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1、正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性【学习目标】1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.借助图象理解正弦函数的性质.【要点梳理】要点一：正弦函数图象的画法 1描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法。2几何法利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象。3五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象。在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是要点诠释：（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点。（2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通
2、过左、右平移可得到的图象。要点二：正弦曲线（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线。（2）图象要点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质。（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数。要点三：函数图象的变换图象变换就是以正弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。要点四：周期函数函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小
3、正周期.要点五：正弦函数性质函数正弦函数ysinx定义域R值域-1，1奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间（kZ）增区间减区间最值点（kZ）最大值点；最小值点对称中心（kZ）对称轴（kZ）要点诠释：（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域
4、要点六：正弦型函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数要点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件（5）周期：函数
5、的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为【典型例题】类型一：“五点法”作正弦函数的图象例1作出函数在2，2上的图象【思路点拨】由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x2，2的图象即可【解析】函数y=|cos x|，x2，2的图象可采用将函数y=cos x，x2，2的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示 【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点
6、，为什么要取这五点等此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了举一反三：【变式】用五点法作出，函数的图象【思路点拨】取上五个关键的点（0，2）、（，1）、（2，2）（2）取上五个关键的点【解析】 （1）找出五点，列表如下：x001010y=2u21232描点作图（如下图） 【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的类型二：利用图象的变换作正弦函数图象例2作函数的图象；【思路点拨】要善于利用函数的图象来作及的图象。【解析】将化为，其图象如下图。
7、 【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称。类型三：正弦函数定义域与值域例3求函数的定义域【答案】【解析】依题意得2sin x10，即，（kZ），函数的定义域为【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围例4求下列函数的值域：（1）y=|sin x|+sin x；（2），；【解析】 （1），又1sin x1，y0，2，即函数的值域为0，2。（2），。，0y2。
8、函数的值域为0，2。【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质举一反三：【变式】求函数y=3sin2x4sin x+1，的值域。【答案】【解析】，令t=sin x，因为，所以t0，1，t0，1，所以。类型四：正弦函数单调性例5求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）。【思路点拨】（1）要将原函数化为再求之（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。【解析】（1）.故由2k-2k+.3k-x3k+(kZ)，为单调减区间；由2k+-
9、2k+.3k+x3k+(kZ)，为单调增区间.递减区间为3k-，3k+，递增区间为3k+，3k+(kZ).（2）由sin x0，得2kx2k+（kZ）。，函数的递增区间即为u=sin x的递减区间，（kZ）。故函数的递增区间为（kZ）。【总结升华】（1）求函数的单调区间时，应由（kZ）或（kZ），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的应用。（2）求单调区间应在定义域内求解。 举一反三：【变式1】求函数y=-sin(x+)的单调区间：【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为k+，k+，减区间为k-，k+.【变式2】三个数，的大小关系是（ ）A BC D【答案】C类型五：正弦
10、函数的奇偶性例6判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）。（3）。【解析】（1）xR，函数为偶函数。（2）由1+sin x0，即sin x1，（kZ），原函数的定义域不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数。（3）函数定义域为R。，函数为奇函数。【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间。如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。举一反三：【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：对任意的，都是非奇非偶函数；不存在，使既是奇函数，又是偶函数；存在，使是奇函数；对任意的，都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，
11、该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2k，kZ时，=sinx是奇函数.当=2(k+1)，kZ时仍是奇函数.当=2k+，kZ时，=cosx，当=2k-，kZ时，=-cosx，都是偶函数.所以和都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.和都是假命题.【解析】，k(kZ)；或者，+k(kZ)；或者，+k(kZ)类型六：正弦函数的对称性例7指出函数的对称轴与对称中心；【解析】令，则的对称轴方程是（kZ），即（kZ），解得（kZ）。函数的对称轴方程是（kZ）。 同理，对称中心的横坐标为，即对称中心为。举一反三：【变式1】若的图象关于直线对称，则a=_。【答案】【变式2】已知函
12、数（a，b为常数，a0，xR）的图象关于直线对称，则函数是（ ） A偶函数且它的图象关于点（，0）对称B偶函数且它的图象关于点对称C奇函数且它的图象关于点对称D奇函数且它的图象关于点（，0）对称【答案】 D【解析】 由题意知的图象关于对称，。a=b，。为奇函数且其图象关于（，0）对称，故选D。类型七：正弦函数的周期例8求函数的周期。【思路点拨】可直接利用公式； 【答案】（2）【解析】=3，。【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）函数（A0，0，xR）的周期皆用公式：求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象得到，如函数的周期为，而函数的周期为，与函数的周期相同；（3）利用周期
13、函数的定义求函数周期。举一反三：【变式1】已知函数，使f (x)的周期在内，求正整数k .【答案】【解析】 ， 解得，所以 所以的取值为类型八：利用函数图象解简单的三角不等式例9根据正弦曲线求满足的x的范围【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围，然后加上周期的整数倍【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象，如下图 观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的因为正弦函数的周期是2，所以满足的x的范围是【总结升华】（1）一般地，对于y=sin x，观察其一个周期常常是0，2或；对于y=cos x，观察其一个周期常常是0，2或，（2）数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的问题形象化、直观化，
14、平时解题时要注意运用（3）正、余弦函数的图象有很多重要的应用，其中利用正弦函数的图象求角的范围（即解三角不等式）是基本的应用之一，要注意结合函数的图象特点和正、余弦函数的周期性等进行求解举一反三：【变式1】已知，解不等式【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，故满足的x的取值范围是 类型九：三角函数图象的综合应用例10（1）方程的解的个数为（ ）A0 B1 C2 D3（2）若函数，x0，2的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围（3）当k为何值时，方程sin x+2|sin x|=k有一解、两解、三解、四解？【答案】 （
15、1）D （2）1k3（3）k=3时，方程有一解；1k3时，方程有两解；k=1或k=0时，方程有三解；0k1时，方程有四解【解析】 （1）作出与的图象，当时，当时，与再无交点如图所示，由图知有三个交点，方程有三个解（2）图象如图，由图象可知1k3（3）由图象易知k=3时，方程有一解；1k3时，方程有两解；k=1或k=0时，方程有三解；0k1时，方程有四解【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数，既直观又简捷，这就是我们常说的“数形结合”思想在解题中的应用，请认真体会举一反三：【变式1】画出图象，判断在0，2内使sin xcos x成立的x的取值范围 【解析】用“五点法”作出y
16、=sin x，y=cos x（0x2）的简图如图由图象可知（1）当或时，sin x=cos x（2）当时，sin xcos x（3）当或时，sin xcos x故x0，2时要使sin xcos x，则x的取值范围为例11已知是定义在实数集上的函数，且对任意x都有。（1）求证：是周期函数；（2）若，试求的值。【思路点拨】证明函数的周期性，一般都是用定义证明，即，就是周期。【答案】（1）略（2）【解析】 （1）证明：由已知，。，即。是以8为周期的函数。（2）。由，。【总结升华】（1）证明函数是周期函数：一可利用定义（x为定义域内任意值都成立），则常数T（T0）为的周期；二可利用函数的图象判断出函数的周期。（2）周期函数的函数值是当自变量满足x1=nT+x2（nZ，T为周期），则。
