、有矿的程度如何。所以，“有矿区”是上的模糊子集。河北省南部有一铁矿区，在该矿区东北部取试验地段面积为250平方公里，以1平方公里的小方格为预测单元，在1：25000地质图和航磁图上取下五种地质变量和地球物理变量作为矿产预报的原始数据，它们是：（1） 中生代岩浆在单元中的出露面积（万平方米）；（2） 奥陶系统中灰岩在单元内的出露面积；（3） 单元内的断裂构造长度（米）；（4） 单元内平均航磁值（伽玛）；（5） 单元内最高航磁值（伽玛）。在该区内选取22个已知有矿的单元，设第个单元上述五个变量的实测数据为 求出其平均值再求每一个分量的样本方差：令 构造有矿对各个变量的分隶属函数为：同样，在该区内选

30、取若干个应判为“无矿”的已知单元，建立无矿的分隶属函数为：其中及分别是无矿单元第个变量观测值的样本均值与方差，。将作为模式，对河北南部铁矿区取观察数据，类似地计算出和。将“南部铁矿”视为模糊集，其隶属函数为：分别计算与与的贴近度，有最后，视对的贴近度为视对的贴近度为故判河北南部铁矿为“有矿”，具有开采价值。思考题：“不清晰的条形码识别问题”，请同学们自己思考解决方案。第四章 模糊关系与模糊综合评价本章节教学的目的本章介绍模糊关系概念，给出模糊关系的运算，特别重点介绍模糊关系的合成。作为模糊关系合成运算的应用，介绍一种应用十分广泛的模糊综合评价方法。计划学时：8本章节的教学内容41 模糊关系及运

31、算、普通关系的定义及运算关系的定义设两个集合和，笛卡尔乘积是两个集合元素间的无约束有序搭配。定义 4.1 设、是两个集合，叉积的子集称为到的一个关系（确切地说，是一个二元关系），记作对于元素，若，称有关系，记作；否则。当时，称为中的关系。例 、是的子集，有， ， 由看到，函数也是一种特殊的关系，可见，关系是比函数更广泛的概念。关系的特征函数与关系矩阵 若、都是有限集，设， ，表示到的关系，则可以用矩阵 表示，其中 即，普通关系矩阵是（0-1）矩阵。关系的运算下面，我们仅对有限集到上的关系作以简单地概括。设、都是有限集，和是到的两个关系，即 ，和相应的矩阵为和，则关系的运算对应了矩阵的运算。相等

32、，包含，并，交，补运算的矩阵表示。 合成 图 关系的合成假设是到的关系，是到的关系，是到的关系，对于，若当且仅当存在，使得且，则称关系是关系对的合成，记作 关系的合成运算可以用图表示。合成关系的重要性在于，通过两个已知关系得出一个新的关系。例如，若表示“弟兄”关系，表示“父子”关系，则给出了“叔侄”关系。、模糊关系定义模糊关系的例子（如人与人之间的面貌“相象”关系）。定义 4.2 称的一个模糊子集为从到的一个模糊关系，记作的隶属函数用表示，对于给定的，表示具有关系的程度。当时，称为中的模糊关系。显然，当只取0，1时，就是普通关系。因此，模糊关系是普通关系的拓广。模糊关系的举例（约等于、远远大于

33、、面貌相似，等等）模糊关系的隶属函数0，1表示x与y具有关系R的程度。模糊关系矩阵：若X和Y都是有限集合时, 模糊关系的隶属函数可以用矩阵形式给出，记其中，表示与具有关系R的程度。模糊关系的包含、相等、并、交、补运算。（模糊关系运算的性质有模糊集合运算性质相同，主要讨论有限集上的模糊关系及关系运算的关系矩阵表示形式）举例说明模糊关系运算的意义。42 模糊关系的合成(一) 模糊矩阵的运算与性质有限论域的笛卡尔乘积集中的模糊子集可以表示成一个模糊矩阵，因此，模糊矩阵成为模糊数学的主要计算工具，用表示模糊矩阵的全体。定义 3 设模糊关系，则：1）当且仅当对所有成立;2）当且仅当对所有成立;3）;4）

34、;5）.上述五种运算分别对应于模糊关系的相等、包含、交、并、补运算。例 设 , 则 由于模糊关系是有限论域中的模糊子集，而模糊矩阵正是上模糊集合的隶属函数表现形式，可见模糊集合在并、交、补运算下具备的所有性质，这里同样满足。 (二) 模糊关系的合成与意义下面介绍一个很重要的运算模糊关系的合成运算，这种运算是模糊决策、模糊推理及模糊控制的基础工具。定义 设模糊矩阵，表示两个模糊关系，则与的合成运算定义为其中 ，.（运算举例）容易验证，合成运算满足如下性质1） 2） 3） （表示转置）4） 注意，合成运算对于一般不满足分配律。 (三) 几种形式模糊关系的合成在讨论之前，先介绍几个基本概念。定义 的

35、模糊矩阵称为模糊向量，记 模糊向量有双重意义：1） 它表示有限论域上的模糊子集，其分量定义为 2） 它作为矩阵，又代表一个模糊关系。设表现的模糊概念名称为，定义从名称集到的一个模糊关系为： 把用矩阵形式写出来，就是模糊向量。以后将直接记成. 把论域上的一个模糊集看作是从它的概念名称到的一个模糊关系，这一思想是十分有意义的，也正是应用合成规则解决大量实际问题的基础。(1) 合成形式I（叉积）定义 设，记 叫做模糊向量与的笛卡尔乘积，简称叉积。在实际应用中，考虑如下情况：设模糊向量、分别是同一概念在不同论域和上的表现，把、理解为模糊关系， 按照模糊关系的合成运算，应有即表现了论域的转换关系，用不同

36、论域表现同一概念时，这两个论域的元素之间便发生了一定的联系，就表现了论域和元素间存在的联系（关系）。(2) 形式II（内积） 定义 设、，记 叫做与的内积。一般的有 下面我们分析与内积的意义。设有两个模糊概念，它们在同一论域上表现为两个模糊子集和，将,都看作模糊关系矩阵，表现模糊关系 ， 按模糊关系合成的意义，应有故表示同一论域的两个模糊概念之间的相关程度。(3) 形式III（变换）设有限论域和，是从到的一个模糊关系，相应模糊矩阵为，则上的模糊关系决定了一个模糊变换，其直观意义可以解释为一种论域的转换。设有一个概念，它在论域上表现为模糊向量,上模糊集与到上的模糊关系的合成是一个模糊向量。因为，

37、 按模糊关系合成定义，应有由此可见，可以表现同一概念在论域上的模糊向量。正是在这个意义上，才说决定了一个模糊变换，或说是一个论域转换器。43 模糊综合评价（综合决策）综合评判又称多元决策，是系统工程的必要环节之一。模糊综合评判的第一个初始模型是由汪培庄教授提出的，并且受到了应用工作者的极大重视。目前，在国内应用这一模型解决生产实际问题的成果较多。（一）初始的综合评判模型例 服装的评判设对某一种服装进行评判，取为着眼因素集合，取为评语集合。对一批人进行调查，单就花色样式考虑，有20%的人很喜欢，有70%的人比较喜欢，10%的人不太喜欢，便可以认为，单就花色样式这一因素而言，该服装应得的评价为（0

38、.2，0.7，0.1，0）。有假设，单就耐穿程度对该服装所作的评价（0，0.41，0.5，0.1）；单就价格费用所作的评价为（0.2，0.3，0.4，0.1）。于是，可以写出单因素评判矩阵假如我们选的是某种类型（职业、性别、年龄、民族，）的顾客，事先知道这类顾客对中三个因素的权数分配为则由矩阵的合成运算，可以得出该类顾客对这种服装的综合评判为若将综合评价向量归一化，则综合评判为：下面对模糊综合评价的初始模型做一个概括。设评价因素集，评语集。根据被评价对象建立单因素评价矩阵 其中表示从因素着眼，对被评对象做出评语的可能程度。给定各因素的权重分配，记为其中是因素的评价权重，有且. 应用模糊矩阵的复

39、合运算，得到模糊综合评价 这个综合评价模型虽然简单，但却具有相当普遍的应用意义。例 农业气候条件分析在评价一个地区气候条件是否适宜种植橡胶树时，需要考虑影响橡胶树生长的诸多气候条件因素。取评价因素集年平均气温，年极端最低气温，年平均风速, 取评语集很适宜，适宜，较适宜，不适宜. 考虑南宁和万宁两地区是否适宜种植橡胶树，经专家研究，分别建立这两个地区的单因素评价矩阵, 考虑种植橡胶树以年极端最低气温至为重要，年平均气温次之，风速不太重要，故取评价权重为 .利用模糊变换，得到综合评价为结论表明，万宁地区适宜种植橡胶树，而南宁地区不适宜。（二） 广义模糊运算下的综合评判模型在上述的评价模型中，模糊变换运用了合成规则，因此记作型，这两个运算虽然简洁明了，但是评价灵敏度不高，或者说丢失信息太多，这一点从下面的例子中可以看出来。设有两个评价矩阵：， . 设着评价的权重分配，不难得到容易看出，比起来，明显地重心后移，因此，对应的评价也应重心后移，但是，这里的评价却是相同的，所以，这种评价有些不合情理，模糊关系的合成运算是应该改进的，为此引入广义模糊运算。定义 一个广义的模糊“与”运算 是一个映射：满足： 对每一变量在内连续、单调增加； ；=； ，0 = 0, 1=; ,()=()类似地可以定义广义模糊“或”运算，只要把换成，再把改成