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1、函数的概念、表示、定义域和值域一、 复习回顾1.设集合则满足且的集合为（A）57 （B）56 （C）49 （D）8 2.集合，,则等于 （A） (B) (C) (D) 3.已知全集U=R，集合，那么 A. B.C. D. 4. 若，则“”是“”的 （ ） A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件C既不充分又不必要条件 5.若实数满足，且，则称与互补，记，那么是与互补 A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 6.设，则“”是“”则（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 7命题“若是奇函数，则是
2、奇函数”的否命题是（）若偶函数，则是偶函数若不是奇函数，则不是奇函数若是奇函数，则是奇函数若不是奇函数，则不是奇函数二、知识梳理 1.函数的概念 定义：设A，B是_，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数在集合B中都有_和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_;与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合A叫做函数的_，值域是集合B的 。 函数的三要素： 、 及 。在函数三要素中起决定性作用的是_及_，定义域和对应法则确定了，这个函数就确定了。2.映射 设A,B是两个集合，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一
3、个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A到集合B的一个映射，记作映射是特殊的对应：_,函数是特殊的映射：_.3. 函数的表示方法函数的表示方法主要有三种： 、 、 。分段函数：在定义域的不同区域有不同的解析式，这样的函数称为分段函数。4. 定义域的求法通常情况下，定义域是由使表达式有意义的所有自变量的值组成的集合，常见的情况有： ，： ： ，： A）形式的函数其定义域为A,而不是由使函数表达式有意义的所有自变量的值构成的集合。当变量有实际意义时，要考虑自变量的实际意义。5. 求函数值域或最值的方法单调性法；配方法；换元法；判别式法；图像法；不等式法；导数法。一、
4、 映射的概念在理解映射概念时要注意：A中元素必须都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。练习1.设是集合到的映射，下列说法正确的是A、 中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合练习2.点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点_；练习3.若，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个；练习4.设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有_个；练习5.设是集合A到集合B的映射，若B=1,2，则一定是_.二、 函数: AB是特殊的映射。 特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像
5、与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。练习6.已知函数，那么集合中所含元素的个数有 个； 练习7.若函数的定义域、值域都是闭区间，则 三、 同一函数的概念 构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为4，1的“天一函数”共有_个.四、求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零，对数中且，三
6、角形中, 最大角，最小角等。练习8.函数的定义域是_；练习9.若函数的定义域为R，则_；练习10.函数的定义域是，则函数的定义域是_；练习11.设函数，若的定义域是R，求实数的取值范围；若的值域是R，求实数的取值范围2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。3.复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。练习12.若函数的定义域为，则的定义域为_练习13.若函数的定义域为，则函数的定义域为_五、求函数值域（最值）的方法：1.配方法-二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求
7、区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），练习14.求函数的值域练习15.当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_；练习16.已知的图象过点（2,1），则的值域为_.2.换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型练习17.的值域为_；练习18.的值域为_练习19.的值域为_；练习20.的值域为_； 3.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，练习21.求函数
8、，的值域.4.单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性 。练习22.求，的值域为5.数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，练习23.已知点在圆上，求及的取值范围；练习24.求函数的值域；练习25.求函数及的值域。6.判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性质，练习26.求的值域型，先化简，再用均值不等式，练习27.求的值域练习28.求函数的值域 型，通常用判别式法；练习29.已知函数的定义域为R，
9、值域为0，2，求常数的值型，可用判别式法或均值不等式法，练习30.求的值域7.不等式法利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。练习31.设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_8. 导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？六、分段函数的概念。 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个
10、子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。练习32.设函数，则使得的自变量的取值范围是_；练习33.已知，则不等式的解集是_七、求函数解析式的常用方法：1.待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。练习33.已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。2.代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。练习34.已知求的解析式练习35.若，则函数=_练习36.若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_3.方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。练习37.已知，求的解析式；练习38.已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= _。
