正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性.doc

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1、正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性【学习目标】1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.借助图象理解正弦函数的性质.【要点梳理】要点一:正弦函数图象的画法 1描点法:按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法。2几何法利用三角函数线作出正弦函数在内的图象,再通过平移得到的图象。3五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点,再利用光滑曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线在一个周期内的图象。在确定正弦函数在上的图象形状时,起关键作用的五个点是要点诠释:(1)熟记正弦函数图象起关键作用的五点。(2)若,可先作出正弦函数在上的图象,然后通

2、过左、右平移可得到的图象。要点二:正弦曲线(1)定义:正弦函数的图象叫做正弦曲线。(2)图象要点诠释:(1)由正弦曲线可以研究正弦函数的性质。(2)运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题,如,方程根的个数。要点三:函数图象的变换图象变换就是以正弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。要点四:周期函数函数,定义域为I,当时,都有,其中T是一个非零的常数,则是周期函数,T是它的一个周期.要点诠释:1.定义是对I中的每一个值来说的,只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2.对于周期函数来说,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期,三角函数中的周期一般都指最小

3、正周期.要点五:正弦函数性质函数正弦函数ysinx定义域R值域-1,1奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间(kZ)增区间减区间最值点(kZ)最大值点;最小值点对称中心(kZ)对称轴(kZ)要点诠释:(1)正弦函数的值域为,是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线,如果定义域不是全体实数,那么正弦函数的值域就可能不是,因而求正弦函数的值域时,要特别注意其定义域(2)求正弦函数的单调区间时,易错点有二:一是单调区间容易求反,要注意增减区间的求法,如求的单调递增区间时,应先将变换为再求解,相当于求的单调递减区间;二是根据单调性的定义,所求的单调区间必须在函数的定义域内,因此求单调区间时,必须先求定义域

4、要点六:正弦型函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数,余弦函数复合而成的复合函数,因此它们的性质可由正弦函数,余弦函数类似地得到:(1)定义域:(2)值域:(3)单调区间:求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答,即把视为一个“整体”,分别与正弦函数的单调递增(减)区间对应解出,即为所求的单调递增(减)区间比如:由解出的范围所得区间即为增区间,由解出的范围,所得区间即为减区间(4)奇偶性:正弦型函数不一定具备奇偶性对于函数,当时为奇函数,当时为偶函数要点诠释:判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外,也可以通过图象直观判断,但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件(5)周期:函数

5、的周期与解析式中自变量的系数有关,其周期为(6)对称轴和对称中心与正弦函数比较可知,当时,函数取得最大值(或最小值),因此函数的对称轴由解出,其对称中心的横坐标,即对称中心为【典型例题】类型一:“五点法”作正弦函数的图象例1作出函数在2,2上的图象【思路点拨】由于,因此只需作出函数y=|cos x|,x2,2的图象即可【解析】函数y=|cos x|,x2,2的图象可采用将函数y=cos x,x2,2的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到,所得图象如下图所示 【总结升华】 作图是一项很重要的能力,而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法在利用“五点法”作图时,一定要弄清楚是哪五点

6、,为什么要取这五点等此外第(2)小题中我们使用了对称变换,并且我们还可以发现,加了绝对值后,其周期变为原来的一半了举一反三:【变式】用五点法作出,函数的图象【思路点拨】取上五个关键的点(0,2)、(,1)、(2,2)(2)取上五个关键的点【解析】 (1)找出五点,列表如下:x001010y=2u21232描点作图(如下图) 【总结升华】在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,即可得到函数的简图,这种近似的“五点法”是非常实用的类型二:利用图象的变换作正弦函数图象例2作函数的图象;【思路点拨】要善于利用函数的图象来作及的图象。【解析】将化为,其图象如下图。

7、 【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外,还有对称变换,一般地,函数的图象与的图象关于y轴对称,与的图象关于x轴对称,和图象与的图象关于原点对称,的图象关于y轴对称。类型三:正弦函数定义域与值域例3求函数的定义域【答案】【解析】依题意得2sin x10,即,(kZ),函数的定义域为【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围例4求下列函数的值域:(1)y=|sin x|+sin x;(2),;【解析】 (1),又1sin x1,y0,2,即函数的值域为0,2。(2),。,0y2。

8、函数的值域为0,2。【总结升华】一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质举一反三:【变式】求函数y=3sin2x4sin x+1,的值域。【答案】【解析】,令t=sin x,因为,所以t0,1,t0,1,所以。类型四:正弦函数单调性例5求下列函数的单调递增区间:(1);(2)。【思路点拨】(1)要将原函数化为再求之(2)这个函数是复合函数,复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定,即“同增异减”。【解析】(1).故由2k-2k+.3k-x3k+(kZ),为单调减区间;由2k+-

9、2k+.3k+x3k+(kZ),为单调增区间.递减区间为3k-,3k+,递增区间为3k+,3k+(kZ).(2)由sin x0,得2kx2k+(kZ)。,函数的递增区间即为u=sin x的递减区间,(kZ)。故函数的递增区间为(kZ)。【总结升华】(1)求函数的单调区间时,应由(kZ)或(kZ),求得x的范围,即为函数的单调区间,这实际上是换元法的应用。(2)求单调区间应在定义域内求解。 举一反三:【变式1】求函数y=-sin(x+)的单调区间:【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为k+,k+,减区间为k-,k+.【变式2】三个数,的大小关系是( )A BC D【答案】C类型五:正弦

10、函数的奇偶性例6判断下列函数的奇偶性:(1);(2)。(3)。【解析】(1)xR,函数为偶函数。(2)由1+sin x0,即sin x1,(kZ),原函数的定义域不关于原点对称,既不是奇函数也不是偶函数。(3)函数定义域为R。,函数为奇函数。【总结升华】判断函数奇偶数时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间。如果是,再验证是否等于或,进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数。举一反三:【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题:对任意的,都是非奇非偶函数;不存在,使既是奇函数,又是偶函数;存在,使是奇函数;对任意的,都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_.因为当=_时,

11、该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2k,kZ时,=sinx是奇函数.当=2(k+1),kZ时仍是奇函数.当=2k+,kZ时,=cosx,当=2k-,kZ时,=-cosx,都是偶函数.所以和都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.和都是假命题.【解析】,k(kZ);或者,+k(kZ);或者,+k(kZ)类型六:正弦函数的对称性例7指出函数的对称轴与对称中心;【解析】令,则的对称轴方程是(kZ),即(kZ),解得(kZ)。函数的对称轴方程是(kZ)。 同理,对称中心的横坐标为,即对称中心为。举一反三:【变式1】若的图象关于直线对称,则a=_。【答案】【变式2】已知函

12、数(a,b为常数,a0,xR)的图象关于直线对称,则函数是( ) A偶函数且它的图象关于点(,0)对称B偶函数且它的图象关于点对称C奇函数且它的图象关于点对称D奇函数且它的图象关于点(,0)对称【答案】 D【解析】 由题意知的图象关于对称,。a=b,。为奇函数且其图象关于(,0)对称,故选D。类型七:正弦函数的周期例8求函数的周期。【思路点拨】可直接利用公式; 【答案】(2)【解析】=3,。【总结升华】求函数周期的方法大致有三种:(1)函数(A0,0,xR)的周期皆用公式:求解;(2)含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象得到,如函数的周期为,而函数的周期为,与函数的周期相同;(3)利用周期

13、函数的定义求函数周期。举一反三:【变式1】已知函数,使f (x)的周期在内,求正整数k .【答案】【解析】 , 解得,所以 所以的取值为类型八:利用函数图象解简单的三角不等式例9根据正弦曲线求满足的x的范围【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围,然后加上周期的整数倍【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象,如下图 观察在一个周期的闭区间内的情形,满足的因为正弦函数的周期是2,所以满足的x的范围是【总结升华】(1)一般地,对于y=sin x,观察其一个周期常常是0,2或;对于y=cos x,观察其一个周期常常是0,2或,(2)数形结合是重要的数学思想,它能把抽象的问题形象化、直观化,

14、平时解题时要注意运用(3)正、余弦函数的图象有很多重要的应用,其中利用正弦函数的图象求角的范围(即解三角不等式)是基本的应用之一,要注意结合函数的图象特点和正、余弦函数的周期性等进行求解举一反三:【变式1】已知,解不等式【解析】画出函数y=sin x,的图象,画出函数的图象,如下图,两函数的图象交于A、B两点,其中,故满足的x的取值范围是 类型九:三角函数图象的综合应用例10(1)方程的解的个数为( )A0 B1 C2 D3(2)若函数,x0,2的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围(3)当k为何值时,方程sin x+2|sin x|=k有一解、两解、三解、四解?【答案】 (

15、1)D (2)1k3(3)k=3时,方程有一解;1k3时,方程有两解;k=1或k=0时,方程有三解;0k1时,方程有四解【解析】 (1)作出与的图象,当时,当时,与再无交点如图所示,由图知有三个交点,方程有三个解(2)图象如图,由图象可知1k3(3)由图象易知k=3时,方程有一解;1k3时,方程有两解;k=1或k=0时,方程有三解;0k1时,方程有四解【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数,既直观又简捷,这就是我们常说的“数形结合”思想在解题中的应用,请认真体会举一反三:【变式1】画出图象,判断在0,2内使sin xcos x成立的x的取值范围 【解析】用“五点法”作出y

16、=sin x,y=cos x(0x2)的简图如图由图象可知(1)当或时,sin x=cos x(2)当时,sin xcos x(3)当或时,sin xcos x故x0,2时要使sin xcos x,则x的取值范围为例11已知是定义在实数集上的函数,且对任意x都有。(1)求证:是周期函数;(2)若,试求的值。【思路点拨】证明函数的周期性,一般都是用定义证明,即,就是周期。【答案】(1)略(2)【解析】 (1)证明:由已知,。,即。是以8为周期的函数。(2)。由,。【总结升华】(1)证明函数是周期函数:一可利用定义(x为定义域内任意值都成立),则常数T(T0)为的周期;二可利用函数的图象判断出函数的周期。(2)周期函数的函数值是当自变量满足x1=nT+x2(nZ,T为周期),则。

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